Nerovnice

1. Nerovnice Definiční obory. Množiny řešení. Intervaly.

2. Zopakujme si nejdříve, čemu říkáme rovnice: Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou) tak, aby po jeho dosazení za proměnnou daná rovnost platila. Existuje-li takové číslo, nazývá se řešení nebo také kořen rovnice. 4 4 === x + 2Levá strana rovniceL 6 = 6 6Pravá strana rovniceP Nyní se tedy naskýtá otázka. Jaké číslo můžeme dosadit do našeho příkladu za proměnnou, aby nastala rovnost? Zapíšeme: x = 4 Řešením je tedy číslo . Zdá se to být jednoduché, že? Ovšem my už víme, že rovnice nejsou vždy tak jednoduché a že u složitějších rovnic a při jejich řešení nám musí pomoci ekvivalentní úpravy.

3. A nyní tedy, co je to nerovnice. Nerovnice je zápis nerovnosti dvou matematických výrazů, ve kterém máme najít všechna čísla dané množiny (neznámé), po jejichž dosazení za proměnnou bude daná nerovnost platit. 5 5 >>> x + 2Levá strana nerovniceL 7 > 6 6Pravá strana nerovniceP Nyní se tedy naskýtá otázka. Jaké číslo můžeme dosadit do našeho příkladu za proměnnou, aby vzniklá nerovnost platila? Místo znaménka = (rovná se) se v nerovnicích objevují znaménka > (je větší než), < (je menší než),  (je větší nebo rovno) nebo  (je menší nebo rovno). Řešením může být tedy číslo . Je to jediné číslo, které můžeme dosadit? Samozřejmě, že ne. Takových čísel, která můžeme dosadit za proměnnou, aby vzniklá nerovnost platila, je mnoho, lépe řečeno nekonečně mnoho. Říkáme, že jde o množinu čísel, množinu řešení.

4. Lineární nerovnice. Lineární nerovnice je zápis nerovnosti dvou výrazů (v obecném tvaru a.x + b < 0 , kde se mohou vyskytovat znaménka nerovnosti >, <, ,  ), ve kterém máme najít všechna čísla dané množiny (neznámé), která splňují danou nerovnost. 2.x + 6 > 0 Nerovnice řešíme stejně jako rovnice (tj. použitím ekvivalentních úprav), až na to, že když násobíme nebodělíme nerovnici záporným číslem, tak měníme znaménko nerovnosti (v opačné). Místo znaménka = (rovná se) se v nerovnicích objevují znaménka > (je větší než), < (je menší než),  (je větší nebo rovno) nebo  (je menší nebo rovno). U nerovnic a určení jejich řešení hraje podstatnou roli i číselný obor, ve kterém nerovnici řešíme. Jestliže řešíme nerovnici v přirozených či celých číslech, pak je řešením zpravidla množina prvků. Jestliže řešíme nerovnici v reálných číslech, pak je řešením zpravidla interval.

5. Číselné obory - opakování. Množiny čísel, na kterých definujeme početní operace. Množina se dá chápat jako soubor prvků (v našem případě čísel). Každá množina tedy obsahuje určitý počet prvků, který může být konečný nebo nekonečný. Též nemusí obsahovat prvek žádný, poté mluvíme o prázdné množině. -2,357 -3 13 -1 1000000,008 3 1 N N Z Z Q Q R R 2 -1/3 4 5 -2 0,01 0 -57 2/9 ¶ … Přirozená čísla: 1; 2; 3; 4; 5; … … Celá čísla: … -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; … … Racionální čísla: -8; 0; 34; 1000000; 2/9; 0,01; 2,3; … … Reálná čísla: -8; 0; 34; 1000000; 2/9; 0,01; 2,3; ¶; 13

6. Definiční obor Součástí zadání nerovnice bývá i obor proměnnosti, který dohromady s podmínkami řešitelnosti dává obor definiční. Obor proměnnosti je obor, v němž chceme nerovnici řešit. Např.: Vyřeš nerovnici v množině přirozených čísel … zápis: xN Vyřeš nerovnici v množině celých čísel … zápis: xZ Vyřeš nerovnici v množině záporných reálných čísel … zápis: xR- Definiční obor nerovnice určuje všechny přípustné hodnoty, kterých může nabýt řešení nerovnice, tj. obor, v němž má nerovnice smysl. Obor hodnot (pravdivosti) je množina kořenů nerovnice, jinými slovy množina všech možných řešení nerovnice. Jejich zápis pak může vypadat například následovně: x  N x  R+ x  {1; 2; 3} x  (-6; 6) Nyní si tedy musíme vysvětlit, kdy, proč a který z těchto zápisů použijeme.

7. Výsledek řešení nerovnice Výsledek řešení nerovnice zpravidla znázorňujeme graficky, zapisujeme intervalem a provádíme ověření správnosti řešení. Číselnou osu jste jistě poznali. Pozn.: Ověření správnosti, ne tedy zkouška, proto, že většinou je řešením (oborem hodnot - pravdivosti), jak jsme si již naznačili na předchozím snímku celý interval a my nemáme možnost všechna čísla z daného intervalu dosadit.

8. Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: x  − 4 Není-li již v zadání nerovnice omezen obor proměnnosti, znamená to, že máme rovnici řešit v množině všech reálných čísel, tzn. xR. Řešení čteme: x je rovno nebo větší, případně naopak větší nebo rovno, než - 4. Co to znamená? Znamená to, že řešením je číslo - 4 a všechna reálná čísla větší než - 4. Kde najdeme taková čísla na číselné ose? Krajním bodem intervalu je číslo - 4, které je také řešením (kolečko vyplněné). Jsou to všechna čísla na číselné ose vpravo od - 4 až do nekonečna (množina čísel – interval).

9. Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: x  − 4 Interval zleva uzavřen. To znamená, že krajní bod, v tomto případě číslo – 4, je také řešením nerovnice stejně tak jako všechna čísla větší. Interval zprava otevřen. Není-li množina řešení ukončena a jde do nekonečna, je interval na této straně vždy otevřen.

10. Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: x  − 4 Napiš tedy pár čísel, která vyhovují nerovnici, jinými slovy jsou řešením dané nerovnice. -2,5 -4 -1 -3,999 4/5 0,345 23 37 55,23 120000 -4/450 120,08

11. Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: x < 2 Opět platí, že není-li již v zadání nerovnice omezen obor proměnnosti, znamená to, že máme rovnici řešit v množině všech reálných čísel, tzn. xR. Řešení čteme: x je menší než 2. Co to znamená? Znamená to, že řešením jsou čísla menší než 2. Kde najdeme taková čísla na číselné ose? Krajním bodem intervalu je číslo 2, které ovšem řešením není (kolečko prázdné)! Jsou to všechna čísla na číselné ose vlevo od 2 až do nekonečna („mínus nekonečna“).

12. Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: x < 2 Interval zprava otevřen. To znamená, že krajní bod, v tomto případě číslo 2, není řešením nerovnice na rozdíl od čísel menších (posledním číslem, které je ještě řešením, je tedy číslo 1,99999999… ). Interval zleva otevřen. Není-li množina řešení ukončena a vychází z nekonečna, je interval na této straně vždy otevřen.

13. Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: x < 2 Napiš tedy pár čísel, která vyhovují nerovnici, jinými slovy jsou řešením dané nerovnice. -2,5 -4 -1 -3,999 4/5 0,345 0 -37 -2 -120000 -4/450 -120,08

14. Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: Řešte nerovnici v N. Tentokrát je již v zadání nerovnice omezen obor proměnnosti, což znamená, že máme nerovnici řešit v množině přirozených čísel, tzn. xN. Řešení čteme: x je rovno nebo větší, případně naopak větší nebo rovno, než 0. Co to znamená? x  0 Znamená to, že řešením v množině všech reálných čísel by bylo číslo 0a všechna čísla větší než 0. Kde najdeme taková čísla na číselné ose? Krajním bodem intervalu by v R bylo číslo 0. Jelikož nerovnice má být řešena v N, budou řešením jen přirozená čísla patřící do znázorněného intervalu. Jsou to všechna čísla na číselné ose vpravo od 0 až do nekonečna. nebo

15. Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: Řešte nerovnici v N. x  0 nebo Zápis množiny prvků (bodů, čísel) (čísla 1, 2, 3 atd. až do nekonečna). Zápis množiny všech prvků (bodů, čísel) dané vlastnosti (všechna přirozená čísla).

16. Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: Řešte nerovnici v N. x  0 nebo Napiš tedy pár čísel, která vyhovují nerovnici, jinými slovy jsou řešením dané nerovnice. 5 4 1 3 45 120000 100 37 450 345 2 120

17. Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: − 4 x < 2 Zápis můžeme rozdělit na dva zápisy samostatné, platící zároveň. x  − 4  x < 2 Řešením je průnik znázorněných množin. Čteme: x je větší nebo rovno než – 4 a zároveň x je menší než 2.

18. Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: − 4 x < 2 x  − 4  x < 2 Interval zprava otevřen. To znamená, že krajní bod, v tomto případě číslo 2 není řešením nerovnice (posledním číslem, které je ještě řešením, je číslo 1,99999999… ). Interval zleva uzavřen. To znamená, že krajní bod, v tomto případě číslo – 4, je také řešením nerovnice.

19. Znázornění a zápis řešení nerovnice. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: − 4 x < 2 x  − 4  x < 2 Napiš tedy pár čísel, která vyhovují nerovnici, jinými slovy jsou řešením dané nerovnice. -2,5 -4 -1 -3,999 4/5 0 0,345 √2 -2 0,00005 -1,08 -4/9

20. Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: Řešte nerovnici v R. − 8<x Klikněte pro zobrazení výsledku

21. Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: Řešte nerovnici v R. − 8<x

22. Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: x  − 1 Klikněte pro zobrazení výsledku

23. Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: x  − 1

24. Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: − 8<y < 0 Klikněte pro zobrazení výsledku

25. Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: − 8<y < 0 y > − 8 y < 0 

26. Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: Řešte nerovnici v Z. − 3 x < 5 Klikněte pro zobrazení výsledku

27. Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: Řešte nerovnici v Z. − 3 x < 5 x  − 3 x < 5 

28. Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: 3<a  − 7 Klikněte pro zobrazení výsledku

29. Příklady k procvičení. Znázorněte graficky a zapište intervalem řešení nerovnice: 3<a  − 7 a > 3 a  − 7  Množiny nemají společný průnik, neexistuje společná množina. Prázdná množina, nerovnice nemá řešení.

30. Tak teorii máme za sebou! Víme, co jsou nerovnice, známe ekvivalentní úpravy používané při řešení nerovnic, víme, co jsou „obory“, víme, co jsou intervaly řešení. Nyní tedy vzhůru na příklady a řešení nerovnic.