Deret Taylor dan Analisis Galat

1. Deret Taylor danAnalisisGalat Indriati., ST., MKom

2. Deret Taylor • Definisi : Andaikata f dansemuaturunannya, f’,f’’,f’’’,…menerusdidalamselang [a,b]. Misalkan : xoє[a,b], makanilai-nilai x disekitar xodan xє[a,b], f(x) dapatdiperluas (diekspansi) kedalamderet Taylor :

3. Jika (x-xo)=h, maka : • Contoh : Hampirifungsif(x)=sin(x) kedalamderet Taylor disekitarxo=1. Penyelesaian : f(x) = sin(x) f’’’(x) = - cos(x) f’(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x) f’’(x) = - sin(x) dst.

4. maka : Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar xo=0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin yang merupakan deret Taylor baku. • Contoh-1 : f(x)= sin(x) dimana xo = 0

5. Penyelesaian : • Contoh-2 : f(x)=ex dimana xo=0 Penyelesaian :

6. Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor dipotong sampai suku order tertentu. Deret Taylor yg dipotong s/d order ke-n dinamakan deret Taylor terpotong yg dinyatakan: Dengan demikian deret Taylor yg dipotong sampai suku order ke-n dapat ditulis :

7. dimana : Contoh : f(x)=sin(x); xo=1; utk deret Taylor orde ke-n Penyelesaian :

8. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yg didapatkan. Kita harus memahami dua hal, yaitu : a. Bagaimana menghitung galat b. Bagaimana galat timbul AnalisisGalat

9. Misalkan : • Contoh :

10. Contoh : Diketahui : a= 10/3; â = 3,333 Hitung : (a). Galat ! (b). Galat mutlak ! (c). Galat relatif ! (d). Galat relatif hampiran ! Penyelesaian : (a). Galat : є = a-â = 10/3 – 3,333 = 10.000/3000 – 9999/3000 = 1/3000 = 0,000333

11. (b). Galatmutlak : |є|=|a-â) = 0,000333 (c). (d). Pendekatan lain, perhitungannumerikygmeng-gunakanpendekatanlelaran (iteration), єRAdihitungdengancara : dimana : ar+1 = nilaihampiranlelaransekarang ar = nilaihampiranlelaransebelumnya

12. Proses lelaran dihentikan bila : |єRA| < єS єS = Toleransi galat yang dispesifikasikan Semakin kecil єS, semakin teliti solusinya, namun semakin banyak proses lelarannya Contoh : Diketahui : Xr+1=(-Xr+13 + 3)/6; r =0,1,2,3 Xo= 0,5; єs= 0,00001 Hitung : єRA !

13. Penyelesaian : Xo = 0,5 X1 = 0,4791667; X2 = 0,4816638; X3 = 0,4813757; X4 = 0,4814091; X5 = 0,4814052;

14. Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dlm perhitungan numerik, yaitu : 1. Galat pemotongan (truncation error) 2. Galat pembulatan (round-off error) Ada sumber galat lain, yaitu : 1. Galat eksperimental 2. Galat pemrograman SUMBER UTAMA GALAT NUMERIK

15. (1). Galat Pemotongan (truncation error). Galat ini timbul akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak. Maksudnya, ekspresi matema- tika yg lebih kompleks diganti dengan formula yg lebih sederhana. Tipe galat pemotongan bergantung pd metode komputasi yg digunakan untuk penghampiran shg kadang-kadang di- sebut juga galat metode.

16. Misalkan: turunan pertama f(x1), dihampiri dengan formula : dimana : h = lebar absis xi+1 • Contoh : hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret Taylor di sekitar x = 0 ! Penyelesaian : f(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x) f’(x) = - sin(x) f’’(x) = - cos(x)

17. Maka : • Galat pemotongan : Nilai hampiran Galat pemotongan

18. Nilai Rn yg tepat hampir tdk pernah dapat kita peroleh, karena kita tdk mengetahui nilai c sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak pada selang tertentu. Karenanya tugas kita adalah mencari nilai maksimum yg mungkin dari |Rn| untuk c dalam selang yg diberikan, yaitu :

19. Contoh-1 : Gunakanderet Taylor orde 4 disekitar xo=1 untukmenghampiriln(0,9) danberi-kantaksiranuntukgalatmaksimum yang dibuat ! Penyelesaian :

20. Deret Taylor : • Jadi : ln(0,9) = -0,1053583 dengangalatpemo-tongan < 0,0000034.

21. Contoh-2 : Hampiri nilai secara numerik, yaitu : dengan deret Maclaurin orde 8 ! Penyelesaian : Deret Maclaurin orde 8 dari adalah :

22. Perhitungandgnmetodenumerikhampirselalumenggunakanbilanganriil. Masalahtimbulbilakomputasinumerikdikerjakandengankomputerkarenasemuabilanganriiltdkdapatdisajikansecaratepatdidlmkomputer. Keterbatas an komputerdlmmenyajikanbilanganriilmenghasilkangalatygdisebutgalatpembulatan. GALAT PEMBULATAN

23. Contoh : 1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer hanya menuliskan 0,166667. Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 = -0,00000033. Kebanyakan komputer digital mempunyai dua cara penyajian bilangan riil, yaitu : (a). Bilangan titik tetap (fixed point) Contoh : 62.358; 0,013; 1.000

24. (b). Bilangan titik kambang (floating point) Contoh : 0,6238 x 103 atau 0,6238E+03 0,1714 x 10-13 atau 0,1714E-13 Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik kambang disebut juga “Angka Bena” (significant figure).

25. Adalah angka bermakna, angka penting atau angka yg dapat digunakan dgn pasti. Contoh : 43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3) 0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4) 0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2) 278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0) 0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0) ANGKA BENA

26. GALAT TOTAL • Galat akhir atau galat total pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan. • Contoh : Galat pembulatan Galat pemotongan

27. Galat pemotongan timbul karena kita menghampiri cos(0,2) s/d suku orde 4 sedangkan galat pembulatan timbul karena kita membulatkan nilai hampiran ke dalam 7 digit bena.

28. Di dalam metode numerik, fungsi f(x) sering diganti dgn fungsi hampiran yang lebih sederhana. Satu cara mengungkap-kan tingkat ketelitian penghampiran itu adalah dengan menggunakan notasi : O-Besar (Big-Oh). ORDE PENGHAMPIRAN

29. Misal : f(h) dihampiri dgn fungsi p(h). Jika |f(h)-p(h)| ≤ M|hn|, yg dlm hal ini M adalah konstanta riil > 0, maka kita katakan bahwa p(h) menghampiri f(h) dengan orde penghampiran O(hn) dan ditulis dgn : f(h) = p(h) + O(hn) O(hn) juga dapat diartikan sebagai orde galat dari penghampiran fungsi. Karena h umumnya cukup kecil, yaitu < 1, maka semakin tinggi nilai n semakin kecil galat, yg berarti semakin teliti penghampiran fungsinya.

30. Metode yg berorde O(h2) misalnya, lebih teliti drpd metode yg berorde O(h). Juga pada metode yg berorde O(h2), jika ukuran h dijadikan setengah kali semula, maka galatnya menjadi seperempat kali galat semula. Umumnya deret Taylor digunakan untuk menghampiri fungsi. Misalkan : xi+1 = xi + h, i=0,1,2,….. Adalah titik-titik sebesar h, maka hampiran f(xi+1) dengan deret Taylor di sekitar xi adalah :

31. Dalam hal ini : Jadi, kita dapat menuliskan :

32. Contoh :

33. Bilanganriildidalamkomputerumumnyadisajikandalam format bilangantitik-ambang Bilangantitik-ambang a ditulissebagai a = ± m × B p = ± 0.d1d2d3d4d5d6 ...dn× Bp m = mantis/mantisa (riil), d1d2d3d4d5d6 ...dnadalah digit mantis. B = basis sistembilangan yang dipakai (2, 8, 10, 16, dsb) p = pangkat(berupabilanganbulat), dari–Pminsampai+Pmaks Contoh: 245.7654 = 0.2457654 × 103 BILANG TITIK AMBANG

34. BilanganTitik-ambangTernormalisasi Syarat: digit yang pertamatidakboleh 0 a = ± m × Bp = ± 0.d1d2d3d4d5d6... dn× Bp 1 ≤ d1 ≤ B -1 dan 0 ≤ dk ≤ B-1 untuk k > 1. Padasistemdesimal, 1 ≤ d1 ≤ 9 dan 0 ≤ dk ≤ 9, Padasistemdesimal, 1 ≤ d1 ≤ 9 dan 0 ≤ dk ≤ 9, Sedangkanpadasistembiner, d1 =1dan 0 ≤ dk ≤ 1. Contoh: 0.0563 × 10-3 0.563 × 10-4, 0.00023270 × 106  0.23270 × 103 BILANG TITIK AMBANG

35. PembulatanpadaBilanganTitik-ambang Bilanganriildidalamkomputermempunyairentangnilai yang terbatas. Bilangantitik-ambang yang tidakdapatmencocokisatudarinilai-nilaididalamrentangnilai yang tersedia, dibulatkankesalahsatunilaididalamrentang Galat yang timbulakibatpenghampirantersebutdiacusebagaigalatpembulatan. Adaduateknikpembulatan yang lazimdipakaiolehkomputer, yaitupemenggalan (chopping) danpembulatanke digit terdekat (in-rounding). BILANG TITIK AMBANG

36. Pemenggalan (chopping) Misalkan a = ±0. d1d2d3 ... dndn+1 ... × 10p flchop(a) = ±0. d1d2d3 ... Dn-1dn× 10p Contoh: π = 0.314159265358... × 100p flchop(π) = 0.3141592 × 100p ( 7 digit mantis) Galat= 0.000000065... PEMENGGALAN (CHOPPING)

37. Pembulatanke digit terdekat (in-rounding) Misalkan a = ±0. d1d2d3 ... dndn+1 ... × 10p flround(a) = ±0. d1d2d3 ... dn × 10p PEMBULATAN

38. Contoh: a = 0.5682785715287 × 10-4 : Di dalamkomputer 7 digit dibulatkanmenjadi flround(a) = 0.5682786 × 10-4 Di dalamkomputer 8 digit dibulatkanmenjadi? Di dalamkomputer 6 digit dibulatkanmenjadi Didalamkomputer 9 digit dibulatkanmenjadi? PEMBULATAN

39. Kasus1: Penjumlahan (termasukpengurangan) bilangan yang sangatkecilke (ataudari) bilangan yang lebihbesarmenyebabkantimbulnyagalatpembulatan. Contoh: Misalkandigunakankomputerdengan 4 digit (basis 10). Hitunglah: 1.557 + 0.04381 = 0.1557 × 101 + 0.4381 × 10-1. CariGalatdaripenyelesaianpenjumlahanaritmetikaterhadapbilanganpendekatan yang didapatdenganpemotongandanpembulatan! ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG

40. Kasus2: Penguranganduabuahbilangan yang hampirsamabesar (nearly equal). Biladuabilangantitik-ambangdikurangkan, hasilnyamungkinmengandungnolpadaposisi digit mantis yang paling berarti (posisi digit paling kiri). Keadaaninidinamakankehilanganangkasignifikan (loss of significance). Baikpemenggalanmaupunpembulatanke digit terdekatmenghasilkanjawaban yang sama ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG

41. Contoh: Kurangi 0.56780 × 105dengan 0.56430 × 105 (5 angkasignifikan) sertatentukanbilangangalat yang didapatdaripembulatandanpemenggalan! Kurangi3.1415926536 dengan 3.1415957341 (11 angka signifikan) sertatentukanbilangangalat yang didapatdaripembulatandanpemenggalan! ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG

42. Contoh: Diberikan. hitunglah f(500) denganmenggunakan 6 angkabenadanpembulatanke digit terdekat! Penyelesaian: (Solusieksakadalah: 11.174755300747198…)! Kenapahasiltidakakurat? Apakahadacarapenyelesaian yang lebihbaik? ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG