การให้สีกราฟ Graph Coloring

1. การให้สีกราฟ Graph Coloring

2. จัดทำโดย นายพัชรพล อดิเศรษฐกุล ชั้น ม. 6/7 เลขที่ 18

3. The Four Color Theorem การคาดการณ์อันนี้ถูกกล่าวถึงครั้งแรกในปี ค.ศ. 1852 เมื่อ ฟรานซิส กูทรี ได้สังเกตเห็นว่าสามารถใช้เพียงสี่สีก็เพียงพอในการระบาย ขณะที่กำลังระบายแผนที่ของเขตหนึ่งในอังกฤษ แผนที่ของเขตหนึ่งในอังกฤษ Francis Guthrie

4. ขณะนั้นกูทรีเป็นลูกศิษย์ของ ออกัสตัส เดอ มอร์แกน ที่ University College London กูทรีจบการศึกษาในปี ค.ศ. 1850 และต่อมาได้เป็นศาสตราจารย์สาขาคณิตศาสตร์ในประเทศแอฟริกาใต้ Augustus De Morgan University College London

5. หลักฐานอ้างอิงที่มีการตีพิมพ์เป็นอันแรกถูกพบในงานของ อาร์เทอร์ เคย์เลย์ (Arthur Cayley) Arthur Cayley On the colorings of maps., Proc. Royal Geography Society 1, 259-261, 1879

6. Timeline • ค.ศ. 1879 เกิดบทพิสูจน์หนึ่งของทฤษฎีบทนี้คืองานของ Alfred Kempe • ค.ศ. 1880 เกิดบทพิสูจน์อีกอันหนึ่งคือของ Peter Tait • ค.ศ. 1890 Percy Heawood ได้แสดงว่าบทพิสูจน์ของ Kempe มีข้อผิดพลาด และพิสูจน์ว่ากราฟเชิงระนาบทุกอันสามารถระบายได้ด้วยสี 5 สี • ค.ศ. 1891 Julius Petersenได้แสดงว่าบทพิสูจน์ของ Tait ผิดพลาด

7. Timeline (ต่อ) • ค.ศ. 1969 G. Spencer-Brown อ้างว่าทฤษฎีบทนี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยระบบคณิตศาสตร์ที่เขาได้พัฒนาขึ้นมา • ค.ศ. 1970 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Heinrich Heesch ได้พัฒนาวิธีการในการใช้คอมพิวเตอร์ช่วยหาบทพิสูจน์ • ค.ศ. 1976 พิสูจน์ข้อคาดการณ์สี่สีนี้ได้สำเร็จโดย Kenneth Appel และ Wolfgang Haken • ค.ศ. 2004 Benjamin Werner และ Georges Gonthier พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ด้วยใช้โปรแกรมพิสูจน์ทฤษฎีบทชื่อ Coq

8. การให้สีกราฟ การให้สีกราฟ (GraphColoring) เป็นปัญหาเกี่ยวข้องกับการระบายสีขอบเขตต่างๆ ของแผนที่ โดยที่ขอบเขตที่อยู่ติดกันจะต้องมีสีต่างกันและใช้สีน้อยที่สุด ปัญหาดังกล่าวสามารถจะใช้กราฟมาสร้างแบบจำ ลองได้โดย ให้แต่ละขอบเขตแทนด้วยจุดขอบเขตที่อยู่ติดกันให้มีเส้นเชื่อมจุดนั้น

9. การแปลงจากแผนที่ภูมิประเทศมาเป็นกราฟ

10. การแปลงจากแผนที่ภูมิประเทศมาเป็นกราฟ

11. นิยาม การให้สีของกราฟธรรมดาเป็นการกำหนดสีที่จุด โดยที่จุด 2 จุดใด ๆ ที่อยู่ติดกันจะต้องมีสีต่างกัน นิยาม Chromatic Number ของกราฟคือจำนวนสีที่น้อยที่สุดที่ใช้ในการให้สีกราฟนั้น

12. The Four Color Theorem • เป็นทฤษฎีที่มีชื่อเสียงทางคณิตศาสตร์ • กล่าวว่าจำนวน Chromatic Number ในการให้สีกราฟของกราฟระนาบ (Planar Graph) จะใช้ไม่เกิน 4 สี • พิสูจน์โดย Kenneth Appel และ Wolfgang Haken ใน ค.ศ. 1976 • ใช้ได้กับกราฟระนาบเท่านั้น

13. จงหาเลขสีของกราฟต่อไปนี้จงหาเลขสีของกราฟต่อไปนี้ จำนวนสีที่น้อยที่สุดที่จะให้สีกราฟนี้ได้ = 3 ∴ เลขสี = 3 คือ a,d,g สีแดง , b,f สีฟ้า และ c,e สีเขียว จำนวนสีที่น้อยที่สุดที่จะให้สีกราฟนี้ได้ = 4 ∴ เลขสี = 4 คือ a,d สีแดง, b,f สีฟ้า, c,e สีเขียว และ g สีเหลือง

14. จงหาเลขสีของ Kn เพราะว่า Kn 2 จุดใด ๆ จะต่อกัน ∴ จะต้องใช้จำนวนสีในการให้สี Kn = n สี และไม่สามารถใช้น้อยกว่า n ได้ ∴ เลขสี = n

15. จงหาเลขสีของกราฟสองส่วนบริบูรณ์ Km,n เพราะว่ากราฟสองส่วนจะแบ่งเซตของจุดออกเป็น 2 กลุ่ม ซึ่งภายในกลุ่มจะไม่ต่อถึงกันเลย ∴ ใช้สีเพียง 2 สี เท่านั้น ∴ เลขสี = 2

16. จงหาเลขสีของกราฟ Cn พิจารณา C4, C6, C8,… จะเห็นว่าใช้เพียง 2 สีก็พอ ∴เลขสีของ Cn = 2 สำหรับ n ที่เป็นจำนวนคู่

17. จงหาเลขสีของกราฟ Cn พิจารณา C3, C5, C7,…จะเห็นว่า ต้องใช้อย่างน้อย 3 สี ∴ เลขสีของ Cn = 3 สำหรับ n ที่เป็นจำนวนคี่

18. การประยุกต์ใช้การให้สีกราฟการประยุกต์ใช้การให้สีกราฟ

19. การจัดตารางสอบ ตัวอย่าง กรรมการจัดตารางสอนของภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ต้องทำการกำหนดเวลาสอนให้กับวิชาจำนวน 6 วิชา (วิชา a, b, c, d, e และ f) โดยมีบางคู่วิชาซึ่งไม่สามารถจัดสอนพร้อนกันได้ เนื่องจากมีนักเรียนลงทะเบียนเรียนวิชาเหล่านั้นควบคู่กัน ซึ่งคือวิชา a กับ b, b กับ c, c กับ a, a กับ d, b กับ d, d กับ c และ c กับ e แต่ละวิชาใช้เวลาเรียนติดกัน 3 ชั่วโมงต่อหนึ่งคาบ และทางภาควิชามีนโยบายที่จะสอนวิชาในภาคเฉพาะช่วงเช้า จงหาจำนวนวันที่น้อยที่สุดในการสอนทั้ง 6 วิชาดังกล่าว

20. วิธีทำ b f สร้างแบบจำลอง a c e d เราสามารถให้กราฟจำลองปัญหานี้ได้ โดยให้จุดแทนวิชาและคู่จุดใดจะมีเส้นเชื่อมต่อถึงกัน เมื่อคู่วิชานั้นไม่สามารถทำการสอนได้พร้อมกัน

21. ปัญหาคือการให้สีกราฟ โดยกลุ่มจุดใดที่มีสีเหมือนกันจะแทนกลุ่มวิชาซึ่งเปิดสอนพร้อมกันได้ ขาว ดำ ดำ แดง ขาว ฟ้า แสดงตัวอย่างการให้สีซึ่งใช้สีน้อยที่สุด ดังนั้นเราสามารถแบ่งวิชาทั้งหมดออกได้เป็นเซตย่อยต่างๆ ดังนี้ {a,f}, {b,e}, {c} และ {d} จึงสรุปว่าต้องใช้เวลาสอน 4 วัน

22. ตัวอย่าง จัดตารางสอบอย่างไรโดยมีเงื่อนไขว่าให้เวลาสอบวิชาละ 1 คาบ และไม่มีนักศึกษาคนใดสอบ 2 วิชาพร้อมกัน โดยมี 7 วิชา (วิชา 1,2,3,4,5,6,7) มี 2 วิชาต่อไปนี้ที่มีนักศึกษาสอบร่วมกัน คือ 1-2, 1-3, 1-4, 1-7, 2-3, 2-4, 2-5, 2-7, 3-4, 3-6, 3-7, 4-5, 4-6, 5-6, 5-7, 6-7

23. วิธีทำ สร้างแบบจำลอง

24. ลองลงสีให้กราฟ เลขสี = 4 เพราะใช้เพียง 4 สีก็ทำการให้สีกราฟนี้ได้ ∴ จำนวนคาบมีเพียง 4 ก็พอ

25. ตัวอย่าง ปัญหาเก่าแก่ปัญหาหนึ่งในทฤษฎีกราฟ คือการระบายสีแผนที่ ซึ่งถามว่าจะต้องใช้สีจำนวนน้อยที่สุดเท่าไร ในการระบายสีประเทศต่างๆ บนแผนที่ เพื่อให้ประเทศซึ่งมีพรมแดนติดกันใช้สีต่างกัน การลงสีแผนที่

26. วิธีทำ สร้างแบบจำลอง จากแบบจำลอง เราสามารถแบ่งประเทศออกเป็น 4 เซตย่อยต่างๆ ดังนี้ {1,5}, {2,3,8}, {4,7} และ {6} จึงสรุปว่าใช้ 4 สี นอกจากนี้ยังระบายแบบอื่นได้อีกเพื่อนๆ ลองคิดดู

27. การใช้ทรัพยากร ตัวอย่าง การประมวลผลที่มีการวนซ้ำของเครื่องคอมพิวเตอร์จะทำให้เร็วขึ้นได้ ถ้าตัวแปรที่ถูกใช้บ่อยถูกเก็บไว้ที่ดัชนีรีจิสเตอร์ (Index Register) ที่อยู่ในหน่วยประมวลผลกลางแทนที่จะเก็บไว้ในหน่วยความจำ ตามปกติ เมื่อกำหนดการวนซ้ำมาให้ ปัญหาคือจะต้องใช้ดัชนีรีจิสเตอร์จำนวนเท่าไร เพื่อนๆ มีแนวคิดอย่างไรในเรื่องนี้

28. แนวคิด การสร้างแบบจำลองปัญหานี้ทำได้โดยใช้การให้สีกราฟ โดยให้จุดแทนตัวแปรในการวนซ้ำ และจุด 2 จุดใด ๆ จะมีเส้นเชื่อมเชื่อมต่อกัน ถ้าตัวแปรนั้นต้องเก็บในรีจิสเตอร์พร้อมๆ กัน ขณะประมวลผลในการวนซ้ำ ∴ เลขสีจะแทนจำนวนรีจิสเตอร์ที่ต้องใช้เพราะรีจิสเตอร์ที่ต่างกันถูกกำหนดให้กับตัวแปรที่จุดนั้นติดกัน

29. ตัวอย่าง การกำหนดความถี่ของสถานีโทรทัศน์ช่อง 2–13 ถูกกำหนดให้ออกอากาศพร้อมๆ กันได้ แต่เพื่อไม่ให้คลื่นรบกวนกัน จะกำหนดให้สถานีโทรทัศน์ใช้ช่องต่างกัน ถ้าอยู่ในรัศมี 250 กม. จงใช้การให้สีกราฟในการสร้างแบบจำลองของการกำหนด ช่องให้กับสถานีโทรทัศน์

30. แนวคิด 1. สร้างกราฟโดยใช้จุดแทนสถานีโทรทัศน์ 2. จุด 2 จุดเชื่อมด้วยเส้นเชื่อม ถ้าห่างกัน < 250 กม. 3. ทำการให้สีโดยที่สีแต่ละสีจะแทนช่องต่าง ๆ เช่น

31. ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง ปัญหาการให้สีกราฟใดๆ โดยใช้จำนวนสีน้อยที่สุด จัดได้ว่าเป็นปัญหาที่ยาก ซึ่งหมายความว่ายังไม่มีวิธีการซึ่งมีประสิทธิภาพที่จะหาการให้สี ทฤษฎีบทต่อไปนี้นำเสนอขอบเขตของเลขสีประจำกราฟ G (ใช้สัญลักษณ์ x(G)) โดยสังเกตจากคุณสมบัติของกราฟ G

32. ทฤษฎีบทที่ 1 ถ้ากราฟ G เป็นกราฟธรรมดา ซึ่งมี v จุด และเส้นเชื่อม e เส้น จะได้ว่า x(G) ≥ v2/(v2 -2e) ทฤษฎีบทที่ 2 ถ้ากราฟ G ไม่มีวงจรซึ่งมีความยาวเป็นเลขคี่ และไม่ใช่กราฟแบบบริบูรณ์จะได้ว่า x(G) ≤ d โดยที่ d คือดีกรีที่มากที่สุดของจุดใน G ทฤษฎีบทที่ 3 กราฟ G จะเป็นกราฟ 2 สี ก็ต่อเมื่อ G ไม่มีวงจรซึ่งมีความยาวเป็นเลขคี่และต้องมีเส้นเชื่อมอย่างน้อยหนึ่งเส้น ทฤษฎีบทที่ 4 กราฟระนาบ G ใดๆ ถูกให้มีโดยใช้สี 4 สี (ข้อควรระวัง : อย่าได้สรุปว่ากราฟระนาบจะต้องใช้ 4 สี หรือกราฟไม่ระนาบจะต้องใช้ 5 สีขึ้นไป)

33. ข้อสังเกตอื่นๆ • กราฟซึ่งมีแต่จุดโดดเดียว จะเป็นกราฟหนึ่งสี • กราฟซึ่งมีเส้นเชื่อม (ซึ่งไม่ใช่เส้นเชื่อมวงวน) จะเป็นกราฟอย่างน้อย 2 สี • กราฟแบบบริบูรณ์ซึ่งมี n จุด (Kn) เป็นกราฟ n สี ดังนั้นกราฟซึ่งมีกราฟย่อยแบบบริบูรณ์ที่มี m จุด จะเป็นกราฟอย่างน้อย m สี • กราฟซึ่งมีเพียงหนึ่งวงจร ที่มี n จุด n ≥ 3 จะเป็น กราฟสองสี ถ้า n เป็นเลขคู่และเป็นกราฟ 3 สี ถ้า n เป็นเลขคี่ • กราฟวงล้อเป็นกราฟ 3 สี ถ้ามีจำนวนซี่ล้อเป็นเลขคู่ และจะเป็นกราฟ 4 สี ถ้ามีจำนวนซี่ล้อเป็นเลขคี่

34. เอกสารอ้างอิง • http://noppanun.lpru.ac.th/subject/discrete/chapter6.pdf • http://staff.buu.ac.th/~seree/310213/chap11.pdf • http://202.28.24.209/206281/?download=graph.pdf • http:// th.wikipedia.org/wiki/ทฤษฎีบทสี่สี