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1. 第四章 根轨迹法

2. 主要内容 4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 开环零、极点变化时的根轨迹 4-4 系统闭环零、极点分布与阶跃 响应的关系 4-5 系统阶跃响应的根轨迹分析 返回主目录

3. 基本要求 1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。 2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。 3.正确理解根轨迹法则，对法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。 返回子目录

4. 4.正确理解闭环零、极点分布和阶跃响应的定性关系，初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算。4.正确理解闭环零、极点分布和阶跃响应的定性关系，初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算。 5.了解绘制零度根轨迹的思路、要点和方法。

5. 闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。 根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系统的分析与设计带来了极大的方便。

6. 定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。 根据根轨迹所满足相角的不同又可将其分为 根轨迹和零度根轨迹。 4－1 根轨迹与根轨迹方程 一、根轨迹 返回子目录

7. 例子 • 如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为 图 4-1 （4-1）

8. 开环传递函数有两个极点 。 • 没有零点，开环增益为K。 • 闭环特征方程为 • 闭环特征根为 闭环传递函数为 （4-2） （4-3）

9. 从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化而变化。例如，设从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化而变化。例如，设

10. 如果把不同K值的闭环特征根布置在s平面上，并连成线，则可以画出如图所示系统的根轨迹。如果把不同K值的闭环特征根布置在s平面上，并连成线，则可以画出如图所示系统的根轨迹。 图 4-2

11. 二、闭环零、极点与开环零、极点之 间的关系 • 如图所示系统闭环传递函数为 图 4-3 （4-4）

12. 将前向通道传递函数 表示为 （4-5）

13. （4-6） （4-7） 为前向通道增益， 为前向通道根轨迹增益 式中： 为反馈通道的根轨迹增益。

14. （4-8）

15. 闭环传递函数 （4-10） 式中： 分别为闭环零、极点。

16. 闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益。闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益。 • 闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成。 • 闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益 有关。 根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。 比较式（4－8）和式（4－10）可得出以下结论：

17. 三、根轨迹方程 • 闭环特征方程 • D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-11） • 闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。 • 根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 （4-12） 式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示出开环传递函数与闭环极点的关系。

18. （4-13） 设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定n≥m，这时式（4－12）又可以写成： 不难看出，式子为关于s的复数方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。

19. （4-14） 相角方程 （4-15） 模值方程

20. 在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹， 而模值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的 值。 注意 • 模值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。 • 相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。

21. 已知系统的开环传递函数 试证明复平面上点 是该系统的闭环极点。 证明：该系统的开环极点 若系统闭环极点为 例4-1 它们应满足相角方程（4－15）

22. 图4－4 例4－1开环零、极点分布图

23. 以 为试验点，可得 (k=0) • 以 为试验点，观察上图，可得

24. 可见， 都满足相角方程， 所以， 点是闭环极点。 证毕

25. 已知系统开环传递函数 • 当 变化时其根轨迹如图4-5所示，求根轨迹上点 所对应的K值。 解 根据模值方程求解 值。 图4-5 例4－2 模值方程

26. 图4-5 • 根据图4－5可得 所以

27. 上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的 值。 • 根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。

28. 4－2 绘制根轨迹的基本法则 • 一、根轨迹的分支数 • 分支数＝开环极点数 • ＝开环特征方程的阶数 • 二、根轨迹对称于实轴 • 闭环极点为 • 实数→在实轴上 • 复数→共轭→对称于实轴 返回子目录

29. 由根轨迹方程有： 三、根轨迹的起点与终点 起于开环极点，终于开环零点。

30. 起点 → → → → 终点 若开环零点数m < 开环极点数n (有 个开环零点在无穷远处)，则有( )条根轨迹趋于无穷远点。

31. 四、实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。 证明： 设一系统开环零、极点分布如图。 图 4-6

32. 所以相角方程成立，即 是根轨迹上的点。 在实轴上任取一试验点 代入相角方程则 图 4-6

33. 如满足相角条件必有 一般，设试验点右侧有l个开环零点，h个开环极点，则有关系式 证毕 所以，l-h必为奇数，当然l+h也为奇数。

34. 例4－3 • 设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求 • 时的闭环根轨迹。 解：将开环传递函数写成零、极点形式

35. 按绘制根规迹法则逐步进行： • 法则一，有两条根轨迹。 • 法则二，根轨迹对称于实轴 • 法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、－2，一条终于有限零点－1，另一条趋于无穷远处。 • 法则四，在负实轴上，0到－1区间和－2到负无穷区间是根轨迹。 最后绘制出根轨迹如图4－7所示。

36. 图4－7 例4－3根轨迹

37. 五、根轨迹的渐近线 渐近线与实轴正方向的夹角为 渐近线与实轴相交点的坐标为

38. 解： 零点 极点 例4-4 已知系统的开环传递函数 试根据法则五，求出根轨迹的渐近线。

39. 按照公式得

40. 以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线 图 4-8

41. 图 4-9

42. (a) (b) (c) (d) 对应的开环传递函数

43. 六、根轨迹的起始角和终止角 根轨迹的 终止角 是指终止于某开环零点的根轨迹在该点处的切线与水平正方向的夹角。 根轨迹的 起始角 是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。

44. 终止角计算公式： 起始角与终止角计算公式 • 起始角计算公式：

45. 例4－5 • 设系统开环传递函数 试绘制系统概略根轨迹。 解：将开环零、极点画在图4－12的根平面 上，逐步画图：

46. 图4－12 例4－5根轨迹

47. n=2，有两条根轨迹。 • 两条根轨迹分别起始于开环极点 (-1，-j2), • (-1，+j2) ，终于开环零点 (-2-j) ,(-2+j) • 确定起始角、终止角。 • 如图4－13所示。

48. 例4－5根轨迹的起始角和终止角 图4－13

49. 七、根轨迹的分离点坐标d • 定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面上相遇又分开的点。 • 若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个分离点。 • 若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个会合点。

50. 式中： 为各开环零点的数值； 为各开环极点的数值。 分离点的坐标d可由下面方程求得