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第二章 行列式

第二章 行列式. 第二章 行列式. 行列式的定义 行列式的性质 行列式的计算 行列式的应用. 第二章 行列式. 第一节 行列式的定义. 一、排列及逆序 二 、 n 阶行列式的定义. 由 组成的一个有序数列称为一个. n 级排列的总数是. 一、排列及逆序. 定义 1. n 级排列。. 45312 是一个 5 级排列. 321 是一个 3 级排列，. 例如：. 即. 这个 排列具有 自然顺序. 12 ∙∙∙ n 是一个 n 级排列，. 按递增顺序排起来的. 逆序. 逆序. 逆序. 逆序. 逆序.

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第二章 行列式

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  1. 第二章 行列式 第二章行列式 • 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的计算 • 行列式的应用

  2. 第二章 行列式 第一节行列式的定义 一、排列及逆序 二、n阶行列式的定义

  3. 由 组成的一个有序数列称为一个 n 级排列的总数是 一、排列及逆序 定义1 n 级排列。 45312是一个5级排列. 321是一个3级排列， 例如： 即 这个排列具有自然顺序 . 12∙∙∙n是一个n级排列， 按递增顺序排起来的.

  4. 逆序 逆序 逆序 逆序 逆序 在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们 定义2 就称为一个逆序. 一个排列中逆序的总数就称为这 个排列的逆序数，排列 j1j2∙∙∙jn的逆序数记为 例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4 其逆序数为5 .

  5. 计算排列逆序数的方法 分别计算出排列中每个元素前面比它大的 数字个数之和，即算出排列中每个元素的逆序 数，各个元素的逆序数之总和即为所求排列 的逆序数.

  6. 例1求排列45321的逆序数. 解 在排列45321中, 4排在首位,逆序数为0; 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 3的前面比3大的数有2个,故逆序数为2; 2的前面比2大的数有3个,故逆序数为3; 1的前面比1大的数有4个,故逆序数为4; 4 5 3 2 1

  7. 于是排列45321的逆序数为 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 例如 排列45321 就是个奇排列。

  8. 当 时为偶排列； 当 时为奇排列. 例2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 解

  9. 记作 或det A . 二、n阶行列式的定义 称 定义3 为A的行列式， A的行列式表示一个与A相联系的数或表达式，这个数称为行列式的值.

  10. 当 当 为偶排列时，带有正号； A n 的值等于所有取自不同 行 不同列的 个元素 为奇排列时，带有负号。

  11. n 阶矩阵的行列式称为n 级行列式 .

  12. 2、 阶行列式是 项的代数和; 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积; 4、 的符号为 5、一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆; 说明 1、行列式是一种特定的算式，它是一个与方阵相关的数或表达式。

  13. 上三角行列式 例2计算

  14. 展开式中乘积项的一般形式是 解 行列式中第n行的元素除去ann以外全为零，因此只 要考虑 pn=n 的那些项 . 第n-1行中，除去an-1,n-1, an-1,n外其余元素全为零， 由于pn=n ， 所以只能取 同理可得 pn-2=n-2， 即不为零的项只有

  15. 例 3

  16. 同理可得下三角行列式

  17. 特别地， 对角行列式 单位阵 I 的行列式

  18. 含 的项有两项,即 例5 已知 解 因此，x3 项的系数是－1 .

  19. 阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 小结 1 排列及逆序 由1,2,···,n组成的一个有序数列 (1) n级排列 (2) 逆序及逆序数 (3) 奇排列与偶排列 2行列式 行列式是一个与方阵相关的数或表达式. n阶行 的n 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.

  20. 第二章 行列式 第二节 n 阶行列式的展开公式 一、余子式与代数余子式 二、行列式按行(列)展开的法则

  21. 从n阶行列式的定义可知，

  22. 一、余子式与代数余子式 在 n 阶行列式中， 定义1 剩下的(n-1)2个元 划去元素aij所在的第i行和第j 列， 素按原来的排法构成的一个n－1阶行列式称为元素aij 的余子式，记作Mij , 称(－1)i+jMij为aij的代数余子式， 记为Aij , 即Aij=(－1)i+jMij .

  23. 例如

  24. 二、行列式按行（列）展开法则 定理1n行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

  25. 例 1计算行列式 解 按第一行展开，得 注意到第二行零元素较多，按第二行展开，得

  26. 例2计算行列式 解

  27. 例3计算

  28. 按最后一行展开，有 解

  29. 小结 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 在按行、按列展开时，建议挑选含零最多的行、列.

  30. 第二章 行列式 第三节 行列式的性质 • 行列式的性质 • 应用举例

  31. 行列式 称为行列式 的转置行列式. 设 性质1行列式与它的转置行列式相等，即

  32. 说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零.

  33. 性质3如果行列式中某一行（列）元素是两组数的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式对应的行（列）相同，即性质3如果行列式中某一行（列）元素是两组数的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式对应的行（列）相同，即

  34. 一数 ，等于用数 乘此行列式. 性质4（行列式的“初等变换”）若将初等行（列）变换用于 n阶行列式，则 • 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同

  35. (2)　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数 k 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变． 从等号右端 看，利用性 质3、性质4 的（1）及性 质2即得等号 左端。 例如

  36. (3)互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式写成分块形式，则

  37. 推论1　某一行（列）元素全为零的行列式等于零．推论1　某一行（列）元素全为零的行列式等于零． 推论2　若有两行（列）元素对应成比例，则行列 式等于零 .

  38. 推论3　对 n阶行列式及数 k,有．

  39. 对三类初等矩阵，有

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