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第 29 课　几何作图

第 29 课　几何作图. 1 ．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺． 2 ．基本作图： (1) 作一条线段等于已知线段，以及线段的和 ﹑ 差； (2) 作一个角等于已知角，以及角的和 ﹑ 差； (3) 作角的平分线； (4) 作线段的中垂线．. 基础知识 自主学习. 要点梳理. 3 ．利用基本作图作三角形： (1) 已知三边作三角形； (2) 已知两边及其夹角作三角形； (3) 已知两角及其夹边作三角形； (4) 已知底边及底边上的高作等腰三角形； (5) 已知一直角边和斜边作直角三角形．. 4 ．与圆有关的尺规作图：

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第 29 课　几何作图

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  1. 第29课　几何作图

  2. 1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺．1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺． 2．基本作图： (1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和﹑差； (2)作一个角等于已知角，以及角的和﹑差； (3)作角的平分线； (4)作线段的中垂线． 基础知识 自主学习 要点梳理

  3. 3．利用基本作图作三角形： (1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形； (3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形； (5)已知一直角边和斜边作直角三角形．

  4. 4．与圆有关的尺规作图： (1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)； (2)作三角形的内切圆． 5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常 见类型． 6．作图的一般步骤： (1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明；(6)讨论． 步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一 定要保留作图痕迹．

  5. [难点正本　疑点清源] 1．明确基本作图的含义 应明确基本作图的含义，使学生了解基本作图是最基本的尺 规作图．基本作图要求比较严格，学生在学习线段、角、全等三 角形时已经接触了画图，在这个感性认识的基础上，强化严格训 练，要求会说、会分析、会画，并能说明所画出的图形是否合理、 正确．因此，基本作图是前面所学知识的综合应用．在实践活动 中，要培养学生综合应用数学知识的实践能力． 2．分析尺规作图 尺规作图的重要环节是会分析．有时候从问题的结论入手去 研究所给的条件，明确哪些是已知的，哪些是未知的，这些未知 条件怎样通过已知去求得，这个分析过程，可以培养学生的逻辑 思维能力．

  6. 1．(2012·佛山)尺规作图是指() A．用直尺规范作图 B．用刻度尺和圆规作图 C．用没有刻度的直尺和圆规作图 D．直尺和圆规是作图工具 答案　C 解析　根据尺规作图的定义，可知：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图． 基础自测

  7. 2．下列各条件中，不能作出唯一直角三角形的是()2．下列各条件中，不能作出唯一直角三角形的是() A. 已知两条直角边 B. 已知两个锐角 C. 已知一锐角及其邻边 D．已知一锐角及其对边 答案　B 解析　已知两角不能确定一个三角形．

  8. 3．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，3．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块， 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事 的办法是带() A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去 答案　C 解析　第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样 的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一 边，则可以根据ASA来配一块完全一样的玻璃．应带③去．

  9. 答案　B 解析　根据画法，有AC＝AD＝BC＝BD，所以四边形ADBC是菱形．

  10. 答案　C 解析　根据画法知，直线MN垂直平分AB，所以AD＝BD.由△ADC的周长AD＋DC＋AC＝10，得BD＋DC＋AC＝10，即BC＋AC＝10.所以AB＋BC＋AC＝10＋7＝17.所以△ABC的周长是17.

  11. 题型分类 深度剖析 题型一　画三角形

  12. 探究提高1.作三角形包括：①已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；②已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；③已知三角形的三边，求作三角形. 2.求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形．

  13. 解　画图略．

  14. 【例 2】　如图，107国道OA和320国道OB在我市相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使P到OA、OB的距离相等，且使PC＝PD，用尺规作图作出货站P的位置(不写作法，保留作图痕迹，写出结论)． 题型二　应用角分线、线段中垂线性质画图

  15. 解　作法：(1)画∠AOB的角平分线OQ. (2)画线段CD的垂直平分线交OQ于点P， ∴点P即所求的货站的位置． 探究提高　首先明确已知、求作，然后在此基础上绘出草图 分析，找出作图步骤，准确叙述作法，并完成作图．

  16. 知能迁移2　如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短？试在图中画出该点．知能迁移2　如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短？试在图中画出该点．

  17. 解　(1)画点A关于直线a的对称点A′； (2)连A′B交直线a于点C. ∴点C即所要建的抽水站的位置．

  18. 【例 3】　如图，已知.求作：(1)确定所在圆的圆心O；(2)过点A且与⊙O相切的直线．(要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法) 题型三　通过画图确定圆心

  19. 知能迁移3　如图，已知A、B两点． (1)求作：⊙O，使它经过A、B两点； (2)求作等腰△ABC，使顶点C在⊙O上，且AB＝AC.(要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)

  20. 解　(1)作AB的中垂线，在中垂线上任取一点作⊙O；解　(1)作AB的中垂线，在中垂线上任取一点作⊙O； (2)以点A为圆心，AB长为半径画弧交⊙O于点C.

  21. 【例 4】　某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中要求用直尺和圆规画图，不要求写出画法． (1)按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图； (2)按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图； (3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由． 题型四　画图并计算

  22. 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！

  23. 探究提高　按照题意画图，将实际问题转化为数学问题，并计算图形的面积，然后作大小比较．探究提高　按照题意画图，将实际问题转化为数学问题，并计算图形的面积，然后作大小比较．

  24. 知能迁移4(1)青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A、B、C的距离相等．知能迁移4(1)青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A、B、C的距离相等． ①若三所运动员公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施(用点P表示)的位置； ②若∠BAC＝66°，则∠BPC＝________度．

  25. 解　①画AB、AC的中垂线交于点P. ②∠BPC＝2∠BAC＝2×66°＝132°.

  26. (2)(2011·台湾)如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE.若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为几何？()(2)(2011·台湾)如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE.若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为几何？() A．45 B．52.5 C．67.5 D．75 答案　C

  27. 试题　尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形．试题　尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形． 已知：∠α，线段a. 求作：△ABC，使AB＝AC，∠BCA＝α，AD⊥BC于D，且AD＝a. 易错警示 18．作图必须满足题意

  28. 学生答案展示 如图， (1)作∠EAF＝∠α； (2)作AG平分∠EAF，并在AG上截取AD＝a； (3)过D画直线MN交AE、AF分别于C、B，△ABC为所求作的等腰三角形． 剖析　上述画法考虑AD平分∠BAC，等腰三角形顶角的平分线与底边上的高重合，但是画法(3)没有注意到AD⊥BC，也难以使AB＝AC.

  29. 正解　如图，(1)作∠EAF＝∠α； (2)作AG平分∠EAF，并在AG上 截取AD＝a； (3)过D作MN⊥AG，MN与AE、 AF分别交于B、C. ∴△ABC为所求作的等腰三角形． 批阅笔记　这里可用交会法，用直线MN和∠EAF两边相交，确定B、C两点． 求作的写法是，先写出求作的是什么图形，然后逐一写出对这个图形的要求．

  30. 方法与技巧 1. 一般的几何作图，初中阶段只要求写出已知、求作、作法三个步骤，完成作图时，需要注意作图痕迹的保留，作法中要注意作图语句的规范和最后的作图结论． 2. 根据已知条件作几何图形时，可采用逆向思维，假设已作出图形，再寻找图形的性质，然后作图或设计方案． 3. 实际问题要理解题意，将实际问题转化为数学问题． 思想方法 感悟提高

  31. 失误与防范 1．限定只使用没有刻度的直尺和圆规，目的不是画出图形本身，而是为了达到逻辑训练和思维训练的目的，有几个尺规作图，在其他作图题的作图过程中常常用到，称它们为尺规基本作图．写它们的画法时，只要用下面的一句话带过：(1)作线段等于已知线段；(2)作角等于已知角；(3)平分已知角；(4)经过已知点，作已知直线的垂线(包括已知点在已知直线上和直线外两种情况)；(5)作线段的垂直平分线(这事实上包括了作线段的中点)；(6)过已知直线外一点作它的平行线．

  32. 2．对于一个既不属于尺规基本作图，又不属于已知条件为边角边、角边角、角角边、边边边、斜边直角边的三角形的作图题，可以分析图形中是否有属于上述情况的三角形，先把它作出来，再发展成整个图形，这种思考方法，称为三角形奠基法；也可以按对求作图形的要求，一步一步地直接画出图形，这时，关键的点常常由两条直线(或圆弧)相交来确定，称为交会法．2．对于一个既不属于尺规基本作图，又不属于已知条件为边角边、角边角、角角边、边边边、斜边直角边的三角形的作图题，可以分析图形中是否有属于上述情况的三角形，先把它作出来，再发展成整个图形，这种思考方法，称为三角形奠基法；也可以按对求作图形的要求，一步一步地直接画出图形，这时，关键的点常常由两条直线(或圆弧)相交来确定，称为交会法． 事实上，往往把三角形奠基法和交会法结合使用．

  33. 完成考点跟踪训练29

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