Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)

2. Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) • Nazwa szkoły: • ZESPÓŁ SZKÓŁ w BACZYNIE • ID grupy: 98_9_MF_G1 • Opiekun: JAN KŁOSEK • Kompetencja: • MAT – FIZ • Temat projektowy: • NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZBOWE • Semestr/rok szkolny: V /2011/2012 • …………………………………………………….

4. Niedziesiątkowe systemy liczbowe

5. Niedziesiątkowe systemy liczbowe • Systemem liczbowym nazywamy sposób zapisywania liczb oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie działań na tych liczbach. Dla dowolnego systemu liczenia istnieje zbiór znaków, za pomocą których tworzy się liczby. Ze względu na sposób zapisu można je podzielić na dwie grupy: • 1) Systemy pozycyjne • 2) Systemy niepozycyjne (addytywne).

6. Systemy pozycyjne • Są to systemy, w których wartość liczbowa cyfry zależy od jej umiejscowienia (pozycji) w liczbie. Systemy pozycyjne posiadają pojedyncze symbole (cyfry) dla kilku pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi liczby n + 1, gdzie n jest najwyższą liczbą reprezentowaną pojedynczą cyfrą. W momencie gdy dana potęga nie jest potrzebna do zapisu danej liczby, zostawia się w zapisie puste miejsce, lub częściej specjalny symbol oznaczający zbiór pusty. Obecnie jest to cyfra zero.

7. Zapis liczb w różnych systemach opiera się na tych samych zasadach co w systemie dziesiętnym, a różni się ilością używanych cyfr. W systemie dwójkowym używamy dwóch cyfr , w trójkowym trzech itd. • W systemach jedenastkowym , dwunastkowym itd. trzeba wprowadzić dodatkowe symbole na oznaczenia liczb : 10 , 11 itd. , które w tych systemach są cyframi (np: 10 – D, 11 – J ).

8. Każdą liczbę przedstawiamy w postaci wyrażenia • Ci-1·pi-1+ci-2·pi-2+...+c2·p2+ c1·p1+c0·p0 • gdzie p jest podstawą systemu liczenia, zaś liczby oznaczone literą c z indeksami, nazywamy cyframi. • Cyfry wyrażają liczbę użytych jednostek rzędu, przy której występują. • Liczbę daną powyższym wyrażeniem zapisujemy w postaci: ( ci-1ci-2 ... c2 c1 c0 )g • Jeżeli g = 10, to piszemy ci-1ci-2 ...c2 c1 c0

9. SYSTEM JEDYNKOWY • Jest to najprostszy system zapisu liczb, gdyż wykorzystuje tylko jedna cyfrę 1.Podstawą pozycji też jest liczba 1. Tak jak w każdym systemie pozycyjnym o wartości cyfry stanowi pozycja na której ona stoi: - cyfrę na pierwszej pozycji  mnożymy  razy 10 . - cyfrę na 2 pozycji  mnożymy razy 11, - cyfrę na 3 pozycji razy 12 itd. • Jednakże jak wiadomo liczba 1 podniesiona do dowolnej potęgi daje jeden. Wynika z tego że w tym systemie na każdej pozycji cyfra 1 ma wartość 1.

10. przykłady • 11 = 1*10 + 1*11 = 2 Liczba 11 w systemie jedynkowym równa jest liczbie 2 w systemie dziesiętnym • 1111 = 1*10 + 1*11+ 1*12 + 1*13 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 Liczba 1111 w systemie jedynkowym równa jest liczbie 4 w systemie dziesiętnym

11. NIEPRAKTYCZNOŚĆ SYSTEMU System ten jest wiec bardzo niewygodny w praktyce: Zapis liczby 30     111111111111111111111111111111 Zapis liczby 50 11111111111111111111111111111111111111111111111111 Na zapisanie większych liczb np. 1 000 000 mogło by nie starczyć nam chęci i miejsca na kartce

12. System dwójkowy • Dwójkowy system liczbowy (inaczej: system binarny) – system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc tylko dwie cyfry: 0 i 1 • Używał go już John Napier w XVI wieku, przy czym 0 i 1 zapisywał jako a i b. • Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi podstawy systemu.

13. Liczby w systemie dwójkowym • Liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż: • (010)2 = 1*23+0*22+1*21+0*20=8+2=10 • Liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 100, w systemie dwójkowym przybiera postać: • (1100010)2 = 1*26+1*25+1*21=100

14. Pierwsze 10 liczb w systemie dwójkowym

15. ZAMIANA Z SYSTEMU DZIESIETNEGO NA DWÓJKOWY: • Liczby można również zamieniać w odwrotny sposób czyli z systemu dziesiętnego na dwójkowy. Aby to zrobić wystarczy dzielić liczbę w systemie dziesiętnym przez 2 tak długo aż zostanie nam liczba jeden (jedynkę też dzielimy)  i przy każdym dzieleniu zapisywać resztę z tego dzielenia ( 1 albo 0 ). Potem zapisujemy reszty w odwrotnej kolejności jako ciąg cyfr.

16. Przykład: •  Zamiana liczby 41 z systemu dziesiątkowego na system dwójkowy  41/2 = 20    reszta1  20/2 = 10    reszta0  10/2 = 5      reszta0  5/2 = 2        reszta1  2/2 = 1        reszta0  1/2 = 0        reszta1Czytając reszty od tyłu wychodzi nam liczba 101001 tak wiec liczba 41 w systemie dziesiętnym jest równa liczbie 101001 w systemie dwójkowym.

17. Działania na liczbach w systemie dwójkowym • Działania na liczbach w systemie dwójkowym są odpowiednikiem działań w systemie dziesiętnym i opierają się na elementarnych działaniach: • 1+ 0 = 1 • 1 + 1 = 10 • 1* 0 = 0 • 1 * 1 = 1 • 10 - 1 = 1

18. Dodawanie pisemne w systemie dwójkowym

19. 0dejm0wanie pisemne w systemie dwójkowym

20. Ósemkowy system liczbowy • Ósemkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy o podstawie 8. System ósemkowy jest czasem nazywany oktalnym od słowa octal. Do zapisu liczb używa się w nim ośmiu cyfr, od 0 do 7. • Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera postać 144, gdyż: • 1*82+4*81+4*80=64+32+4=100

21. Przykład zamiany liczby z systemu dziesiątkowego na system ósemkowy • 100/8 = 12 i 4 reszty = 4 • 12/8 = 1 i 4 reszty = 4 • 1/8 = 0 i 1 reszty = 1 • Teraz czytamy od dołu: 144 w systemie oktalnym to 100 w systemie dziesiętnym.

22. Zastosowanie w informatyce • System ósemkowy jest stosowany w informatyce. Przykładowo, w systemie Linux polecenie "chmod" ustawiające prawa dostępu do pliku może przyjąć jako argument oktalną reprezentację żądanych praw dostępu (np: "chmod u=rwx g=rx o=r plik" odpowiada zapisowi "chmod 754 plik"). W językach programowania C/C++/Java/Perl/PHP liczby oktalne poprzedza się pojedynczym zerem (np. 0212).

23. Szesnastkowy system liczbowy • Szesnastkowy system liczbowy (czasem nazywany heksadecymalnym, skrót hex) – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 16. Skrót hex pochodzi od angielskiej nazwy hexadecimal. Do zapisu liczb w tym systemie potrzebne jest szesnaście cyfr. • W najpowszechniejszym standardzie poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych sześciu liter alfabetu łacińskiego: A, B, C, D, E, F (wielkich lub małych). Cyfry 0-9 mają te same wartości co w systemie dziesiętnym, natomiast litery odpowiadają następującym wartościom: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 oraz F = 15.

24. Zapisywanie liczb w Szesnastkowym systemie liczbowym • Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi znaków, z których każdy jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu. Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w systemie szesnastkowym przybiera postać 3E8, gdyż: • 3*162+14*161+8*160=768+224+8=1000

25. Liczby w różnych systemach

26. NIEPOZYCYJNE SYSTEMY LICZBOWE (ADDYTYWNE) Systemy niepozycyjne (addytywne) to takie w których wartość danej liczby jest suma wartości znaków cyfrowych z których się ona składa. Najpopularniejszym systemem addytywnym jest system arabski, który wykorzystuje symbole 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.Innym popularnym systemem jest system rzymski

27. LICZBY RZYMSKIE I ICH ZASTOSOWANIE

28. Historia liczb rzymskich • System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500 p.n.e. Nadaje się on, co prawda, do wygodnego zapisywania liczb, jest jednak niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych, oraz nie pozwala na zapis ułamków. Te niewygody nie występują w systemie pozycyjnym.

29. Znaki używane w systemie rzymskim • W systemie rzymskim do zapisu liczb używa się 7 liter: • I=1 L=50 M=1000 • V=5 C=100 • X=10 D=500 • Liczba zero nie posiada własnego znaku w systemie rzymskim, gdyż "nic" nie było powszechnie uważane za wartość liczby.

30. Liczby powstające z dodawania znaków. • II=1+1=2 LX=50+10=60 • VI=5+1=6 CX=100+10=110 • XI=10+1=11 CL=100+50=150 • XV=10+5=15 DC=500+100=600 • XVI=10+5+1=16 MC=1000+100=1100

31. Liczby powstające z ODEJMOWANIA znaków. • IV=5-1=4 CD=500-100=400 • IX=10-1=9 CM=1000-100=900 • XL=50-10=40 CDXC=500-100+100-10=490 • XC=100-10=90 CMIX=1000-100+10-1=1009

32. Sposób zapisywania liczb rzymskich • Aby utworzyć liczbę, trzeba zestawić odpowiednie znaki, poczynając od tego oznaczającego liczbę największą do tego oznaczającego liczbę najmniejszą. • Jeżeli składnik liczby, którą piszemy, jest wielokrotnością liczby nominalnej, wtedy zapisywany jest z użyciem kilku następujących po sobie znaków, z zachowaniem zasady, by nie pisać czterech tych samych znaków po sobie (choć dawniej się jej nie stosowało), lecz napisać jeden znak wraz ze znakiem oznaczającym wartość większą o jeden rząd (liczbowy).

33. Sposób odczytu liczb rzymskich • Cyfry jednakowe są dodawane, cyfry mniejsze stojące przed większymi są odejmowane od nich, cyfry mniejsze stojące za większymi są do nich dodawane. • MCLXIV = 1000(M) + 100(C) + 50(L) + 10(X) + 5(V) – 1(I)= = 1164 • Można spotkać zapis, w którym minimalizuje się (ogranicza) liczbę znaków. Np. 1999 to normalnie MCMXCIX, ale można również napisać MIM, choć to drugie jest już jednak modyfikacją.

34. Gdzie używa się zapisu liczb systemem rzymskim? • Do oznaczania godzin na tarczy zegarowej • Przy numeracji rozdziałów • Na tablicach pamiątkowych • W inskrypcjach