第九讲 几何图形的计数

1. 第九讲 几何图形的计数

2. 在数学竞赛试题和中考中，经常出现一些几何计数问题，所谓几何计数是指在数学竞赛试题和中考中，经常出现一些几何计数问题，所谓几何计数是指 计算满足一定条件的图形的个数．它的内容比较新颖有趣，为了准确计数， 必须要有一套计数的方法，否则越数头绪越杂乱，很难得出准确的结果． 本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法． 学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法，更重要的是使我们 感受到数学中的一些重要思想的运用，如数形结合思想、分类讨论思想和转 化的思想，分类讨论思想在这里尤其突出，我们所使用的所有计数方法都离 不开分类． 下面让我们通过例题研究和熟悉几何计数的方法吧！

3. AC、 AD、 AB、 AE、 AF共5条 如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么 这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1= . （一）数 线 段 例1 你是怎样数的？ 数线段时，可以线段的左端点进行分类，逐类分别数出线段条数后相加 BC、BD、BE、BF共4条 注意：这里涉及到数学中很重要的思想方法——分类的思想方法。在几何计数中怎样分类？本例所介绍的是方法（1）：按照包含同一图形进行分类；（2）先划分出基本图形，再按照包含基本图形的数目分类． CD、CE、CF共3条 AB、BC 、CD 、DE 、EF; AC 、BD 、CE 、DF；AD 、BE 、CF；AE 、BF；AF共16条 DE、DF共2条 EF共1条 合计有5+4+3+2+1=15（条） 基础训练 1． 共有6×(6+1)÷2=21（条）

4. （二）数 角 以OA为一条边的角有： ∠AOB ∠AOD ∠AOC ∠AOE共4个 E E E 同样还有： D D D C C C ∠BOC，∠BOD，∠BOE共3个 ∠COD ，∠COE共2个 ∠DOE共1个 合计有4+3+2+1=10（个） B B B O O O A A A 4×(4+1)÷2 =10 D1 E1 C1 B1 A1 （三）数三角形 4个基本角的和=90°；两个相邻基本角组成的3个角的和=90°+45°=135°； 三个相邻基本角组成的2个角的和=135°；4个相邻基本角组成的1个角=90°，所以所有角的和=90°+135°+135°+90°=450°． 例2 数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边 上面我们采用的方法是分类法 这里采用的方法是“对应法”，这也是计数中常用的方法，这种方法实际上是数学的另一思想——转化思想的运用 使用对应法时，总是在原图形中（有时需添加辅助线）找出它的某一部分作对应图形 可用数线段的方法数如图所示的三角形（对应法） 因为DE上有15条线段，每条线段的两端点 与点A相连，可构成一个三角形，共有15个 三角形，同样一边在BC上的三角形也有15 个，所以图中共有30个三角形。 本题的解决，既有分类法又有对应法

5. A 基础训练5 下图中共有个三角形 O B C 图中共有---------个长方形 M D A P E F G H Q C B N 顶点为O，且 一边在AB上的三角形有3×4÷2=6（个）； 一边在BC上的三角形有4×5÷2=10（个）； 一边在AC上的三角形有3×4÷2=6（个）， 再加△ABC，所以共有23个三角形． （四）数长方形、平行四边形和正方形 线段AM与AE对应着长方形AMPE， AM与AG对应着长方形AMQG， AM与AB对应着长方形AMNB， AM与EG对应着长方形EPQG, AM与EB对应着长方形EPNB, AM与GB对应着长方形GQNB. 就是说AM与AB边的6条线段都分别对应着一个长方形，共6个长方形 AD边上共有3条线段，其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形， 所以共有3×6=18个长方形 一般的，类似于这样的长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段， 纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个 例4 横边上有8×(8+1)÷2=36条线段，纵边上有7×(7+1)÷2=28条线段， 所以共有36×28=1008个平行四边形．

6. 例6 （雨露招生试题）如图，图中平行四边形的个数为 假设分为如下图所示的两块，那么每块中的 平行四边形的个数都是 思考：如最右侧的图形中也有30个平行四边形， 那么原图中平行四边形的个数是否是3×30=90？ 不是90，还应减去如下图所示的两个“田字格”中的各9个平行四边形，因为这18个 平行四边形已经包含在前60个之中． 所以，原图形中平行四边形的个数是90－18=72． 思考：能否像例4那样数平行四边形？ 可以将图形分割成几部分，使每一部分都像例4那样的图形 但分割的块数越少越好 思考：原图中平行四边形的个数是否等于60？ 注意：在使用分类计数法时，一定要注意是否有遗漏或重复计数的！

7. 例5 如左、中、右三图，各包含多少个正方形？ 为便于叙述，我们设一个小正方形的边长为1，那么 左图中边长为1的正方形的个数是 3×2=6 边长为2的正方形的个数是 2×1=2 所以左图中共有正方形 3×2+2×1=8（个） 这里所采用的方法是分类法中的另一种，是： （3）按照图形的大小分类 中图中边长为1的正方形的个数是 4×3=12 3×2=6 边长为2的正方形的个数是 边长为3的正方形的个数是 2×1=2 所以中图中共有正方形 4×3+3×2+2×1=20（个） 6×4=24 右图中边长为1的正方形的个数是 5×3=15 边长为2的正方形的个数是 边长为3的正方形的个数是 4×2=8 边长为4的正方形的个数是 3×1=3 所以中图中共有正方形 6×4+5×4+4×2+3×1=50（个） 如果一横行有m个小正方形，一竖行有n个（假设m≥n）小正方形， 那么图中正方形的个数是mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1)

8. A L F B E 第1类：与三角形ABE形状有某些相似的三角形有▁▁个 K G 第2类：与三角形ABF形状有某些相似的三角形有▁▁个 H D C 第3类：与三角形ABG形状有某些相似的三角形有▁▁个 第5类：与三角形AFL形状有某些相似的三角形有▁▁个 第6类：与三角形AGD形状有某些相似的三角形有▁▁个 例7 你打算怎样数图中的三角形？ 5 5 10 5 第4类：与三角形ACD形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 5 所以图中的三角形共有35个 这里所采用的方法是分类法中的另一种，是： （4）按照图形的形状分类 也可以说是 （5）按照图形所处的位置分类

9. 分为两类，一类是有一组对边在水平方向的正方形，如左图分为两类，一类是有一组对边在水平方向的正方形，如左图 这类正方形的个数是 4 共有95个正方形 直角边长为1的三角形有 直角边长为2的三角形 5--6行 3--4行 4--5行 1--2行 2--3行 直角边长为4的三角形 4--6行 3--5行 直角边长为3的三角形 1--2行 第4行 斜边长为2的三角形1--3行 第5行 第6行 1-6列依次3+3+3+2+3+3=17（个） 1-4行1个 ,2-5行2个， 4-5行1个，共4个 例8（华罗庚金杯竞赛题）下图中有个正方形，有个三角形． 能否将图中的正方形分类，按照不同类型分别数出其中的正方形个数？ 6×6+5×5+4×4+3×3+2×2+1×1=91 除上一类为，还有 个正方形 这里所使用的方法是分类法中的（4）按照图形的形状分类 6×6×2=72个 2个, 6个,共30个 6个, 8个, 8个, 4个, 4个,共10个 2个 3--6行2个 思考：还有漏数的三角形吗？ 3个 各4个,共12个 1个 4个，共计20个 思考：还有漏数的三角形吗？ 思考：还有漏数的三角形吗？ 斜边长为4的三角形 所以图中的三角形共计72+30+10+2+20+17+4=155（个） 这里用了分类法中的（3）按照图形的大小分类（之后又按图形所处位置分类）

10. 课后反思总结 计数方法： 1．分类计数法 （1）按照包含同一图形分类； （2）按照图形所包含的“基本图形”的个数分类。 （3）按照图形的大小分类； （4）按照图形的形状分类； （5）按照图形所处的位置分类． 2．对应计数法 几个计算公式： 1．线段、角的计数公式： 2．长方形、平行四边形的计数公式：横边上共有n条线段， 纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个 3．正方形的计数公式：如果一横行有m个小正方形，一竖行有n个（假设m≥n）小正方形，那么图中正方形的个数是 mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1) =mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)×1 问题解答在http://ylpxxx.blog.sohu.com/

11. 成就测试答案 3．(4+3+2+1)×（4+3+3+1）=100． 4．4×1+3×2+2×3+1×4=20 5． 经过AB到F的有▁▁种爬法 3 所以共9种爬法 6．如图，图中的长方体和正方体共有多少个？ 说出你是怎样数的． F G E D 7．如图，图中的三角形共有多少个？请把它们都用记号表示出来． C A B △MNG 所以图中的三角形共有8+5+3+1=17个 B A C D E F A F D N G M B C E 1．3+2+1=6，∠A1OA4． 2．6+5+4+3+2+1=21． 3 3 经过AE到F的有▁▁种爬法 经过AD到F的有▁▁种爬法 与数长方形和正方形的方法类似 (3+2+1)×(2+1)×(2+1)=54 长方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个 正方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个 3×2×2+2×1×1=14 △ABC, △ABE,△ABN,△ABF, △ADM,△ADC,△BDG,△BDC (1)一边在AB上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁ △BCA, △BCD,△BCF,△BCG, △BEA,△BEN,△ECA,△ECM (2)一边在BC上而另一边 不在AB上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁ △CAB, △CAD, △CAE,△CAM, △CFB , △CFG, △AFB, △AFN (3)一边在CA上而另一边既 不在AB上也不在BC上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁ 共计8+5+3=16个吗？ (4)三边不在AB、BC、CA上的有

12. c a f e d b 图中共有直线6条，设为a, b,c,d,e,f, 每3条一组，列表如下 abc abd abe abf acd ace acf ade adf aef 计10组 bcd bce bcf bde bdf bef 计6组 cde cdf cef计3组 def 计1组 def 计1组，合计10+6+3+1=20组 但是经过同一点的三条直线不能围成三角形， 所以图中的三角形共有20－3=17（个） 这里采用的是对应法，但是也要注意计数中是否有遗漏或重复

13. 提高训练3．图中共有多少个三角形？ 显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类（1）最大的三角形1个(即△ABC)， （2）第二大的三角形有 1+2=3（个） （3）第三大的三角形有 1+2+3=6（个） （4）第四大的三角形有 1+2+3+4=10（个） （5）第五大的三角形有 1+2+3+4+5=15（个） （6）最小的三角形有 1+2+3+4+5+6+3=24（个） 最后加的3个是哪3个？ 所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个） 图中共有三角形2×59=118（个）

14. 第2步：明确对应关系　从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）。第2步：明确对应关系　从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）。 第3步：计算对应图形个数由于在 8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点， A · 提高训练4 在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？ 注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法 第1步：找对应图形 每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上。 第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有49×4=196（种）。

15. 或平行于一边的分割线。 这时，长为3的边是原正方形的一边 注意：不能与（1）中的三角形重复 提高训练5下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？ 1．显然应先求出阴影三角形的面积 设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角形的面积是½×2×3=3 2．思考图中怎样的三角形的面积等于3 （1）一边长2，这边上的高是3的三角形的面积等于3（即形如图中阴影三角形）。 这时，长为2的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有2×4×4=32（个）； （2）一边长3，这边上的高是2的三角形的面积等于3。 这样的三角形有8×2=16（个） 所以这样的三角形共有32+16=48（个）