浅谈 “ 概率统计 ” 课程建设与教学中的思考与实践

浅谈“概率统计”课程建设与教学中的思考与实践浅谈“概率统计”课程建设与教学中的思考与实践南京理工大学杨孝平

一、一般性的思考 二、（“概率统计”）是什么？三、（开“概率统计”课）为什么？四、（我们）怎么做？

一、一般性的思考 ——关于大学数学公共基础课程的思考 ——教学实践中的几个常见问题 ——怎么办？

必须转变那种妨碍学生创新精神和创 新能力的教育观念、教育模式，特别是由教师单向灌输知识，以考试分数作为衡量教育成功的惟一标准以及划一呆板的教育教学制度，要下功夫造就一批真正能站在世界科学技术前沿的学术带头人和尖子人才。 ——江泽民

教育观念 大学教育的可能性：有限的知识+良好的素质和能力大学教育的不可能性：所有的知识+终身教育

自然这本大书，是用数学来写的。 ——伽利略数学是科学的大门和钥匙。 ——R. Bacon

（《几何原本》）此书为益，能令学 理者祛其浮气，待其精心，学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。 ——徐光启

数学处于人类智能的中心领域。 ——冯·诺依曼整理出宇宙的秩序——数学的作用 ——（Arthur Jaffe——美国Ad报告（1984）——数学科学资金来源特别委员会(The Ad Hoc Committee on Resources for the Mathematical Sciences)）

我所知道的每一点数学都以这样或那样的方式在实际应用中帮了我的忙。我所知道的每一点数学都以这样或那样的方式在实际应用中帮了我的忙。 ——E. Knuth

数学发展的大致特点 由低维到高维；由线性到非线性；由自治到时变；由局部到整体；由交换到非交换；由正规到奇异；由稳定到分叉、混沌； ……

数学教育作用 灌输数学知识提高数学素养（如抽象思维、逻辑思维等）培养应用数学能力（建立数学模型、应用数学分析、进行数值计算、模拟和仿真等）

数学教育目标 获得（数学）基础知识；学会学习思维（方法）；知道把握（问题）全局；了解（知识）整体构架；掌握（应用）基本思路。

存在的教学问题 注入式讲得过细、过透、过复杂、过神秘（抽象）忽略数学概念、数学思想不注重数学应用缺乏连贯、统一的教学认知

我们应该和可以怎么做？？？

几点认识 1）数学是从人类生活中长大、发展的； 2）数学是一个整体，“数”“形”是互通的，数学各科间是相互关联的； 3）数学正渗透到现代科技、工程、经济、社会的各个领域，有极其广泛的应用。

（A）去粗取精，去伪存真 （B）返璞归真，来龙去脉（C）学会简单，学会问题（D）注重关联，注重统一（E）无招有招，心领神会

（A）去粗取精，去伪存真 1）关于“精” 主线主要概念主要理论主要思想主要方法

高等数学：函数、极限； 线性代数：线性空间、矩阵；常微分方程：全微分（方程）；复变函数：解析；数理方程：化PDE为ODE；实变函数：零测度；概率与统计：分布、数字特征、统计特征； ……

2）关于“真” 收敛；秩；基； Cauchi-Riemann公式；微元；分布；统计量； ……

3）如何“去”“存” 方法是：化未知的为已知的化复杂的为简单的要注意：局部与整体条件和结论

线性化； 逼近；齐次化；降阶；局部化； ……

（B）返璞归真，来龙去脉 知识的来源（Motivations）（来龙） ↓ 系统知识 ↓ 知识的应用（去脉）

要求教师 学习数学史（了解来龙）学习现代科技和开展科学研究（知道去脉）

别把数学想像的艰难晦涩、不可捉摸，它只不过是常识的升华而已。别把数学想像的艰难晦涩、不可捉摸，它只不过是常识的升华而已。 ----Lord Kelvin

对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。 —— J. Fourier

物理不仅给我们以解决问题的机会……而且还使我们预料到它的解。物理不仅给我们以解决问题的机会……而且还使我们预料到它的解。 ——H. Poincare

数学的应用： 经济金融社会科学信息科学与计算现代物理(从Einstein到Yang-Mills到Hawking等）生物科学与技术(美国国立数学生物学综合研究所（NIMBioS）） ……

随着后基因组时代的到来，生物学研究者的定量研究能力和知识，已不再是可有可无的了。随着后基因组时代的到来，生物学研究者的定量研究能力和知识，已不再是可有可无的了。 ——James Collins 将数学和生物学结合是一种独特的学科交叉的研究方法，不久的将来，NIMBioS一定会在全球产生深刻的影响。 ——Louis Gross

（C）学会简单，学会问题 学生层面：要学会最简单、最基本的知识和原理。教师层面：要抓住主线，化繁为简。教学原则：讲清楚最简单、最基本的知识和原理，说明知识扩展、延伸的思想和方法。

注意确当地应用局部化思想 独立事件、条件概率等； PDE化为ODE：分离变量法、特征线法、积分变换法；而Green函数法是从一般到特殊等。

教师和学生都应学习如何问问题！ 教师的问题应有诱导性、启发性、发散性。应提倡学生不拘一格，大胆、创新地提出各种问题和设想。

例如：对于函数，是否有更好的概念来代替连续和可微，而又能很好地研究函数的性质呢？例如：对于函数，是否有更好的概念来代替连续和可微，而又能很好地研究函数的性质呢？又如：期望与均值、方差与波动、统计特征与个别事件分别有什么关系？既然概率只是可能性，研究概率有什么意义呢？

如果Newton和Leibniz想到过连续函数不 一定有导数——而这却是一般情形，——那么微分学就决不会被创造出来。 ——E. Picard

在这(19)世纪初已认为要断然从严密数学中驱逐出去的那些级数，在这世纪末竟又重敲接纳之门，这确实是我们科学的一个奇怪的变迁。在这(19)世纪初已认为要断然从严密数学中驱逐出去的那些级数，在这世纪末竟又重敲接纳之门，这确实是我们科学的一个奇怪的变迁。 ——J. Pierpont 这级数是发散的；因此我们有可能用它来做些事件。 ——O. Heaviside

（D）注重关联，注重统一 分析——几何——代数连续——离散确定——随机理论——应用定量——定性

认识之一： 学科方向之间是相互依赖、相互渗透、相互促进的 . 如在1500年以前人们认为三次以上的方程是不现实的！促进几何与代数的结合先驱是Descartes.

只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是，当这两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完善。 ——J. L. Lagrange

认识之二：学科之间的交叉、相融产生了 新的学科，达到了更高的统一。微积分+几何微分几何代数+几何+分析解析几何、仿射几何数学物理 变分法复变函数论涉及微积分、几何、代数等

认识之三：学科中的一些理论和方法具有穿针引线的作用。认识之三：学科中的一些理论和方法具有穿针引线的作用。如中值定理（公式）、局部化方法、分布等。

（E）无招有招，心领神会 润物无声，无招胜有招；心领神会，宁静乃致远。数学知识、数学思想、数学方法、数学之美的教学之体现

教师教学风格、思维方式、认知悟性会在无形之中感化、影响学生！教师教学风格、思维方式、认知悟性会在无形之中感化、影响学生！学术上要严谨思想上要自由人格上要独立

教师应有开放的学习心态。 独学而无友，则孤陋寡闻。

二、（“概率统计”）是什么？ ——背景 ——内涵 ——在（人才培养中的）地位

2.1 学科背景 学科、专业 ——课程数学的二级学科、统计学一级学科、统计专业——课程（概率论、统计学、概率与统计、应用统计等）

发展历史回顾 (一）概率论方面三个多世纪以前，赌徒的问题：为什么一次扔三个骰子所得和为10要比和为9来得频繁？ L. Pacioli、N. Tartaglia、J. Cardano （《赌博的游戏》）讨论过赌金分配问题。

1654年，一个叫德·梅累（Chevalier de Mere)的法国赌徒向当时的大数学家帕斯卡(Pascal)提出一个使他苦恼了很久的问题。

de Mere的问题： 为什么再扔两个骰子24次时把钱下注在至少有一次出现双六点是没有好处的。

赌金分配问题：两个赌徒两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了 a (a<m)局，另一个人赢了 b(b<m)局的时候，赌博中止。问：赌本应该如何分法才合理？

帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛(Fermat)一起，研究了德·梅累提出的关于骰子赌博的问题。于是，一个新的数学分支——概率论登上了历史舞台。帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛(Fermat)一起，研究了德·梅累提出的关于骰子赌博的问题。于是，一个新的数学分支——概率论登上了历史舞台。概率论从赌博的游戏开始，但概率论的成长已远远掩盖了它在赌窟中的不名誉的起源。

三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理学家和数学家惠更斯（Huygens)企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理学家和数学家惠更斯（Huygens)企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。

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