בעיית הקונסנזיוס

1. בעיית הקונסנזיוס בעיית הגנרלים הביזאנטים

2. ייתכנו בוגד(ים) בקרב הגנרלים... בוגדים שחצנים בוגדים פחדנים מעביר הודעות שקריות לא מגיב

3. האלגוריתם לבעיית ההסכמה הגנרליםהביזנטיים המטרה:הבוגדים לא יצליחו לפצל את כוחות הנאמנים. כל הגנרלים הנאמנים יגיעו לאותה החלטה - לתקוף או לסגת (A או R). ההחלטה תהיה על סמך החלטת רוב ביניהם, אם יששיוויון - ההחלטה לסגת (R). • הנחות: • התקשורת נטולת בעיות ואמינה - • לא יתכן שהודעה לא תגיע או תגיע שגויה. • האלגוריתם מטפל בכשלים ביזנטיים- • כל הבוגדים שחצנים. • הם תמיד מעבירים הודעות לעיתים שקריות.

4. ניסיון ראשון לפתרון הבעיה: אלגוריתם 1 • כל צומת (גנרל): • גנרל יחליט מה דעתו, לתקוף או לסגתX • שלח לכל שאר הגנרלים את X • קבל מכל שאר הגנרלים את דיעותיהם שלהם • חשב רוב Y האלגוריתם מתוכנן עבור 4 גנרלים שלכל היותר אחד מהם בוגד שחצן. האם הוא נכון ?

5. כדי לעקוב אחר האלגוריתם נבנה עצי מידע על כל צומת. ליאו A זואי R ג’ון ? ג’ון זואי ג’ון A R זואי ליאו עץ מידע מתאר את גילגולה של הודעה • שורש העץ – יוזם ההודעה ונושאה. תוכן ההודעה מופיע בצומת. • חץ, קשת – ממי נשלחה ההודעה ואל מי. • כאשר שולח ההודעה משקר, יופיע ערך על החץ, שהוא תוכן ההודעה החדשה . • כאשר צומת לא מעביר הודעה, לא יצא ממנו חץ.

6. ליאו A זואי R A R ג’ון ? ג’ון זואי ג’ון זואי ליאו עצי מידע - המשך זהו עץ מידע על ליאו. ליאו הוא גנרל נאמן שהעביר את הודעתו A לג’ון וזואי. זהו עץ מידע על זואי. זואי היא בוגדת פחדנית שלא העבירה את הודעתה R לליאו אלא רק לג’ון. זהו עץ מידע על ג’ון. ג’ון הוא בוגד שחצן המעביר הודעות סותרות לליאו וזואי.

7. הביאו תסריט המוכיח כי האלגוריתם אינו נכון. תסריט המראה כי לא כל הגנרלים הנאמנים יגיעו לאותה החלטה

8. זואי A ליאו A בזיל בזיל ג'ון ג'ון ליאו זואי R AARR סדרת ההודעות של ליאו: R AARR סדרת ההודעות של זואי: באזיל R ג'ון ? A R זואי ג’ון R זואי בזיל ליאו ליאו A AAAR סדרת ההודעות של באזיל: תיאור התסריט באמצעות עצי מידע • ליאו בחר A ושלח זאת לבאזיל זואי וג'ון. ליאו A זואי A עץ המידע על ליאו: עץ המידע על זואי: • זואי בחרה Aושלחה זאת לבאזיל ליאו וג'ון. בזיל בזיל ליאו זואי • באזיל בחר R ושלח זאת לג’ון ליאו וזואי. • ג’ון, הבוגד השחצן, שלח A לבזיל ו R לזואי וליאו. בזיל R עץ המידע על באזיל: עץ המידע על ג’ון: זואי זואי בזיל ליאו ליאו

9. מסקנה: ג’ון הבוגד השחצן הצליח לפצל כוחות. זואי וליאו ייסוגו ובאזיל יתקוף לבדו וכנראה יושמד...

10. ניתוח הכשל באלגוריתם 1 • באלגוריתם 1 ההחלטה של כל גנרל הייתה על סמך 3 הדעות שקיבל מחבריו + דעתו שלו. הבוגד שלח הודעות סותרות לצמתים, ולכן היו צמתים ש- 4 הדעות שצברו היו שונות. • הכרעת הרוב הייתה על ערכים שונים וכך הצליח הבוגד לפצל את הנאמנים.

11. ניסיון שני לפתרון הבעיה: אלגוריתם 2 (הרכילויות) • באלגוריתם זה שני סיבובי הודעות - בסיבוב הראשון כל גנרל מודיע את דעתו , ובשני כל גנרל 'מרכל' את ההודעות שקיבל ממישהו אל השאר. האם האלגוריתם נכון ????

12. }סיבוב ראשון{ • בחר דעה ראשונית: לתקוף(A) או לסגת(R) • שלח דעתך לכל הגנרלים האחרים. • קבל מכל הגנרלים האחרים את דיעותיהם. }סיבוב שני { - עבור כל גנרל אחר G שלח את דעתו של G לכל הגנרלים האחרים (אך לא ל G עצמו( - עבור כל גנרל אחר G קבל את הדעות של הגנרלים האחרים על G החלט על סמך רוב דעות (הדעה שהתקבלה ישירות מ G והדעות שהתקבלו בעקיפין על( G מהי באמת דעתו של G. - החלט על סמך רוב הדעות שלך ושל הגנרלים האחרים אם לתקוף או לסגת.

13. ליאו A ג’ון בזיל זואי R ג’ון זואי זואי בזיל דוגמא לעץ מידע עם שני סיבובי הודעות זהו עץ מידע על ליאו. העץ מתאר את גילגולה של ההודעה A שנשלחה ע”י ליאו. זואי היא בוגדת פחדנית. היא לא העבירה את הודעתו של ליאו לגנרלים האחרים. ג’ון הוא בוגד שחצן. הוא שיקר לזואי בדבר הודעתו של ליאו.

14. תכנון הבדיקה • כדי שהבוגד השחצן לא יצליח לבלבל את הגנרלים הנאמנים עלינו לוודא שלכל הנאמנים יהיו ערכים זהים (של דעות). זו בעצם מטרת הסיבוב השני – סיבוב ה'רכילות'. האם אנחנו מצליחים? האם תמיד אצל כל הגנרלים מתקבלים ערכים זהים של דעות ?

15. נראה תחילה כי עבור שלושה גנרלים - שניים נאמנים ואחד בוגד שחצן, הבוגד כן יצליח לפצל את דעות הנאמנים.

16. תסריט המראה כי עבור 3 גנרלים, הבוגד אכן הצליח במזימתו: ג’ון A A בזיל A ליאו R ליאו בזיל ג’ון ליאו בזיל ג’ון בזיל ליאו A R ג’ון ג’ון ליאו בזיל ליאו הנאמן החליט לסגת (R) ובזיל הנאמן החליט לתקוף (A). ג’וןהבוגד שלחלליאו ולבזיל שדעתו לתקוף (A) אבל בסיבוב הרכילות, ג’ון שיקרלבזילומסר לו כי דעתו שלליאוהיא A ושיקרלליאוומסר לו כי דעתו של בזיל היא R. בזיל A ליאו R ליאו בזיל ליאו בזיל בזיל ליאו ליאו בזיל R (R,R,A) (R, (A,R), (A,A)) סדרת ההודעות שקיבל ליאו היא: A (A,R,A) (A, (R,A), (A,A)) סדרת ההודעות שקיבל בזיל היא:

17. טענה לנכונות עבור 4 גנרלים - אחד מהם בוגד שחצן • כן, תמיד אצל כל הגנרלים הנאמנים מתקבלים 4 ערכים זהים של דעות. • אם זה נכון, אז האלגוריתם נכון. למה ? • כי כל אחד מחליט על ערך סופי על סמך הכרעת רוב בין 4 הערכים ואם הם זהים אצל כולם אז גם הערך הסופי זהה.

18. טענה 1 • במקרה של מידע על גנרל נאמן: יופיע אצל כל הגנרלים הנאמנים ערך הזהה לזה שהוא בחר ושלח להם (הבוגד לא יצליח להטעות). • אם נאמן (נאמר בזיל) בחר D, הוא ישלח אותו ל-3 חבריו. • 2 מהם נאמנים, והם ירכלו ביושר זה לזה ולבוגד • ז"א שכ"א מהם מחזיק שתי הודעות בעלות אותו ערך D והודעה נוספת עם מה שהבוגד שלח. • לכן, כ"א מהם יחליט שדעתו של בזיל היא D (החלטת רוב).

19. A ? A A עץ המידע על זואי סדרת ההודעות שהיגיעה לבזיל וליאו על דעתה של זואי: החלטת רוב זואי A ליאו ג'ון ליאו בזיל בזיל R בזיל ליאו ג'ון בזיל ליאו ג'ון ליאו בזיל ליאו בזיל R A A מה יחליט בזיל על דעתה של זואי? מה יחליט ליאו על דעתה של זואי? A A A

20. הסבר הוכחת הטענה • אצל באזיל, מידע על זואי מגיע מזואי, מג'ון ומליאו !! • אנו רואים מהעץ שגם לבאזיל וגם לליאו הנאמנים הגיע המידע על דעתה של זואי במדויק !! • זואי בחרה Aואכן הגיע A. ובלי הגבלת כלליות כל מידע אחר היה מגיע גם. • הבוגד לא יכול 'לקלקל'.

21. טענה 2 • עבור גנרל בוגד שחצן, יופיע אצל כל הגנרליםהנאמניםערךזהה!! • הבוגד (נאמר ג'ון) ישלחXלבזיל, Yלליאוו-Z לזואי. • השלושהנאמניםולכן 'ירכלו' זהלזהבדיוקאתמהשג'וןשלחלהם. • לכלאחדמהםיופיע Y, Xו- Z ועלסמךזהיקבעואתדעתושלג'ון. • לכן, לכולםיהיהערךזההשלדעתו.

22. מה האינפורמציה שיש לליאו על ג'ון? מה האינפורמציה שיש לבזיל על ג'ון? עץ המידע על ג’ון Z Y X ג'ון ? Z Y X Z X Y זואי ליאו ליאו בזיל בזיל Y X Y Z Z X זואי בזיל בזיל ליאו ליאו זואי ליאו ליאו בזיל בזיל האינפורמציה שיש לזואי על ג'ון. Z Y X

23. סוף ההוכחה • מהוכחת טענה 1 וטענה 2 לכל הנאמנים יש 4 ערכים זהים עליהם הם מבצעים הכרעת רוב ומקבלים את אותו הערך מ.ש.ל