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《 线性代数 》 证明题

《 线性代数 》 证明题. 张小向 东南大学数学系 http://math.seu.edu.cn E-mail:z990303@seu.edu.cn 版本 :2007.12.10. 本能。. 一 . 为什么要练习解决证明题. 培养严谨的逻辑思维能力。. 为什么要培养严谨的逻辑思维能力？. 竞争。. 为什么要竞争？. 生存。. 为什么要生存？. 二 . 我们为什么觉得证明题难. 不清楚题目所涉及的概念 不熟悉现存的有关结论 分不清条件的 必要性 与 充分性 不善于组织语言 没有积累足够的经验 没有深入思考.

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  1. 《线性代数》证明题 张小向 东南大学数学系 http://math.seu.edu.cn E-mail:z990303@seu.edu.cn 版本:2007.12.10

  2. 本能。 一. 为什么要练习解决证明题 培养严谨的逻辑思维能力。 为什么要培养严谨的逻辑思维能力？ 竞争。 为什么要竞争？ 生存。 为什么要生存？

  3. 二. 我们为什么觉得证明题难 • 不清楚题目所涉及的概念 • 不熟悉现存的有关结论 • 分不清条件的必要性与充分性 • 不善于组织语言 • 没有积累足够的经验 • 没有深入思考

  4. 定义/定理/性质/推论/公式 检验 三. 证明题的难度分类 1. 直接用定义、定理、性质、推论、公式 条件 结论

  5. 不存在不全为零的数 k1, k2, …, kn 使 k1e1+k2e2+…+knen = . 0 1 0 0 0 1 1 0 0 , e2 = , …, en = , 例1. 设e1 = … … … 证明: (1) e1, e2, …, en线性无关. (2) 任何一个n维向量都能由 e1, e2, …, en线性表示.

  6. 0 k2 0 0 0 kn 0 0 0 k1 0 0 + +…+ = , 即 … … … … 0 0 0 k1 k2 kn = , 亦即 … … 若k1e1+k2e2+…+knen = , 证明: (1) 可见k1=k2=…=kn=0. 不存在不全为零的数k1, k2, …, kn使k1e1+k2e2+…+knen = . 这就是说 所以e1, e2, …, en线性无关. 

  7. 0 1 0 0 0 1 a1 a2 an 1 0 0 a1 a2 an = + + … + … … … … 0 1 0 0 0 1 1 0 0 , e2 = , …, en = , 例1. 设e1 = … … … 证明: (1) e1, e2, …, en线性无关. (2) 任何一个n维向量都能由 e1, e2, …, en线性表示.

  8. a1 a2 an 对于任意的n维向量 都成立, … 0 1 0 0 0 1 a1 a2 an 1 0 0 证明: (2) 因为 a1 a2 an = + + … + … … … … 所以任何一个n维向量都能由 e1, e2, …, en 线性表示.

  9. a1 a2 an 0 x2 0 0 0 xn x1 0 0 = + +…+ , … … … … 证明: (2) 对于任意的n维向量=(a1, a2, …, an)T, 设= x1e1+x2e2+…+xnen, 即 这只是 必要条件 由此可得x1=a1, x2=a2, …, xn=an. 经检验,  = a1e1+a2e2+…+anen 确实成立, 所以任何一个n维向量都能由e1, e2, …, en线性表示.

  10. 定义/定理/性质/推论/公式 三. 证明题的难度分类 • 直接用定义、定理、性质、推论、公式 • 从结论往回推一步 从条件往下推一步+ 对接 条件 结论

  11. 由l11+l22+l33 = 推出l1=l2=l3=0 由k11+k22+k33 = 推出k1=k2=k3=0 例2. 设1, 2, 3线性无关, 证明 1= 1+2+3, 2= 2+3, 3=3 也线性无关. 1, 2, 3线性无关 1, 2, 3线性无关

  12. 证明:若k11+k22+k33 = , 即k1(1+2+3)+k2(2+3)+k33 = , 亦即k11+(k1+k2)2+(k1+k2+k3)3 = . 又因为1, 2, 3线性无关, 所以k1= k1+k2 = k1+k2+k3 = 0. 由此可得k1= k2= k3= 0. 这就是说, 不存在不全为零的数k1, k2, k3 使k11+k22+k33 = . 所以1, 2, 3线性无关.

  13. 三. 证明题的难度分类 • 直接用定义、定理、性质、推论、公式 • 从条件往下推一步+从结论往回推一步 • 要走好几步而且有分岔, 可能要讨论, 归纳 结论 条件

  14. |A|, |B|, |A+B|  0 Ax = 只有零解 A, B, A+B满秩 … A的行(列)向量组 线性无关 A, B, A+B与I相抵 |A1+B1|  0 (A1+B1)x = 只有零解 A1+B1满秩 A1+B1与I相抵 … A1+B1的行(列)向量组线性无关 例3. 设A, B, A+B都是可逆矩阵, 证明A1 + B1也 是可逆矩阵. A, B, A+B可逆 注意到 这几个矩阵 都是方阵 A1 + B1可逆

  15. 例3. 设A, B, A+B都是可逆矩阵, 证明A1 + B1也 是可逆矩阵. 证明: 因为A, B, A+B都是可逆矩阵, 所以|A|, |B|, |A+B|都不为零. 于是可得 |A1 + B1| = |A1I + IB1| = |A1(BB1) + (A1A)B1| = |A1(BB1) + A1(AB1)| = |A1(B + A)B1| = |A1(BB1 + AB1)| = |A1|  |A+B|  |B1| = |A1(A + B)B1|  0. = |A|1  |A+B|  |B|1 可见A1 + B1是可逆矩阵.

  16. 四. 怎样提高解决证明题的能力 学而不思则惘，思而不学则殆。 敏而好学，不耻下问。 工欲善其事，必先利其器。 ——[春秋]《论语》 千里之行始于足下。 ——[春秋]《老子》

  17. 四. 怎样提高解决证明题的能力 不积跬步无以至千里。 锲而不舍，金石可镂。 ——[战国]荀子:《劝学》 无他，惟手熟尔。 ——[北宋]欧阳修:《卖油翁》 为之则难者亦易矣。 ——[清]彭端淑:《为学》

  18. A 1 2 . . F E 所以BD = BC, 因而AD + BE + CF 1 2 1 2 . B C CE = CA, AF = AB, D = (AB+BD)+(BC+CE)+(CA+AF) 3 2 = (AB+BC+CA) 五. 爆炒证明题 例4. 已知三角形ABC中, 点D, E, F分别是边BC, CA, AB的中点, 求证:AD + BE + CF = . 证明: 因为D, E, F分别是BC, CA, AB的中点, = .

  19. 证明: 因为AD = AB + BC + CD = 2BC. 万一AD = 2BC =  怎么办? 例5. 设, 为两个不共线的向量, AB =  +2, BC = 4  , CD = 5 3 , 证明: 四边形ABCD是梯形. = 8 2 小样儿, 还想刁难我! 看我怎么摆平你!

  20. 证明: 因为AD = AB + BC + CD = 2BC. 假若BC = , 故由AD = 2BC可知AD与BC平行而且同方向. 所以BC  . . A . B . C . D 会不会出现 例5. 设, 为两个不共线的向量, AB =  +2, BC = 4  , CD = 5 3 , 证明: 四边形ABCD是梯形. = 8 2 即4  = , 则= 4, 这与“, 个不共线”矛盾! 因而AD = 2BC  0,

  21. 此矛盾表明AB与CD不共线. 故由AD = 2BC可知AD与BC平行而且同方向. 假若AB与CD共线, . A . B . C . D 会不会出现 则存在不全为零的数k1, k2使得k1AB + k2CD = , 即k1( +2) + k2(5 3) = , 整理得(k15k2) + (2k13k2) = . 又因为, 个不共线, 所以k15k2 = 2k13k2 = 0. 由此可得k1 = k2 = 0. 这与“k1, k2不全为零”矛盾! 综上所述, 四边形ABCD必为梯形.

  22. 1 3 证明: 要证OM = (OA + OB + OC), 只要证3OM = OA + OB + OC, 即(OM  OA) + (OM  OB) + (OM  OC) = , . . F E 即AM + BM + CM = . 1 3 1 3 BM = (BA + BC), 而AM = (AB + AC), . O 1 3 1 3 CM = (CA + CB), OM = (OA + OB + OC). 故AM + BM + CM = … = . . . D M 例6. 设M是ABC的重心, O是ABC所在平面上 的任意一点, 证明: A C B 于是原命题得证.

  23. 例7. 设向量, , 互不平行, 且=  = , 证明:  + + = . 证明: 因为 ( + +) =   +  +  =  +  +  = . 类似地, 可以证明( + +) = . 可见+ +既与共线又与共线. 假若 + +  , 则必与共线, 但这与“, , 互不平行”矛盾! 此矛盾表明 + + = . 注: 本题条件“, , 互不平行”可以换成 “与不平行”.

  24. 例8. 若A, B都是n阶对称矩阵, 且AB = BA, 证明: AB也是对称矩阵. 证明: 因为A, B都是n阶对称矩阵, 即 AT = A, BT = B. 又因为AB = BA, 所以 (AB)T = BTAT = BA = AB. 这就是说AB也是对称矩阵. 注: 还可以证明: “若A, B, AB都是n阶对称矩阵, 则AB = BA”. 事实上, AB = (AB)T = BTAT = BA.

  25. annan1an2 0 annan1 0 0 an . n(n1) 2 1 2 (M+N)n = Mn + CMn1N + CMn2N2 + … + Nn. n n a 1 0 0 a 1 0 0 a 例9. 设A = , 求证:当n > 2时, An = 证明: (方法一) 用数学归纳法. 略. (方法二) 先用数学归纳法证明: 若矩阵M, N满足MN = NM, 则对于任意 的正整数n,

  26. 1 2 (M+N)k = Mk + CMk1N + CMk2N2 + … + Nk, ②若 k k 1 2 = (Mk + CMk1N + CMk2N2 + … + Nk)(M+N) k k 1 2 = Mk+1 + CMk1NM + CMk2N2M + … + NkM k k MN = NM 1 1 2 + MkN + CMk1N2 + CMk2N3 + … + Nk+1 k+1 k k 2 = Mk+1 + C MkN + C Mk1N2 + … + Nk+1. k+1 1 2 (M+N)n = Mn + CMn1N + CMn2N2 + … + Nn. n n ①当n = 1时, (M+N)1 = M1+N1成立. 则(M+N)k+1 = (M+N)k(M+N) 由数学归纳法原理可知: 若矩阵MN满足MN = NM, 则对于任意的 正整数n,

  27. 0 1 0 0 0 1 0 0 0 , N = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 N3 = , N2 = n(n1) 2 a1 0 0 a1 0 0 a = M+N, 则A = 1 2 = Mn + CMn1N + CMn2N2 + … + Nn n n an 0 0 0 an 0 0 0 an anI an1I an2I n a 0 0 0 a 0 0 0 a 令M = = aI, 且MN = aN = NM, Mn = (aI)n = anI, = N4 = N5 = …, 因此当n > 2时, An = (M+N)n

  28. 1 2 (A + AT) 1 2 1 2 B = (A + AT), C = (A  AT). 1 2 (A  AT) 例10. 证明任何一个方阵都可以分解为一个对称 矩阵和一个反对称矩阵之和. 分析: 设B是对称矩阵, C是反对称矩阵, A = B+C, 则AT = (B+C)T = BT + CT = B  C. 因而A + AT = (B+C) + (BC) = 2B, A  AT = (B+C)  (BC) = 2C, 由此可见 可以直接验证 是对称矩阵, 是反对称矩阵.

  29. 1 2 C = (A  AT), 1 2 1 2 令B = (A + AT), (AT + A) = 1 2 (A + AT)T 则BT = 1 2 1 2 (A  AT)T (AT  A) = CT = 例10. 证明任何一个方阵都可以分解为一个对称 矩阵和一个反对称矩阵之和. 证明: 设A为任意方阵, = B, = C, 而且A = B + C, 其中B是对称矩阵, C是反对称矩阵.

  30. ka11ka12 … ka1n ka21ka22 … ka2n kan1kan2 … kann a11a12 … a1n a21a22 … a2n an1an2 … ann = kn … … … … … … 例11. 证明奇数阶反对称矩阵的行列式等于零. 证明: 设A为n阶反对称矩阵(n为奇数), 则AT = A, 于是|A| = |AT| = |A| = (1)n|A| = |A|, 移项得2|A| = 0, 故|A| = 0.

  31. 例12. 设A是n阶方阵, n2, 求证|A*| = |A|n1. 证明: 分两种情况讨论: (1) 当|A| = 0时, |A*| = 0, 否则由|A*|  0可知A*可逆, 而AA* = |A|I = 0I = O, = O(A*)1 = O, 于是A = AA*(A*)1 这与|A*|  0矛盾! 由此可得A* = O, 因此|A*| = 0 = |A|n1.

  32. 例12. 设A是n阶方阵, n2, 求证|A*| = |A|n1. 证明: 分两种情况讨论: (2) 当|A|  0时, 令|A| = a, 则AA* = |A|I = aI, 于是a|A*| = |A||A*| = |AA*| = |aI| = an. 由此可得|A*| = an1 = |A|n1.

  33. 可换成 |A|  1 例13. 设A是奇数阶方阵, 且ATA = I, |A| > 0, 求证I  A不可逆. 证明: 设A是n阶方阵(n为奇数), 则 |I  A| = |ATA  IA| = |(AT  I)A| = |AT  I||A| = |(A  I)T||A| = |(I  A)||A| = |A  I||A| = (1)n|I  A||A| = |I  A||A|, 移项得(1+|A|)|I  A| = 0. 又因为|A| > 0, 故1+|A|>1, 因而|I  A| = 0. 所以I  A不可逆.

  34. a1 a2 an … a1 a2 an = … … … … … a1 a2 an … 例14. 设A = I  eeT, I是n阶单位阵, e是n维非零 列向量. 求证: (1) A2 = A  eTe = 1; (2) 当eTe = 1时, A不可逆. 分析: (1) 设e =  , 则eT = (a1, a2, …, an), a12a1a2 … a1an a2a1a22 … a2an ana1ana2 … an2 eeT = (a1, a2, …, an)  O, eTe = (a1, a2, …, an) = a12 + a22 + … + an2.

  35. 例14. 设A = I  eeT, I是n阶单位阵, e是n维非零 列向量. 求证: (1) A2 = A  eTe = 1; (2) 当eTe = 1时, A不可逆. 证明: (1) 由e是n维非零列向量可知eeT是n阶 eTe是1阶方阵(也就是一个数). 非零矩阵, 因为A = I  eeT, 所以 A2 = (IeeT)(IeeT) = I eeT eeT + eeTeeT = I 2eeT + e(eTe)eT = I + (eTe 2)eeT, 故A2 = A  I + (eTe 2)eeT = I  eeT  (eTe 1)eeT = O  eTe 1 = 0  eTe = 1.

  36. … … … … a12a1a2 … a1an a2a1a22 … a2an ana1ana2 … an2  O矛盾! eeT = 例14. 设A = I  eeT, I是n阶单位阵, e是n维非零 列向量. 求证: (1) A2 = A  eTe = 1; (2) 当eTe = 1时, A不可逆. 证明: (2)当eTe = 1时, 由(1)可知A2 = A, 假若A可逆, 则由A2 = A可知A = I, 进而得e = eeTe = Oe 因而eeT = O, = . 于是eTe = 0, 但这与eTe = 1矛盾! 此矛盾表明A不可逆. 注: 也可以根据前面的分析得到eeT = O与

  37. a11a12a13a14 a21a22a23a24 a31a32a33a34 a41a42a43a44 b11b12b13b14 b21b22b23b24 b31b32b33b34 b41b42b43b44 例15. 证明两个上三角矩阵的乘积是上三角矩阵. 证明: 设A = (aij)nn和B = (bij)nn都是上三角矩阵, 即i > j时, aij和bij都为零. 令AB = (cij)nn, 则i > j时 cij = ai1b1j+…+aijbjj+ ai,j+1bj+1,j+…+ ainbnj = 0. 可见AB也是上三角矩阵. 参考 具体 的例 子:

  38. 1 k3 k1 k3 k2 k3 4= 1 2  3. 例16. 设1, 2, 3, 4都是n维向量. 已知4不能由 1, 2, 3线性表示, 但1能由2, 3, 4线性 表示. 求证1能由2, 3线性表示. 证明: 由条件可设1 = k12+k23+k34. 假若k3 0, 则由上式可解出 这与“4不能由1, 2, 3线性表示”矛盾! 矛盾表明k3= 0, 因而1 = k12+k23. 这就是说1能由2, 3线性表示.

  39. , , …,   , , …,. 设 j1 i1 j2 i2 jr ir , , …, 是1, 2, …, s中任意r个 j1 j2 jr 例17. 证明: 在秩为r的向量组中任意r个线性无关 的向量都是它的极大无关组. 证明: 设1, 2, …, s的秩为r, 这意味着1, 2, …, s有一个极大无关组: 线性无关的向量, 我们只要证明 “1, 2, …, s中任意一个向量j都能由 线性表示”即可.

  40. 由于 j这r+1个向量能由 , , …,  , , , …,  , , , …,  , , …,  , , …,  , , …,  设 j1 j1 j1 j1 i1 j1 j2 i2 j2 j2 j2 j2 jr ir jr jr jr jr , , …, 是1, 2, …, s中任意r个线性 j1 j2 jr 故 j线性相关, 其中 线性无关, 线性表示. 因而j确实能由 无关的向量, 我们只要证明 “1, 2, …, s中任意一个向量j都能由 线性表示”即可. 这r个向量线性表示, 故原命题得证.

  41. 1 0 0 2k1 0 1 0 2k2 0 0 1 2k3 0 0 0 1 其中 可逆, 例18. 设有向量组I: 1, 2, 3; II: 1, 2, 3, 4; III: 1, 2, 3, 5. 已知秩(I) = 秩(II) = 3, 秩(III)=4. 证明1, 2, 3, 24+5线性无关. 证明: 由秩(I) = 3可知I线性无关; 由秩(II) = 3可知II线性相关, 因而4能由1, 2, 3线性表示. 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2k1 2k2 2k3 1 设4 = k11+k22+k33, 则 (1, 2, 3, 24+5) = (1, 2, 3, 5) 故秩(1, 2, 3, 24+5) = 秩(III) = 4. 所以1, 2, 3, 24+5线性无关.

  42. a11 a21 am1 a12 a22 am2 a1s a2s ams b11 b21 bm1 b12 b22 bm2 b1n b2n bmn , , , , , , … … … … … … = = = = = = 1 2 s 1 2 n … … a12 a22 am2 a1s a2s ams k11 k21 kn1 k12 k22 kn2 k1s k2s kns a11 a21 am1 … … … … … … … … … … … b12 b22 bm2 b1n b2n bmn b11 b21 bm1 … … … … … …, …, I: II: A = (1, 2, …, s), B = (1, 2, …, n), j = k1j1+ k2j2+ …+ knjn, j = 1, 2, …, s, 即 = (1, 2, …, n) 1 2 s 这就是说, I能由II线性表示存在K使得A = BK.

  43. 例19. 设Rn中向量组I: 1, 2, …, s; II: 1, 2, …, t; III:1, 2, …, s, 1, 2, …, t. 证明: max{秩(I),秩(II)}秩(III)秩(I)+秩(II). 证明: (1) 1 = 11+02+…+0s+01+02+…+0t; 2 = 01+12+…+0s+01+02+…+0t; …; s = 01+02+…+1s+01+02+…+0t; 1 = 01+02+…+0s+11+02+…+0t; …; t = 01+02+…+0s+01+02+…+1t, 可见I和II都能由III线性表示, 因此秩(I) 秩(III), 秩(II)秩(III).

  44.  , , …,为I的一个极大无关组, i1 i2 ir ,, …,为II的一个极大无关组, j1 j2 ju (1, 2, …, s) = ( , , …, )C, i1 i2 ir (1, 2, …, t ) = (,, …, )D, j1 j2 ju 例19. 设Rn中向量组I: 1, 2, …, s; II: 1, 2, …, t; III:1, 2, …, s, 1, 2, …, t. 证明: max{秩(I),秩(II)}秩(III)秩(I)+秩(II). 证明: (1) 可见I和II都能由III线性表示, 因此秩(I) 秩(III), 秩(II)秩(III). 故得max{秩(I) , 秩(II)}秩(III). (2) 设秩(I) = r, 秩(II) = u, 则存在矩阵Crs和Dut使得

  45.  , , …,为I的一个极大无关组, i1 i2 ir C O O D = ( , , …, , ,, …, ) , ,, …,为II的一个极大无关组, i1 i2 ir j1 j2 ju j1 j2 ju 因而秩(III)  秩( , , …, , ,, …, ) i1 i2 ir j1 j2 ju (2) 设秩(I) = r, 秩(II) = u, 则存在矩阵Crs和Dut使得 (1, 2, …, s) = ( , , …, )C, i1 i2 ir (1, 2, …, t ) = (,, …, )D, j1 j2 ju 于是有 (1, 2, …, s, 1, 2, …, t ) = 秩(I)+秩(II).  r + u

  46. ,, …,为II的一个极大无关组. j1 j2 jr  , , …,为I的一个极大无关组, i1 i2 ir C = (, , …, ), D = (, , …,  ). j1 j2 jr i1 i2 ir   , , …,能由II线性表示 i1 i2 ir 例20. 设向量组I能由II线性表示, 且秩(I) = 秩(II), 证明: II能由I线性表示. 证明: 设I: 1, 2, …, s; II: 1, 2, …, t; 秩(I) = 秩(II) = r, 令A = (1, 2, …, s), B = (1, 2, …, t ), ① I能由II线性表示 存在矩阵Ftr使得C = BF;

  47. ② II能由,, …,线性表示 j1 j2 jr ④ , , …,线性无关   , , …,能由II线性表示 ⑤ , , …,能由I线性表示 i1 i2 ir i1 i1 i2 i2 ir ir ① I能由II线性表示 存在矩阵Ftr使得C = BF; 存在矩阵Grt使得B = DG; ③令GF = K, 则K为r阶方阵且C = BF = (DG)F = DK;  r = 秩(C)  秩(K)  r  秩(K) = r  K可逆  D = CK1; 存在矩阵Hsr使得C = AH; B = DG = (CK1)G = (AH)K1G = A(HK1G)  II能由I线性表示.

  48. ,, …,为1, 2, …, n的一个极大无关组. j1 j2 js  , , …,为1, 2, …, n的一个极大无关组, i1 i2 ir  , , …, , ,, …, 线性表示, i1 i2 ir j1 j2 js  秩( , , …, , ,, …, ) i1 i2 ir j1 j2 js 例21. 对任意mn矩阵A, B, 证明: 秩(A+B) 秩(A)+秩(B). 证明: 设A = (1, 2, …, n), B = (1, 2, …, n); 秩(A) = r, 秩(B) = s, 则A+B = (1+1, 2+2, …, n+n), 且1+1, 2+2, …, n+n能由 因而秩(A+B) =秩(1+1, 2+2, …, n+n)  r + s = 秩(A) + 秩(B).

  49. … 0 1 1 1 0 1 1 1 0 … … … … … … 0 1 1 1 0 1 1 1 0 … … 1 … s1 1 1 s1 0 1 s1 1 0 … … … … … … … = 1 … … … … … … … 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 (1) … … = (s1) = (s1) … … … … … … … … … … … 例21. 设A为mn矩阵, 1, 2, …, s是Ax = 的基础解系, s s  2. 证明: i = (k) i (i = 1, 2, …, s)也是 k=1 Ax = 的基础解系. 证明: ① (1, 2, …, s) = (1, 2, …, s) . ②  0.

  50. 证明: ① (1, 2, …, s) = (1, 2, …, s)P. ② |P|  0  P可逆  秩(1, 2, …, s) =秩(1, 2, …, s) = s.  1, 2, …, s线性无关. ③对于Ax = 的任意一个解向量, 1, 2, …, s, 这s+1个向量能由1, 2, …, s  1, 2, …, s, 线性相关 线性表示  能由1, 2, …, s线性表示. ④由②和③可知1, 2, …, s也是Ax = 的基础 解系.

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