矩陣與行列式

矩陣與行列式 第二章矩陣與行列式

矩陣的意義(1) • 在日常生活當中，經常用到一些如長度、面積、容積、溫度或重量的度量衡換算表，交通費率表等等許多資料表。這些資料表屬於公式表格化的例子；但某些資料表則屬一種事實的表述，如下表2-1-1為某班學生的男生、女生與戴眼鏡與不戴眼鏡的事實表述的統計表。 • 某些資料表則是某種規則的表述。例如，甲乙兩人玩一種遊戲，其規則如下：甲在一紙上寫一個1至20的任意一個數值，寫好後只告訴乙所寫的數值，但不給乙看；如果乙相信甲所言為真，但甲說謊話，則乙付給甲80元，如甲說實話，則甲應給乙70元；如果乙相信甲所言為假，但甲說實話，則乙付給甲100元，如甲說謊話，則甲應給乙90元；這些規則可以表2-1-2有效率的清楚表達甲方之得失。第二章矩陣與行列式

矩陣的意義(2) • 在社會科學、自然科學或應用科學裡，有許多資料或定理可用一組性質相關的資料方便表述之。因此，數學家對於這些具有某種相關的一組資料加以定義與規範，並發展出一些基本運算規則，使前述應用等科學可以更有效率來表述其定理或定義，進而發展更深入的理念與應用。這些數學家稱這些一組相關的數值為矩陣(Matrix)，矩陣理論的推展促使應用科學家更加方便推展應用範圍。 • 所有電腦程式語言也多具有矩陣資料的表達方式與運算功能，而造成數學家、應用科學家的相互合作與應用科技的進步。例如結構力學的傳統力學分析方法因矩陣理論的發展與電腦語言的方便，已經發展出更一般化且適於電腦化的勁度分析法(Stiffness Method)。第二章矩陣與行列式

矩陣的基本定義 第二章矩陣與行列式

矩陣的基本分類(1) 為便於矩陣理論的論述，常依據矩陣的元素值、行數、列數及排列形狀加以分類，常見的分類如下： • 方形矩陣(Square Matrix)：矩陣中的行數與列數相等者，稱為方形矩陣。右圖為行數與列數均為3的方形矩陣。 • 矩形矩陣(Rectangular Matrix)：矩陣中的行數與列數不相等者，稱為矩形矩陣。右圖為3列5行的矩形矩陣。 • 行矩陣或行向量：僅有一縱行的矩陣稱為行矩陣(Column Matrx)或行向量(Column Vector)。右側行矩陣為上列矩形矩陣的第2行。 • 列矩陣或列向量：僅有一橫列的矩陣稱為列矩陣(Row Matrix)或列向量(Row Vector)。右側為前列矩形矩陣的第2列列矩陣。第二章矩陣與行列式

矩陣的基本分類(2) • 零矩陣(Zero Matrix)：矩陣中的所有元素值均為零者，稱為零矩陣。右圖為3階的零矩陣。 • 對角矩陣(Diagonal Matrix)：一個nXn階的方形矩陣中，行數與列數相同的元素構成方形矩陣的對角線，若除對角線上元素以外的元素值均為零，則稱為對角矩陣。右圖為3階的對角矩陣。 • 單位矩陣(Unit Matrix)：對角矩陣(必是方形矩陣)中對角線上元素值均為1，其他元素值均為0者稱為單位矩陣。右圖為3階的單位矩陣。第二章矩陣與行列式

矩陣的基本分類(3) • 上三角方陣(Upper Triangle Matrix)：方形矩陣中對角線元素以下的元素值均為0者稱為上三角方陣。右例為3階的上三角矩陣。 • 下三角方陣(Lower Triangle Matrix)：方形矩陣中對角線元素以上的元素值均為0者稱為下三角方陣。右側為3階的下三角矩陣。 • 對稱矩陣(Symmetric Matrix)：方形矩陣中對角線上下相對應的元素值相等者稱為對稱矩陣，因此對稱矩陣的要件為所有(但)。右側為3階的對稱矩陣。 • 非對稱矩陣(Anti Symmetric Matrix)：方形矩陣中對角線上下相對應的元素值不相等者稱為非對稱矩陣。第二章矩陣與行列式

矩陣的基本運算 • 數學家將這種由一些相關數值所組合而成的矩陣，按照人們熟悉的純量運算規則加以定義矩陣的基本運算規則，以方便其應用的開發。以下分別介紹矩陣的基本運算規則。第二章矩陣與行列式

兩矩陣的相等 第二章矩陣與行列式

例題2-2-1 第二章矩陣與行列式

兩矩陣的相加 第二章矩陣與行列式

兩矩陣的相減 第二章矩陣與行列式

一個矩陣的倍數 第二章矩陣與行列式

兩矩陣的相乘 第二章矩陣與行列式

方形矩陣的乘羃 第二章矩陣與行列式

矩陣的轉置 第二章矩陣與行列式

矩陣的基本行列運算 • 矩陣除了前述的基本運算外，數學家亦規範一些基本的行運算(Elementary Column Operation)及一些基本的列運算(Elementary Row Operation)，以將矩陣簡化之，增強應用科學家的解題能力。 • 實務上，基本的列運算運用最多，基本的行運算除了運算對象為行矩陣或行向量外，運算方式均同，故本書以基本列運算說明之。第二章矩陣與行列式

基本列運算 第二章矩陣與行列式

列同義矩陣 第二章矩陣與行列式

簡約列梯形陣 • 簡約列梯形陣(Reduced Row Echelon Form)為一個矩陣經過一系列的基本列運算後所得的列同義(Row Equivalent)矩陣且符合某種元素排列的要求者稱之。列同義的矩陣必須符合下列元素的排列要求，才屬簡約列梯形陣。 • 整列諸元素值為0的列被置於矩陣的最下列； • 任何一列由左而右的第一個非零元素的位置均比前一列的第一個非零元素的位置較靠右側；例如，第三列的第一個非零元素位於該列的第4個位置，則第四列的第一個非零元素的位置必須大於第4個位置。 • 符合簡約列梯形陣的矩陣中每一列的非零元素個數由最上列到最下列逐漸減少，故其非零元素構成一個倒置的梯形(當矩陣的行數大於列數時)或三角形(當矩陣的行數與列數相同時)；因為這種形狀的矩陣係由一系列基本列運算後簡約而來，故稱為簡約列梯形陣。第二章矩陣與行列式

例題2-3-2 【解】矩陣A、B、C均非屬簡約列梯形陣，其原因為 • 矩陣A的第二列的第1個非零元素4 (在第1行)位於第一列的第1個非零元素1(在第2行)的左側，不符第二點規定。 • 矩陣B的整列諸元素值為0的列不是置於矩陣的最下列，不符第一點規定。 • 矩陣C的第二列第1個非零元素3必須位於第一列第1個非零元素2的右側才符合簡約列梯形矩陣的定義。第二章矩陣與行列式

簡約列梯形陣演算法 • 簡約列梯形陣演算法(Algorithm)為一種如何將一個矩陣經過一系列基本列運算後，可將原矩陣簡約成梯形矩陣的方法。其步驟如下：第二章矩陣與行列式

簡約列標準形陣 簡約列標準形陣(Reduced Row Canonical Form)為簡約列梯形陣進一步簡化而成。一個矩陣經過一系列基本列運算後符合下列要件者稱為簡約列標準形陣： • 符合簡約列梯形陣的形式要件 • 樞紐元素均為1且樞紐元素所在行其他元素值均為0 簡約列標準形陣的演算法可由簡約列梯形陣演算法作如下的修正即可： • 利用基本列運算使樞紐元素值為1 • 利用基本列運算使樞紐元素所在行的其他元素值均為0 第二章矩陣與行列式

行列式 第二章矩陣與行列式

低階矩陣行列式值計算 第二章矩陣與行列式

子行列式與餘因式 第二章矩陣與行列式

行列式值與餘因式 第二章矩陣與行列式

行列式的性質 第二章矩陣與行列式

高斯消去法 • 高斯消去法求解方形矩陣的行列式，主要利用矩陣的基本列運算將方形矩陣簡約成簡約列梯形陣，再運用行列式性質3以簡約列梯形陣的對角線諸元素的乘積求得行列式值。高斯消去法以尋找每一行的最大絕對值元素為樞紐元素(Pivot)，故需要有列對調的列運算。依據行列式性質4，每對調一次，行列式值變號一次，故在整個運算過程中，應保持對調次數的計數，以便最後調整行列式的正負號。高斯消去法求解方形矩陣A行列式值的步驟如下：第二章矩陣與行列式

逆矩陣的定義 • 方形矩陣A若存在另一個同階的方形矩陣B，使得AB=BA=I (I為同階的單位矩陣) ，則稱方形矩陣B為方形矩陣A的逆矩陣(Inverse Matrix)，方形矩陣A稱為可逆矩陣(Invertible Matrix)或非奇異矩陣(non-Singular matrix)； • 若不存在方形矩陣B，則稱方形矩陣A為不可逆矩陣(non-invertible matrix)或奇異矩陣(Singular matrix)。可逆矩陣A的逆矩陣以A-1表示之。第二章矩陣與行列式

矩陣與行列式

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