slide1 l.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
矩陣與行列式 PowerPoint Presentation
Download Presentation
矩陣與行列式

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 84

矩陣與行列式 - PowerPoint PPT Presentation


  • 281 Views
  • Uploaded on

矩陣與行列式. 矩陣的意義 (1). 在日常生活當中,經常用到一些如長度、面積、容積、溫度或重量的度量衡換算表,交通費率表等等許多資料表。這些資料表屬於公式表格化的例子;但某些資料表則屬一種事實的表述,如下表 2-1-1 為某班學生的男生、女生與戴眼鏡與不戴眼鏡的事實表述的統計表。

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about '矩陣與行列式' - kezia


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

矩陣與行列式

第二章 矩陣與行列式

slide2
矩陣的意義(1)
  • 在日常生活當中,經常用到一些如長度、面積、容積、溫度或重量的度量衡換算表,交通費率表等等許多資料表。這些資料表屬於公式表格化的例子;但某些資料表則屬一種事實的表述,如下表2-1-1為某班學生的男生、女生與戴眼鏡與不戴眼鏡的事實表述的統計表。
  • 某些資料表則是某種規則的表述。例如,甲乙兩人玩一種遊戲,其規則如下:甲在一紙上寫一個1至20的任意一個數值,寫好後只告訴乙所寫的數值,但不給乙看;如果乙相信甲所言為真,但甲說謊話,則乙付給甲80元,如甲說實話,則甲應給乙70元;如果乙相信甲所言為假,但甲說實話,則乙付給甲100元,如甲說謊話,則甲應給乙90元;這些規則可以表2-1-2有效率的清楚表達甲方之得失。

第二章 矩陣與行列式

slide3
矩陣的意義(2)
  • 在社會科學、自然科學或應用科學裡,有許多資料或定理可用一組性質相關的資料方便表述之。因此,數學家對於這些具有某種相關的一組資料加以定義與規範,並發展出一些基本運算規則,使前述應用等科學可以更有效率來表述其定理或定義,進而發展更深入的理念與應用。這些數學家稱這些一組相關的數值為矩陣(Matrix),矩陣理論的推展促使應用科學家更加方便推展應用範圍。
  • 所有電腦程式語言也多具有矩陣資料的表達方式與運算功能,而造成數學家、應用科學家的相互合作與應用科技的進步。例如結構力學的傳統力學分析方法因矩陣理論的發展與電腦語言的方便,已經發展出更一般化且適於電腦化的勁度分析法(Stiffness Method)。

第二章 矩陣與行列式

slide4
矩陣的基本定義

第二章 矩陣與行列式

slide5
矩陣的基本分類(1)

為便於矩陣理論的論述,常依據矩陣的元素值、行數、列數及排列形狀加以分類,常見的分類如下:

  • 方形矩陣(Square Matrix):矩陣中的行數與列數相等者,稱為方形矩陣。右圖為行數與列數均為3的方形矩陣。
  • 矩形矩陣(Rectangular Matrix):矩陣中的行數與列數不相等者,稱為矩形矩陣。右圖為3列5行的矩形矩陣。
  • 行矩陣或行向量:僅有一縱行的矩陣稱為行矩陣(Column Matrx)或行向量(Column Vector)。右側行矩陣為上列矩形矩陣的第2行。
  • 列矩陣或列向量:僅有一橫列的矩陣稱為列矩陣(Row Matrix)或列向量(Row Vector)。右側為前列矩形矩陣的第2列列矩陣。

第二章 矩陣與行列式

slide6
矩陣的基本分類(2)
  • 零矩陣(Zero Matrix):矩陣中的所有元素值均為零者,稱為零矩陣。右圖為3階的零矩陣。
  • 對角矩陣(Diagonal Matrix):一個nXn階的方形矩陣中,行數與列數相同的元素構成方形矩陣的對角線,若除對角線上元素以外的元素值均為零,則稱為對角矩陣。右圖為3階的對角矩陣。
  • 單位矩陣(Unit Matrix):對角矩陣(必是方形矩陣)中對角線上元素值均為1,其他元素值均為0者稱為單位矩陣。右圖為3階的單位矩陣。

第二章 矩陣與行列式

slide7
矩陣的基本分類(3)
  • 上三角方陣(Upper Triangle Matrix):方形矩陣中對角線元素以下的元素值均為0者稱為上三角方陣。右例為3階的上三角矩陣。
  • 下三角方陣(Lower Triangle Matrix):方形矩陣中對角線元素以上的元素值均為0者稱為下三角方陣。右側為3階的下三角矩陣。
  • 對稱矩陣(Symmetric Matrix):方形矩陣中對角線上下相對應的元素值相等者稱為對稱矩陣,因此對稱矩陣的要件為所有(但)。右側為3階的對稱矩陣。
  • 非對稱矩陣(Anti Symmetric Matrix):方形矩陣中對角線上下相對應的元素值不相等者稱為非對稱矩陣。

第二章 矩陣與行列式

slide8
矩陣的基本運算
  • 數學家將這種由一些相關數值所組合而成的矩陣,按照人們熟悉的純量運算規則加以定義矩陣的基本運算規則,以方便其應用的開發。以下分別介紹矩陣的基本運算規則。

第二章 矩陣與行列式

slide9
兩矩陣的相等

第二章 矩陣與行列式

2 2 1
例題2-2-1

第二章 矩陣與行列式

slide11
兩矩陣的相加

第二章 矩陣與行列式

slide12
兩矩陣的相減

第二章 矩陣與行列式

2 2 2
例題2-2-2

第二章 矩陣與行列式

2 2 3
例題2-2-3

第二章 矩陣與行列式

slide15
一個矩陣的倍數

第二章 矩陣與行列式

2 2 4
例題2-2-4

第二章 矩陣與行列式

slide17
兩矩陣的相乘

第二章 矩陣與行列式

2 2 5
例題2-2-5

第二章 矩陣與行列式

2 2 6
例題2-2-6

第二章 矩陣與行列式

slide20
方形矩陣的乘羃

第二章 矩陣與行列式

2 2 7
例題2-2-7

第二章 矩陣與行列式

slide22
矩陣的轉置

第二章 矩陣與行列式

2 2 8
例題2-2-8

第二章 矩陣與行列式

slide24
矩陣的基本行列運算
  • 矩陣除了前述的基本運算外,數學家亦規範一些基本的行運算(Elementary Column Operation)及一些基本的列運算(Elementary Row Operation),以將矩陣簡化之,增強應用科學家的解題能力。
  • 實務上,基本的列運算運用最多,基本的行運算除了運算對象為行矩陣或行向量外,運算方式均同,故本書以基本列運算說明之。

第二章 矩陣與行列式

slide25
基本列運算

第二章 矩陣與行列式

2 3 1
例題2-3-1

第二章 矩陣與行列式

slide27
列同義矩陣

第二章 矩陣與行列式

slide28
簡約列梯形陣
  • 簡約列梯形陣(Reduced Row Echelon Form)為一個矩陣經過一系列的基本列運算後所得的列同義(Row Equivalent)矩陣且符合某種元素排列的要求者稱之。列同義的矩陣必須符合下列元素的排列要求,才屬簡約列梯形陣。
  • 整列諸元素值為0的列被置於矩陣的最下列;
  • 任何一列由左而右的第一個非零元素的位置均比前一列的第一個非零元素的位置較靠右側;例如,第三列的第一個非零元素位於該列的第4個位置,則第四列的第一個非零元素的位置必須大於第4個位置。
  • 符合簡約列梯形陣的矩陣中每一列的非零元素個數由最上列到最下列逐漸減少,故其非零元素構成一個倒置的梯形(當矩陣的行數大於列數時)或三角形(當矩陣的行數與列數相同時);因為這種形狀的矩陣係由一系列基本列運算後簡約而來,故稱為簡約列梯形陣。

第二章 矩陣與行列式

2 3 2
例題2-3-2

【解】矩陣A、B、C均非屬簡約列梯形陣,其原因為

  • 矩陣A的第二列的第1個非零元素4 (在第1行)位於第一列的第1個非零元素1(在第2行)的左側,不符第二點規定。
  • 矩陣B的整列諸元素值為0的列不是置於矩陣的最下列,不符第一點規定。
  • 矩陣C的第二列第1個非零元素3必須位於第一列第1個非零元素2的右側才符合簡約列梯形矩陣的定義。

第二章 矩陣與行列式

slide30
簡約列梯形陣演算法
  • 簡約列梯形陣演算法(Algorithm)為一種如何將一個矩陣經過一系列基本列運算後,可將原矩陣簡約成梯形矩陣的方法。其步驟如下:

第二章 矩陣與行列式

2 3 3
例題2-3-3

第二章 矩陣與行列式

slide32
簡約列標準形陣

簡約列標準形陣(Reduced Row Canonical Form)為簡約列梯形陣進一步簡化而成。一個矩陣經過一系列基本列運算後符合下列要件者稱為簡約列標準形陣:

  • 符合簡約列梯形陣的形式要件
  • 樞紐元素均為1且樞紐元素所在行其他元素值均為0

簡約列標準形陣的演算法可由簡約列梯形陣演算法作如下的修正即可:

  • 利用基本列運算使樞紐元素值為1
  • 利用基本列運算使樞紐元素所在行的其他元素值均為0

第二章 矩陣與行列式

2 3 4
例題2-3-4

第二章 矩陣與行列式

slide34
行列式

第二章 矩陣與行列式

slide35
低階矩陣行列式值計算

第二章 矩陣與行列式

2 4 1
例題2-4-1

第二章 矩陣與行列式

2 4 2
例題2-4-2

第二章 矩陣與行列式

slide38
子行列式與餘因式

第二章 矩陣與行列式

2 4 3
例題2-4-3

第二章 矩陣與行列式

slide40
行列式值與餘因式

第二章 矩陣與行列式

2 4 4
例題2-4-4

第二章 矩陣與行列式

2 4 5
例題2-4-5

第二章 矩陣與行列式

slide43
行列式的性質

第二章 矩陣與行列式

2 4 6
例題2-4-6

第二章 矩陣與行列式

2 4 7
例題2-4-7

第二章 矩陣與行列式

2 4 8
例題2-4-8

第二章 矩陣與行列式

slide47
高斯消去法
  • 高斯消去法求解方形矩陣的行列式,主要利用矩陣的基本列運算將方形矩陣簡約成簡約列梯形陣,再運用行列式性質3以簡約列梯形陣的對角線諸元素的乘積求得行列式值。高斯消去法以尋找每一行的最大絕對值元素為樞紐元素(Pivot),故需要有列對調的列運算。依據行列式性質4,每對調一次,行列式值變號一次,故在整個運算過程中,應保持對調次數的計數,以便最後調整行列式的正負號。高斯消去法求解方形矩陣A行列式值的步驟如下:

第二章 矩陣與行列式

2 4 9
例題2-4-9

第二章 矩陣與行列式

slide49
逆矩陣的定義
  • 方形矩陣A若存在另一個同階的方形矩陣B,使得AB=BA=I (I為同階的單位矩陣) ,則稱方形矩陣B為方形矩陣A的逆矩陣(Inverse Matrix),方形矩陣A稱為可逆矩陣(Invertible Matrix)或非奇異矩陣(non-Singular matrix);
  • 若不存在方形矩陣B,則稱方形矩陣A為不可逆矩陣(non-invertible matrix)或奇異矩陣(Singular matrix)。可逆矩陣A的逆矩陣以A-1表示之。

第二章 矩陣與行列式

2 5 1
例題2-5-1

第二章 矩陣與行列式

slide51
逆矩陣的性質

第二章 矩陣與行列式

2 5 2
例題2-5-2

第二章 矩陣與行列式

slide53
逆矩陣推算法
  • 逆矩陣的計算方法有二:一為高斯消取去法 (擴增矩陣法),另一為伴隨矩陣法;茲先介紹伴隨矩陣法。

第二章 矩陣與行列式

slide54
伴隨矩陣法

第二章 矩陣與行列式

2 5 3
例題2-5-3

第二章 矩陣與行列式

2 5 4
例題2-5-4

第二章 矩陣與行列式

slide57
高斯消去法

高斯消去法可用以研判方形矩陣的可逆性並推算其逆矩陣。高斯消取法因將原方形矩陣的右側擴增一個同階的單位矩陣,故亦稱擴增矩陣法。其進行步驟如下:

  • 步驟1:將n階的方形矩陣右側擴增一個n階的單位矩陣,使成為一個左側為方形矩陣A,右側為單位矩陣的nx2n的矩形矩陣M,
  • 步驟2:運用基本列運算將矩形矩陣簡約成梯形陣(Reduced Row Echelon Form),簡約過程中如果發現左側的方形矩陣有一列的元素全部為0,則判定方型矩陣A為不可逆矩陣;如果未發現左側方形矩陣並無元素全為0的列,則方形矩陣經過簡約後已成上三角形矩陣,
  • 步驟3:此時,再運用基本列運算將左側的簡約列梯形陣簡約成標準型矩陣(Reduced Row Canonical Form)即原來的方形矩陣A變成單位矩陣,
  • 步驟4:此時,矩形矩陣右側的n階方形矩陣即為原來方形矩陣A的逆矩陣。

第二章 矩陣與行列式

2 5 5 1
例題2-5-5(1)

第二章 矩陣與行列式

2 5 5 2
例題2-5-5(2)

第二章 矩陣與行列式

2 5 6
例題2-5-6

第二章 矩陣與行列式

slide61
矩陣與行列式程式使用說明

管理數學軟體矩陣與行列式程式提供下列四大項功能:

  • 建立原始矩陣試算表
  • 矩陣基本運算
  • 矩陣行列運算
  • 矩陣編輯

第二章 矩陣與行列式

slide62
建立原始矩陣試算表
  • 使欲建立原始矩陣的空白試算表處於作用中,選擇MM/矩陣與行列式/建立原始矩陣試算表即可出現如右圖的輸入畫面。右圖為建立一個3x3階方型矩陣試算表並產生小數兩位,值域在100以內的輸入畫面。
  • 本程式可以建立一個或兩個矩陣。每個矩陣均應指定其列數及行數,亦可指定產生(1)單位矩陣、(2)元素值為0的零矩陣、(3)含測試資料的一般矩陣及(4)不含測試資料的一般矩陣。也可指定測試資料的值域上下限及顯示的小數位數。
  • 建立矩陣的參數設定後,單擊「建立矩陣」鈕即可在作用中的試算表建立矩陣;單擊「取消」鈕則停止程式的執行。

第二章 矩陣與行列式

slide63
建立兩個矩陣
  • 右圖選擇建立二個矩陣,則左右紅色與藍色兩個欄框均屬有效。每個欄框均可指定相對應矩陣的列(Row)數、行(Column)數;且可指定產生單位矩陣、零矩陣或一般矩陣;一般矩陣可指定產生測試資料或不產生測試資料。如果產生測試資料,也可指定元素值的範圍及小數位數。
  • 原始矩陣試算表僅能建立在本軟體以外的試算表,否則將有如下圖的警示訊息。

第二章 矩陣與行列式

slide64
矩陣試算表
  • 右上圖為原始矩陣試算表建立後顯示的警示訊息,提醒在所建立的試算表上淡黃色區域內輸入或修改資料;
  • 右下圖則為所產生含有測試資料的3x3階方型矩陣。
  • 所建立的試算表名稱為MATRIX後面按序編號之。

第二章 矩陣與行列式

slide65
矩陣基本運算
  • 在矩陣試算表處於作用中時,選擇MM/矩陣與行列式/矩陣基本運算即可出現如右上圖的矩陣基本運算選擇畫面。
  • 矩陣基本運算程式根據試算表上的矩陣個數、階數提供可行的運算以備選用。
  • 如果右下圖試算表上有3x3階矩陣A與3x4階矩陣B;則右上圖為根據該兩個矩陣個數與階數所提供的可行運算。
  • 因為矩陣A與B的階數,可以運算矩陣Ax矩陣B,但不可以運算矩陣Bx矩陣A。

第二章 矩陣與行列式

slide66
矩陣基本運算程式提供下列的15項基本運算:

矩陣A=矩陣B?

矩陣A+矩陣B?

矩陣A-矩陣B?

矩陣B-矩陣A?

矩陣Ax矩陣B?

矩陣Bx矩陣A?

矩陣A乘以純量r?

矩陣A除以純量r?

矩陣A轉置矩陣=?

矩陣A之逆矩陣=?

矩陣A的n次方?

矩陣A的行列式值?

矩陣A的伴隨(Adjoin)矩陣?

矩陣A的簡約列梯形(Echelon Form)?

矩陣A的標準梯形(Canonical Form)?

畫面上的n階及純量r兩個欄位視運算的需要輸入之。

15項基本矩陣運算

第二章 矩陣與行列式

slide67
基本矩陣運算例1
  • 使用者在矩陣基本運算畫面上勾選需要的基本運算並輸入必要資訊後,單擊「確定」鈕以進行運算,其結果以提示訊息及(或)在試算表產生矩陣C表示之。
  • 右上圖選擇「矩陣A乘以純量r」並輸入純量值3,單擊「確定」鈕後在同一試算表上產生矩陣C如右下圖。

第二章 矩陣與行列式

2 2 568
例題2-2-5

第二章 矩陣與行列式

2 3 369
例題2-3-3

將矩陣A化成簡約列梯形陣並告知矩陣A的秩

第二章 矩陣與行列式

2 3 470
例題2-3-4

將矩陣A化成簡約標準形陣

並告知原矩陣的秩

第二章 矩陣與行列式

2 4 571
例題2-4-5

矩陣的行列式值為一純量,故以訊息告知

第二章 矩陣與行列式

2 5 372
例題2-5-3

產生矩陣A的伴隨矩陣

第二章 矩陣與行列式

2 5 6 1
例題2-5-6(1)

第二章 矩陣與行列式

2 5 6 2
例題2-5-6(2)

=

證明多個矩陣乘積的逆矩陣

為其各矩陣之逆矩陣反序之乘積

第二章 矩陣與行列式

slide75
矩陣行列運算
  • 在矩陣試算表處於作用中時,選擇MM/矩陣與行列式/矩陣行列運算即可出現如下圖的矩陣行列運算選擇畫面。矩陣行列運算提供試算表上矩陣A或矩陣B的基本列運算(Elementary Row Operation)及基本行運算(Elementary Column Operation)。如果試算表上建立二個試算表,則可選擇針對矩陣A或矩陣B運算;對每一個矩陣均可進行列運算或行運算。行列運算有下列三種基本運算:
  • 某一列(行)與另一列(行)調換
  • 某一列(行)諸元素值乘以一個純量
  • 某一列(行)諸元素值乘以一個純量加到另一列(行)

第二章 矩陣與行列式

2 5 5 176
例題2-5-5(1)

第二章 矩陣與行列式

2 5 5 277
例題2-5-5(2)

第二章 矩陣與行列式

2 5 5 3
例題2-5-5(3)

第二章 矩陣與行列式

2 5 5 4
例題2-5-5(4)

第二章 矩陣與行列式

slide80
矩陣編輯
  • 在矩陣試算表處於作用中時,選擇MM/矩陣與行列式/矩陣編輯即可出現如右圖的矩陣編輯選擇畫面。矩陣編輯可在本軟體以外的試算表上指定一個範圍(Range A)或二個範圍(Range A及Range B)進行一些資料編輯工作。除了資料抄錄(Copy)外均僅需指定一個範圍(Range A)。基本矩陣編輯工作如下:
  • 將一個範圍(Range A)的資料抄錄到另一個範圍(Range B);
  • 將範圍(Range A)的內容清為空白;
  • 將範圍(Range A)的內容歸零;
  • 將範圍(Range A)的內容格式化;
  • 將範圍(Range A)填上指定上下限值域內的數值。

第二章 矩陣與行列式

slide81
試算表範圍設定
  • 在試算表上設定範圍(Range A)時,應先將滑鼠游標置入右圖最下面的Range A參照編輯方塊(Reference Edit Control),然後再用滑鼠置於試算表所欲指定範圍的左上方儲存格,按住滑鼠左按鈕並拖曵至範圍的右下角儲存格上,再放鬆滑鼠左鈕即可。
  • 設定範圍Range B時,除了先將滑鼠置入Range B參照編輯方塊外,操作均同。

第二章 矩陣與行列式

slide82
試算表範圍格式化工作

格式化工作包括:

  • 將範圍內的內容及框線清除;
  • 將範圍內的內容左靠、右靠或靠中(置中);
  • 將範圍內的內容上邊、下邊、左邊、右邊或週邊畫雙線;
  • 將範圍內的內容設定為文字或數值及小數位數;
  • 將範圍內各欄位(Column)設定欄寬;
  • 將範圍內各儲存格存入指定上下限值域內的任意數值。

右圖指定在試算表Sheet1上的A1:C4的範圍內產生值域在-100至100間的任意數。

第二章 矩陣與行列式

slide83
設定範圍內小數位數
  • 右圖指定在試算表Sheet1上的A1:C4的範圍內的數值資料設定小數位數為3位。

第二章 矩陣與行列式

the end of chapter 2
The End of Chapter 2

第二章

矩陣與行列式

結束

第二章 矩陣與行列式