บทที่ 3 การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ

1. บทที่ 3 การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ 3.1 ตำแหน่งและการกระจัด ตำแหน่ง (position) คือ การบอกให้ทราบว่า วัตถุหรือสิ่งของที่เราพิจารณาอยู่ที่ใด เทียบกับจุดอ้างอิง วัตถุอยู่ที่ตำแหน่ง x = x1ที่เวลา t1หมายถึง วัตถุอยู่ที่ระยะทาง x1 จากจุด O (จุดอ้างอิง) ที่เวลา t1 ถ้าวัตถุเลื่อนที่ไปอยู่ที่ x2ที่เวลา t2แสดงว่า วัตถุได้มีการเคลื่อนที่ไประหว่างเวลา t1และ t2 -X +X x2 x1 O

2. การกระจัด (displacement) การเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุจาก x = x1ไปเป็น x = x2หรือ x2 – x 1 การกระจัด หมายถึง การเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุไปจากตำแหน่งปกติ (สมดุล) 2.2 ความเร็วเฉลี่ยและอัตราเร็วเฉลี่ย ความเร็ว (velocity) คือ การกระจัดต่อเวลา ความเร็วเฉลี่ย (average velocity) คือ การกระจัดหารด้วยช่วงเวลา

3. อัตราเร็ว (speed) เป็นปริมาณสเกลาร์ หมายถึง ระยะทางของการเคลื่อนที่ทั้งหมดโดยไม่คำนึงถึงทิศทางหารด้วยเวลา อัตราเร็วเฉลี่ย (average speed) คือ ระยะทางทั้งหมดที่เคลื่อนที่หารด้วยเวลา พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุจาก x1 ไป x3 และจาก x3 กลับมา x2 ใช้เวลาทั้งหมด (t2 – t1) -X +X x1 x3 x2 O อัตราเร็วเฉลี่ย = (x3 – x1) + (x3 – x2) / (t2 – t1) ความเร็วเฉลี่ย = (x2 – x1) / (t2 – t1)

4. ตัวอย่าง โยนลูกบอลขึ้นในแนวดิ่ง ลูกบอลลอยขึ้นไปได้สูง 5 เมตร แล้วตกกลับมายังมือในเวลา 2 วินาที อัตราเร็วเฉลี่ย = ระยะทางทั้งหมดที่เคลื่อนที่ / เวลา = (5 เมตร + 5 เมตร) / 2 วินาที = 5 เมตรต่อวินาที ความเร็วเฉลี่ย = การกระจัดทั้งหมด / เวลา = 0 / 2 = 0 เมตรต่อวินาที (การกระจัดเป็นศูนย์เพราะ ลูกบอลกลับมาที่เดิม)

5. 2.3 ความเร็วและอัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่ง ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง (instantaneous velocity) คือ ความเร็วของวัตถุในช่วงเวลาสั้นมากขณะผ่านจุดจุดหนึ่งหรือที่เวลาใดเวลาหนึ่ง X x2 Q ความชันเป็นความเร็วที่ผ่าน Q ความชันเป็นความเร็วเฉลี่ย P x1 t O t1 t2 O

6. ความเร็วเฉลี่ย ความชันของเส้นตรงที่ลากผ่าน PQ คือ (x2 – x1) / (t2 – t1) ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง ความเร็วของวัตถุที่ Q เป็นความเร็วขณะใดขณะหนึ่งที่เวลา t2หรือ ที่จุด Q หาได้จากลิมิตของความชัน ตัวอย่าง ความสัมพันธ์ระหว่างตำแหน่งกับเวลาเป็นไปตามสมการ x = 5t2เมตรให้ Q เป็นตำแหน่งที่ 2.00 วินาที ค่าของตำแหน่ง P ที่เวลาต่างๆ ใกล้ Q และค่าของความชันของเส้น PQ ดังตาราง ลิมิตของความชันที่ Q เป็น 20.00 เมตรต่อวินาที

7. ตารางแสดงค่า x ของ P และ Q ที่เวลาต่างๆ และค่าความชันของเส้น PQ จากตาราง แสดงว่าความชันไม่เปลี่ยนเมื่อ t เข้าใกล้ 2.00 วินาทีมาก

8. 2.4 ความเร่ง ความเร่ง (acceleration) หมายถึง การเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อเวลา ถ้าที่เวลา t2วัตถุมีความเร็ว v2 และที่เวลาก่อนนั้นคือ t1วัตถุมีความเร็ว v1 ความเร่งเฉลี่ย = ความเร่งขณะใดขณะหนึ่ง = กราฟของความเร็วกับเวลา ความชันของเส้นสัมผัสที่จุดต่างๆ คือ ความเร่งของวัตถุที่จุดนั้นๆ อัตราเร่ง เป็นปริมาณสเกลาร์ ไม่คิดทิศทางเช่นเดียวกับอัตราเร็ว

9. กราฟระหว่างการกระจัดกับเวลา (x-t) ตัวอย่างการเคลื่อนที่แบบตกอิสระระหว่าง x กับ t จะได้กราฟเส้นโค้งพาราโบลา ความเร็วที่ตำแหน่ง x0 = ความชันของเส้นสัมผัสเส้นกราฟ ณ ตำแหน่ง (0, x0) การกระจัด (x) T1 ความชันของ T1 = v(t) = v x (t, x) x0 ความชันของ T0 = v0 T0 (0, x0) t (วินาที) O t ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง = ความชันของเส้นสัมผัสเส้นกราฟ

10. กราฟระหว่างความเร็วกับเวลา (v – t) v ความชันของเส้นกราฟ = (v – v0) / (t – 0) a = (v – v0) / (t – 0)  v = v0 + at ระยะทาง x หาได้จาก x = พื้นที่สี่เหลี่ยม + พื้นที่สามเหลี่ยม v at v0 v0 t O t ความเร่ง = ความชันของเส้นกราฟระหว่าง v กับ t ขณะเวลา t ใดๆ

11. กราฟระหว่างความเร่งกับเวลา (a – t) วัตถุที่มีการเปลี่ยนแปลงความเร็วเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างสม่ำเสมอ v a ความเร็วเพิ่มขึ้น a a = v / t vav = a t หาความเร็วเฉลี่ย ได้จาก พื้นที่ใต้กราฟ a - t t O t t O v a ความเร็วลดลง t O t -a t O

12. สมการการเคลื่อนที่กรณีความเร่งเป็นค่าคงตัว ความเร็ว วัตถุที่มีการเปลี่ยนแปลงความเร็วแบบเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างสม่ำเสมอ กราฟความเร็วกับเวลาเป็นกราฟเส้นตรง ความชันทุกจุดบนเส้นตรงเท่ากัน v v0 ความชัน = มีค่าเท่ากับความเร่ง ( a0 ) เวลา (t) O t ................สมการ (1.1)

13. ความเร็ว การหาระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ พิจารณาจากกราฟ ช่วงเวลา t สั้นๆ วัตถุมีความเร็ว v ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในช่วงเวลา t คือ v t ระยะทางของการเคลื่อนที่ทั้งหมด ได้จากการรวม vt ทั้งหมด โดยเริ่มจาก t = 0 จนถึง t = t1 ระยะทางทั้งหมดสมมติว่าเป็น (x1 – x0) v1 v v0 เวลา O t1 t ................สมการ (1.2)

14. ความเร็ว จากกราฟ vt เป็นพื้นที่ใต้กราฟ การรวมพื้นที่ vt ทั้งหมดจะได้พื้นที่ใต้กราฟทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู มีค่าเท่ากับ (1/2)(v0+v1)(t1-0) v1 v v0 เวลา ระยะทางทั้งหมด O t1 t ........สมการ (1.3) แทนค่า v จากสมการ (1.1) จะได้ ........สมการ (1.4)

15. v – v0 = a0t ดังนั้น t = (v – v0)/a0 แทนค่า t ลงในสมการ (1.3) จะได้ ........สมการ (1.5) สรุปเป็นสูตร สูตรทั้ง 4 สูตรนี้ใช้ได้ถูกต้องเฉพาะกรณีที่ a มีค่าคงตัวเท่านั้น

16. ตัวอย่าง ถ้าการเคลื่อนที่ของก้อนหินในแนวดิ่ง เกิดจากการโยนขึ้นด้วยความเร็วต้น 5.0 เมตรต่อวินาที ซึ่งจะมีความเร่งคงตัวในทิศลงมีค่า 10 เมตรต่อ (วินาที)2 ก้อนหินจะใช้เวลาเท่าใดจะถึงจุดสูงสุด และใช้เวลาอีกเท่าใดจึงจะกลับถึงจุดที่โยน ความเร็วเฉลี่ยของช่วงขาขึ้นเป็นเท่าใด และระยะทางถึงจุดสูงสุดเป็นเท่าใด กราฟของความเร็วสำหรับช่วงเวลาทั้งขึ้นและลงจะเป็นอย่างไร วิธีทำ กำหนดให้ x เป็น การกระจัดในทิศขึ้น v เป็น ความเร็วในทิศขึ้น a เป็น ความเร่งในทิศขึ้น (a = -10 m/s2) จากสมการ v = u + at ความเร็วที่จุดยอดจะเป็น 0 และความเร็วต้น 5.0 m/s จะได้ 0 = 5.0 + (-10 )t t = 0.50 s  ก้อนหินใช้เวลา 0.50 วินาที จะถึงจุดสูงสุด ANS1

17. เวลาในช่วงขาลง = เวลาในช่วงขาขึ้น เท่ากับ 0.50 วินาที เพราะการเคลื่อนที่ของก้อนหินเคลื่อนที่ด้วยความเร่งอย่างเดิมในระยะทางเท่ากันกับขาขึ้น  ก้อนหินใช้เวลาอีก 0.50 วินาทีจึงจะกลับถึงจุดที่โยน ANS2 ความเร็วเฉลี่ยของช่วงขาขึ้น (v + v0) / 2 = (0 + 5.0)/2 = 2.5 m/s ANS3 ระยะทางถึงจุดสูงสุด = ความเร็วเฉลี่ย  เวลา = 2.5  0.5 = 1.25 m ANS4

18. v(m/s) และกราฟของความเร็วกับเวลาจะเป็นดังรูป 5.0 อาจตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบได้จากสมการ t(s) O 0.5 1.0 -5.0 ใช้ค่าเวลาของคำตอบ 1 แทนค่าจะได้ x = 5.0  0.5 + (1/2)(-10 ) (0.50 )2 m = 1.25 m ตรงกับคำตอบที่ 4 หากใช้สูตรระยะทางนี้ หาเวลาการเคลื่อนที่ขาลง ซึ่งการกระจัดขาลงเป็น -0.125 เมตร เพราะ การกระจัดมีทิศลง ใช้ความเร็วต้นเป็นศูนย์ (จากจุดยอด) แทนค่าจะได้ -0.125 = 0 – (1/2)(-10) t2 t = +0.5 , -0.5 sตรงกับคำตอบที่ 1 และ 2

19. ตัวอย่างที่ 1 วัตถุก้อนหนึ่งมีการกระจัดเป็นไปตามสมการ x = 10t2 + 5 เมตร จงคำนวณหาค่าก. ความเร็วที่เวลา t = 2 วินาทีข. ความเร่งที่เวลา t = 3 วินาที วิธีทำ ก. ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง = dx = d (10t2+5) dt dt v(t) = 20 t เมตรต่อวินาที t = 2 วินาที , v = 20 x 2 = 40 เมตรต่อวินาที ข. ความเร่งขณะใดขณะหนึ่ง = dv = d (20t) dt dt a(t) = 20 เมตรต่อวินาที2 t = 3 วินาที , a = 20 เมตรต่อวินาที2

20. ตัวอย่างที่ 2 อนุภาคอันหนึ่งเดิมอยู่นิ่ง แล้วทำให้เกิดความเร่ง = 3t เมตรต่อวินาที 2 เมื่อ t คือ เวลา จงหาความเร่ง ความเร็ว และการกระจัด ภายหลังเมื่อเคลื่อนที่ได้นาน 5 วินาที วิธีทำ ก. ความเร่ง a = 3t = 3x5 = 15 m/s2 ข. ความเร็ว เมื่อ t0 = 0 , t = 5 s และ a = 3t จะได้ ค. การกระจัด เมื่อ t0 = 0 , t = 5 s และv = 3t2 / 2 จะได้

21. ตัวอย่างที่ 3 รถยนต์คันหนึ่งเคลื่อนที่ได้ 30 กิโลเมตรในครึ่งชั่วโมงแรกและเคลื่อนที่ได้ระยะทาง 50 กิโลเมตรในครึ่งชั่วโมงต่อมาอัตราเร็วเฉลี่ยใน 1 ชั่วโมงมีค่าเท่าใด วิธีทำอัตราเร็วเฉลี่ย = ระยะทาง เวลา = 30 กิโลเมตร + 50 กิโลเมตร 1/2ชั่วโมง + 1/2 ชั่วโมง = 80 กิโลเมตร/ชั่วโมง คำตอบอัตราเร็วเฉลี่ย 80 กิโลเมตร/ชั่วโมง

22. ตัวอย่างที่ 4 ก้อนหินตกแบบเสรีจากที่สูงแห่งหนึ่งจะใช้เวลานานเท่าใดความเร็วของก้อนหินจะเป็น 4 เท่าของความเร็วเมื่อสิ้นวินาทีที่ 1 ของการเคลื่อนที่ วิธีทำหาความเร็วของก้อนหินเมื่อสิ้นวินาทีที่ 1 จาก v= u + at v = 0 + (-10) x 1 v = -10 เมตร/วินาที หาเวลาที่ก้อนหินมีความเร็ว 40 m/s จาก v = u + at -40 เมตร/วินาที = 0 + (-10) x t t = 4 วินาที คำตอบก้อนหินตกลงมาใช้เวลา 4 วินาที

23. ตัวอย่างที่ 5 วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ในแนวตรงด้วยความเร็วต้น 10 เมตร/วินาทีโดยมีความเร่ง 5 เมตร/วินาที2ขณะที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ระยะทาง 480 เมตรวัตถุเคลื่อนที่มาแล้วกี่วินาที วิธีทำ จากสูตร s = ut + ½ at 2 480 เมตร = 10 เมตร/วินาที . t + ½ x 5 เมตร/วินาที2 . t2 960 = 20t + 5t2 (t - 12)(t + 16) = 0 t = 12 และ -16 วินาทีแต่เวลาเป็นลบไม่มีความหมายดังนั้นวัตถุเคลื่อนที่มาแล้ว 12 วินาที คำตอบวัตถุเคลื่อนที่มาแล้ว 12 วินาที

24. ตัวอย่างที่ 6 รถยนต์คันหนึ่งออกวิ่งจากจุดหยุดนิ่งไปตามถนนตรงด้วยขนาดความเร่งคงตัวและวิ่งไปได้ไกล 75 เมตรภายในเวลา 5 วินาทีขนาดของความเร่งของรถยนต์เป็นท่าใด วิธีทำจากสูตร s = ut + ½ x at2 75 เมตร = 0 + ½ a 25 วินาที2 a = 6 เมตร/วินาที2 คำตอบขนาดความเร่งของรถยนต์เป็น 6 เมตร/วินาที2 ตัวอย่างที่ 7 โยนก้อนหินไปตามแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น 10 เมตร/วินาทีถามว่า ก. เมื่อใดก้อนหินมีความเร็วเป็นศูนย์ ข. ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุดเท่าใด ค. เป็นเวลานานเท่าใดก้อนหินจึงจะตกลงมาถึงตำแหน่งเริ่มต้น

25. วิธีทำ ก. จากสูตรv= u + at 0= 10 เมตร/วินาที + (-10) เมตร/วินาที2 x t t= 1 วินาที คำตอบก้อนหินมีอัตราเร็วเป็นศูนย์หลังจากโยนขึ้นไปนาน 1.0 วินาที ข. จากสูตร s = (u+v)t/2 = (10 เมตร/วินาที + 0 ) × 1.0 วินาที 2 = 5.0 เมตร คำตอบก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุดเป็นระยะ5.0 เมตร

26. ค. เมื่อก้อนหินตกถึงพื้น s=0 s=ut +1/2at2 s=10t + ½ (-10) เมตร/วินาที2 x t 0=10t – 5t2 0=5t(2 – t) t=2.0 s คำตอบจะต้องใช้เวลา 2.0 วินาทีก้อนหินจึงตกถึงพื้น ตัวอย่างที่ 8 อิเล็กตรอนตัวหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 1.0 x 10 4เมตร/วินาทีเข้าสู่บริเวณสนามไฟฟ้าและถูกเร่งโดยสนามไฟฟ้าเป็นระยะทาง 1.0 เซนติเมตรเมื่อออกจากสนามไฟฟ้าอิเล็กตรอนนั้นมีความเร็ว 4.0 x 106เมตร/วินาทีจงคำนวณหาความเร่ง

27. วิธีทำจากสูตร v2=u2 + 2 as (4.0 x 104เมตร/วินาที) 2 = (1.0 x 104เมตรต่อวินาที) 2 + 2a x 1.0 x 10-2เมตร 16.0 x 1012=0.0001 x 1012 + 2a x 1.0 x 10-2 a = 8.0 x 1014เมตร/วินาที 2 คำตอบความเร่งของอิเล็กตรอนมีค่าเท่ากับ 8.0 x 1014เมตรต่อวินาที2 ตัวอย่างที่ 9 โยนก้อนหินขึ้นไปในแนวดิ่งจากพื้นดินด้วยความเร็วต้น20 เมตร/วินาทีหลังจากโยนไปแล้วเป็นเวลาเท่าไรก้อนหินจึงตกลงมาด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที วิธีทำกำหนดให้ความเร็วในทิศขึ้นเป็น + จาก v = u + at ความเร็วขณะตก = 10 เมตร/วินาที -10 เมตร/วินาที = 20 เมตร/วินาที + (-10) x t t = 3 วินาที