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第五节 隐函数求导法

第五节 隐函数求导法. 一 . 一个方程的情形. 在一元函数微分学中 , 我们接触过隐函数 , 学习过由方程 F(x,y)=0(1) 所确定的隐函数的求导方法 ( 两边对 x 求导 ). 但是 形如 (1) 式的方程并不一定都能确定一个一元函数 y=f(x), 例 如方程 x 2 +y 2 +1=0 不能确定任何实函数 y=f(x),(y 2 = - 1- x 2 ) 因而 , 有必要讨论一下 F(x,y) 满足什么条件时 ,(1) 式能确定. 一个隐函数 , 另外 , 以前的隐函数求导方法 , 必须知道 F(x,y)

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第五节 隐函数求导法

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Presentation Transcript

  1. 第五节 隐函数求导法 一.一个方程的情形 在一元函数微分学中,我们接触过隐函数,学习过由方程 F(x,y)=0(1)所确定的隐函数的求导方法(两边对x求导).但是 形如(1)式的方程并不一定都能确定一个一元函数y=f(x),例 如方程 x2+y2+1=0 不能确定任何实函数y=f(x),(y2= - 1- x2) 因而,有必要讨论一下F(x,y)满足什么条件时,(1)式能确定

  2. 一个隐函数,另外,以前的隐函数求导方法,必须知道F(x,y)一个隐函数,另外,以前的隐函数求导方法,必须知道F(x,y) 的具体表达式,才能求出y对x的导数. 下面我们研究隐函数存在定理 隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点(x0 ,y0 )的某一邻域 内具有连续偏导数,且 F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0; 则方程(1) 在(x0 ,y0 )的某一邻域内能唯一确定一个可导且具有连续导 数的函数y=f(x),它满足条件y0=f(x0),且有

  3. 定理证明从略. 利用多元复合函数的求导法则给于推导. 把方程(1)所 确定的函数y=f(x)代入(1),得F[x,f(x)]=0. 由定理的条件 知道它可导在上述的式子对x两端求导,得到 函数F(x,y)在点(x0 ,y0 )的某一邻域内具有连续偏导数,且 F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0

  4. 若F具有二阶连续偏导数,则(2)可对x再求导,得到yxx若F具有二阶连续偏导数,则(2)可对x再求导,得到yxx 例2 求由方程2x2+y2=1 所确定的隐函数y=f(x)的一阶和二阶导数. 例3 若y=G(x+y),G有二阶连续导数,求yxx

  5. 隐函数存在定理1可以推广到三元及三元以上函数的情形,隐函数存在定理1可以推广到三元及三元以上函数的情形, 现在给出F为三元函数时,与定理1的类似结论.

  6. 数,且 F ( 的函数z=f(x,y),它满足条件 的某一邻域内能唯一确定一个单值连续的偏导数 )的某一邻域内具有连续的偏导 )≠0则方程F(x,y,z)=0在 ) =0 Fz ( 且有 设函数F(x,y,z)在点 与(2)类似.我们只推导公式(4).因为 F[x,y,f(x,y)]=0 对上式求 x,y的偏导数.得到 由于Fz连续,且

  7. 隐函数存在定理2: 设函数F(x,y,z)在点(x0,y0.z0)的某一邻域 内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0)=0 ,则方程F(x,y,z)=0在点（x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一 确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足 条件Z0=f(x0,y0),并且有 与(2)类似.我们只推导公式(4).因为 F[x,y,f(x,y)]=0 对上式求 x,y的偏导数.得到 由于Fz连续,且

  8. Fz(x0,y0,z0)≠0,所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域,在这个邻域 内Fz ≠0于是 例4 设x2+y2+z2=4z,求

  9. 例5设z为由方程F(z/x,z/y)=0所确定的x,y的函数,其中F(u,v)为可微例5设z为由方程F(z/x,z/y)=0所确定的x,y的函数,其中F(u,v)为可微 函数,求 二.方程组的情形

  10. 隐函数存在定理3. 设F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)在点p(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内具有对 各变量连续的偏导数,又F (x0,y0,u0,v0)=0,G (x0,y0,u0,v0)=0,且偏 导数组成的函数行列式(Jaqcobi)在点p (x0,y0,u0,v0)处不为0,则 方程组F=0,G=0在点(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内一定能确定一 组单调,连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y),v=v(x,y),它们满 足条件u0=u (x0,y0),v0=v (x0,y0),并有

  11. 公式的记忆方法 分子把u换成x,其它不动 如求 如求 分子把v换成x,其它不动 推导F(x,y,u(x,y),v(x,y))=0 和 G(x,y,u(x,y),v(x,y))=0 (1) 两边对x求偏导数,得到

  12. 行列式的定义为

  13. 例2 设函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点(u,v)的某一邻域内连续且有 连续偏导数,又 (7) (1)证明方程组 在点(x,y,u,v)的某一邻域内唯一确定一组连续且具有连 续偏导数的反函数u=u(x,y),v=v(x,y) (2)求反函数u=u(x,y), v=v(x,y)对x,y的偏导数. 解(1)把方程组(7)改成下面的形式 F(x,y,u,v)=x-x(u,v)=0 G(x,y,u,v)=y-y(u,v)=0

  14. 则按假设我们有 由隐函数存在定理3,我们得到结果. (2)把方程组(7)所确定的反函数u=u(x,y),v=v(x,y)代入(7),即得到

  15. 例1 解:把u,v看成x,y的函数,对方程的两边对x求导,我们得到 把所给方程的两边对y求导,用同样的方法在J=x2+y2≠0的条件下 可得到

  16. 把上述恒等式两边分别对x求偏导数,得到

  17. 有些求偏导数的题目既涉及到复合函数,又涉及到隐函数.有些求偏导数的题目既涉及到复合函数,又涉及到隐函数. 例3 设u=x3 y2z2,其中z是由方程x3+y3+z3-3xyz=0确定的隐函数 z=z(x,y),求ux 解:

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