A kockázat kezelése döntési feladatokban

1. A kockázat kezelése döntési feladatokban

2. Kockázatos döntések Feltesszük, hogy az egyes kimenetelek valószínűsége ismert. Pl. ötöslottó: 1 szelvény kitöltésével • az ötös valószínűsége = 1:43 949 268 = 0.00000275% • a négyes valószínűsége = 1:103 410 = 0.000967% • a hármas valószínűsége = 1:1 231 = 0.081% • a kettes valószínűsége = 1:44 = 2.273% • egy vagy nulla találat valószínűsége = 97.65%

3. Kockázatos döntések Példa: egy gazdálkodó, aki a következő szezonra különböző terményfajták vetése mellett dönthet. Jelölje a lehetséges 3 terményt a1, a2 és a3. A döntésnél két lényeges szempontot vesz figyelembe: • X1 nettó hozam, • X2 az aratásig eltelt idő

4. Kockázatos döntések Az X1, X2 értékeit az időjárás, a piac és egyéb véletlen események befolyásolják. A lehetséges állapotokat jelölje: • s1: gyenge • s2: megfelelő • s3: jó

5. Kockázatos döntések A lehetséges állapotok valószínűségei: • s1: 0.25 • s2: 0.5 • s3: 0.25

6. Kockázatos döntések Az elmúlt évek alapján megbecsülhetők az egyes állapotokhoz tartozó kételemű vektorok: (hozam $/hektár ; vetés-aratás közötti hetek száma)

7. Kockázatos döntések a1 → hozam: 0.25 valószínűséggel -400 0.5 valószínűséggel 80 0.25 valószínűséggel 200 hetek: 0.25 valószínűséggel 16 0.5 valószínűséggel 14 0.25 valószínűséggel 12

8. Kockázatos döntések Kevert cselekvési lehetőségek: Nem kizárólagosan választunk a1, a2 és a3 közül, hanem mindegyikből valamennyit: ( λ1 · a1 ; λ2 · a2 ; λ3 · a3 ) (λ1, λ2, λ3≥ 0; λ1+ λ2+ λ3= 1)

9. Hasznossági függvények Szentpétervári paradoxon: egy szabályospénzérmét ( ½ valószínűséggel fej, ½ valószínűséggel írás) addig dobálunk, amíg fejnem lesz. Ha már az első dobásra fejet kapunk, a nyeremény 1 $, ha az eredmény írás, akkor újra dobunk. Ha a második dobás eredménye fej, akkora nyeremény 2 $, írás esetén újabb dobás következik. A nyeremény (fej esetén)minden dobásnál duplázódik, tehát ha k-adik dobásra lett legelőször fej az eredmény, akkor akifizetés 2k−1$.

10. Hasznossági függvények A játékos nyereménye: 1/2 valószínűséggel 1 $, 1/4 valószínűséggel 2 $, 1/8 valószínűséggel 4 $, és így tovább. Kérdés: Milyen áronlehet ezt a játékot árulni, azaz mekkora összeget fizessen a játékos a belépésért?

11. Hasznossági függvények Könnyen ellenőrizhető, hogy a kifizetés várható értéke, azaz a játék ára végtelen, ami ebben a megfogalmazásban meglepő, hiszen senki sem játszana olyan játékot, amelynek az ára nem véges (pl. 4, 10 vagy 100 $).

12. Hasznossági függvények Miért nem tükrözik a játékosok preferenciái a matematikai várható értékből következő eredményeket? • a nagyon kis valószínűségű eseményt (pl. 100-adik dobásra lesz először fej) az emberi gondolkodás már elhanyagolhatónak tekinti, akkor is, ha a hozzá tartozó nyeremény óriási (299$). • a mindennapi realitástól elrugaszkodott, csillagászati összeg kezelése. Valóban 8-szor olyan annyira csábító-e egy 2103 ≈ 1.01 · 1031$-os nyeremény, mint a 2100 ≈ 1.27 · 1030$-os egy olyanjátékosnak, aki nem is látott még néhány száz vagy ezer $-nál többet?

13. A bizonyossági egyenértékes Bináris lottó: P valószínűséggel nyerünk W összeget, (1-P) valószínűséggel L összeget. [ P : W ; 1-P : L ] Mi az az S összeg, amiért ezt a játékot hajlandóak vagyunk eladni? Más szóval: számunkra közömbös, hogy a biztos S összeget kapjuk meg, vagy beszállunk a játékba: S ~ [ P : W ; 1-P : L ]

14. A bizonyossági egyenértékes Példa: Áll az alku A bank időnként felajánlja a játékosnak, hogy adott összegért megvásárolja tőle a táskáját (azaz magát a játékot).

15. A bizonyossági egyenértékes A gazda meg tudja mondani azokat a βi valószínűségeket, amely mellett: ci~ [ (1- βi) : c1 ; βi : c9 ]

16. A várható hasznosság maximalizálása U(a1) = 0.25 U(c1) + 0.5 U(c4) + 0.25 U(c4) = 0.625 U(a2) = 0.350 ; U(a3) = 0.525 ;

17. A hasznossági függvény előállítása A döntéshozóval történő dialógus: E: Ha 200 $ biztos nyereségre tehet szert, vagy egy olyan játékban vehet részt, amelyben 50% eséllyel nem nyer semmit és 50% eséllyel 1000 $ a nyereménye, akkor melyik lehetőséget választja? D: Ekkor számomra a játék a vonzóbb lehetőség. E: Csökkentsük most a játék vonzerejét azzal, hogy a 200 $ biztos nyeremény mellett egy olyan játékban vehet részt, ahol 90% eséllyel nem nyer, 10% eséllyel 1000 $ a nyereménye. D: Ebben az esetben számomra a biztos 200 $ a kedvezőbb. E: Legyen egy újabb változatban a 200 $ biztos nyeremény melletti játékban 70% annak az esélye, hogy nem nyer, 30% eséllyel pedig nyer 1000 $-t. D: Most bármelyik opció megfelel: szívesen játszom, de a 200 $ biztos nyeremény is ugyanazt az értéket képviseli számomra. 200 ~ [ 0.7 : 0 ; 0.3 : 1000 ] → β200 = 0.3

18. A hasznossági függvény előállítása Kérdezzük meg a döntéshozót az alábbiakról: 800 ~ [ 0.2 : 0 ; 0.8 : 1000 ] → β800 = 0.8 300 ~ [ 0.6 : 0 ; 0.4 : 1000 ] → β300 = 0.4 600 ~ [ 0.3 : 0 ; 0.7 : 1000 ] → β600 = 0.7

19. Kockázati magatartások Semleges kockázati magatartás: készpénz egyenértékes = várható érték Pl. 500 ~ [ 0.5 : 1000 $ ; 0.5 : 0 $ ] Kockázatkerülő típus: készpénz egyenértékes < várható érték Pl. 300 ~ [ 0.5 : 1000 $ ; 0.5 : 0 $ ] Kockázatkedvelő típus: készpénz egyenértékes > várható érték Pl. 600 ~ [ 0.5 : 1000 $ ; 0.5 : 0 $ ]

20. Kockázati magatartások VPvárhatópénzérték CEbizonyosságiegyenértékes

21. Kockázati magatartások Példa kockázatkedvelő magatartásra Ötöslottó: 175 ~[ 0.9765 : 0 ; 0.0273 : 800 ; 0.00081 : 7500 ; … ] Pl. a múlt hétre kiszámolt várható pénzérték: 30 Ft (Nem volt ötös, így halmozódik a főnyeremény.)

22. Kockázati magatartások Példa kockázatkerülő magatartásra Biztosítás: -10000 ~ [ 0.999 : 0 ; 0.001 : -5000000 ]

23. Kockázati magatartások Példa kockázatsemleges magatartásra Áll az alku Ha már csak két kis értékű táska maradt, pl. 100000 Ft és 200000 Ft, akkor a bank 150000 Ft-ot ajánl.

24. A Neumann-Morgenstern hasznosság-elmélet

25. Xp a kockázatos lehetőségek (lottók) halmaza xp Xp xp lottó: adottak az ri valószínűségek és a hozzájuk tartozó xi értékek (nyeremény vagy veszteség) (i=1...n)

26. A Neumann-Morgenstern axiómarendszer • axióma: a reláció gyenge rendezés a kockázatos lehetőségek Xp halmazán.

27. A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 2. axióma: Ha xp xq, akkor xp ( α:xp ; (1- α):xq ) xq minden α (0,1) esetén.

28. A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 3. axióma (folytonosság): Ha xp xq xr, akkorlétezik olyanα,β (0,1), hogy ( α:xp ; (1- α):xr ) xq(β:xp ; (1- β):xr )

29. A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 4. axióma (sorrendtől való függetlenség): ( α:xp ; (1- α):xq ) ~ ( (1- α):xq ; α:xp ) minden α (0,1) esetén.

30. A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 5. axióma: Ha xs= ( α:xp ; (1- α):xq ) , akkor (β:xs ; (1- β):xq ) = (αβ:xp ; (1- αβ):xq )

31. 5.1. Tétel: Az Xp-n értelmezett • xpxq akkor és csak akkor, ha U(xp)  U(xq) (5.1) és • U(:xp , (1-):xq) = U(xp)+ (1-)U(xq),  (0,1) (5.2) tulajdonságokkal rendelkező valós értékű U függvény akkor és csak akkor létezik, ha a NM 1-5. axiómák bármely xp, xq és xr Xp kockázatos lehetőség együttesre teljesülnek. Továbbá az U pozitív lineáris transzformáció erejéig egyértelműen meghatározott, azaz egy U' valós függvény akkor és csak akkor fogjateljesíteni az (5.1) és (5.2) feltételeket, ha • U'(xp) =  U(xp) + , (5.3) ahol , R és  > 0.

32. Bernoulli-elv: a várható hasznosság maximalizálása (a várható érték maximalizálása helyett) A Bernoulli-elv feloldja a szentpétervári paradoxont (mondjuk logaritmikus hasznossági függvénnyel.)