제 9 장 일반 벡터공간 9.1 벡터 공간의 공리 벡터공간 공리 < 정의 9.1.1> V 가 덧셈과 스칼라 곱의 연산이 정의된 객체들의 집합이라고 하자 .

1. 제9장 일반 벡터공간 9.1 벡터 공간의 공리 벡터공간 공리 <정의 9.1.1> V가 덧셈과 스칼라 곱의 연산이 정의된 객체들의 집합이라고 하자. 덧셈(addition)은 V내에 있는 대상 u와 v에 대하여 u와 v의 합 u + v 를 대응시켜 주는 규칙, 스칼라곱(scalar multiplication)은 v내의 대상 u 에 대하여 k에 의한 u의 스칼라곱 ku를 대응시켜 주는 규칙. 이러한 연산이 가능한 집합 v를 벡터공간(vector space), 다음 성질들이 v에 있는 모든 대상 u, v,w와 모든 스칼라 k, l 에 대하여 성립한다면 이 객체들을 벡터(vector).

2. 1. V는 덧셈에 대하여 닫혀있다(closed under addition). 즉 만약 u와 v가 V에 존재하면, u+v도 V 에 존재 2. u + v = v + u 3. (u +v) + w = u + (v +w) 4. V 내에 있는 모든 u는 u+0=u를 만족하는 객체 o(영 벡터(zero vector) 라 부른다)를 포함하고 있다. 5. V내의 각 객체 u에 대하여, u+(-u)=0을 만족하는 객체 -u( u의 덧셈역원(negative)이라 부른다)가 존재. 6. V는 스칼라곱에 대하여 닫혀있다(closed under scalar multiplication). 즉, 만약 u가 V 에 존재하고 k가 스칼라이라면, ku 도 V에 존재한다. 7. k(u+v)=ku+kv 8. (k+l)u=ku+lu 9. k(lu)=(kl)u 10. 1u=u

3. - 10가지 성질을 벡터의 공간 공리(vector space axiom) - 벡터 공간 V에서 스칼라가 실수가 되어야만 한다면, V를 실수벡터공간 (real vector space) - 스칼라가 복소수로 허용되면, V를 복소수벡터공간(complex vector space) [예제 2] 수열공간 Rn Rn을 일반화하는 한 가지 자연스런 방법 : 무한개의 성분을 갖는 벡터 , R∞로 표시 → R∞가 10가지의 벡터 공간 공리를 만족

4. 함수 공간 • f와 g가 F(-∞,∞)에서의 함수이고, c가 스칼라이면, 스칼라곱 • (scalar multiple) cf와 합(sum) f+g • (3)

5. [예제 3] F(-∞,∞) 은 벡터공간이다. 식 (3)의 연산에 대해 F(-∞,∞)가 벡터 공간 행렬 공간 - 실수 성분을 가진 모든 m x n 행렬의 집합을  Mmn           : Mmn 은 벡터공간 특이한 벡터공간 [예제 4] 양의 실수의 집합을 V, V내의 어떤 실수 k와 어떤 수 u 와 k에 대해서 V에 대한 연산 → 연산의 집합 V는 10개의 벡터공간 공리를 만족하고, 벡터 공간

6. 부분 공간 <정의 9.1.3> W가 공집합이 아닌 V의 부분집합으로서 V내의 스칼라 곱과 덧셈에 의해 벡터공간이 된다면, W를 V의 부분집합(subspace). <정리 9.1.4> W가 벡터 공간 V내의 공집합이 아닌 부분집합이라면, W가 V의 부분공간이 될 필요충분조건은 W가 스칼라 곱과 덧셈에 의해 닫혀 있는 것. [예제 5] 영 부분공간 벡터 한 개로 된 집합 W={0} : V의 영부분공간(zero space)

7. [예제 6] F(-∞,∞)의 다항식 부분 공간 a0, a1,···, an은 실수, 즉 Pn은 n차 이하의 차수를 갖는 모든 다항식의 집합, Pn은 F(-∞,∞)의 부분공간임 (풀이) Pn이 F(-∞,∞)의 부분공간임을 보이기 위해 Pn이 스칼라 곱셈과 덧셈에 대하여 닫혀 있음 [예제 7] (-∞,∞)구간 내의 연속함수

8. [예제 8] (-∞,∞)구간 상에서 미분 가능한 함수 [예제 9] 가역행렬은 Mnn의 부분공간이 아니다. n x n가역행렬이 Mnn의 부분공간을 이루지 않음

9. 일차독립, 생성, 기저 [예제 10] F(-∞,∞)내의 일차종속 집합 함수 가 내에서 일차종속 (풀이) 식 (4)를 만족하는 영이 아닌 스칼라 c1, c2, c3가 존재함을 보이면 된다. [예제 11] 벡터집합의 생성 함수 에 의해 생성되는 F(-∞,∞)의 부분공간 (풀이) → span { }=Pn

10. [예제 12] Pn의 기저 예제 11에서 함수 가 Pn → Pn에 대한 표준 기저(standard basis) [예제 13] M22 에 대한 기저 다음 행렬은 2 x 2 행렬 M22 벡터 공간의 기저 → 행렬은 일차 독립

11. 함수의 선형 독립에 대한 Wronski의 판정법 - 내의 함수 - 함수가 일차종속이면, 모두 영이 아닌 스칼라 이 존재 - 이 방정식을 n-1번째까지 미분한 방정식과 결합

12. - (-∞,∞)구간 내의 모든 x에 대한 자명하지 않은 해를 갖고 있음을 의미 • 이것은 의 Wronskian이라 불리는 다음 행렬식 • (6)이 (-∞,∞)구간 내의 모든 x에 대해서 영임 • (6)

13. <정리 9.1.5> (Wronskian의 판별법) 함수 가 (-∞,∞)구간에서 n-1개의 연속적인 도함수를 가지며, 이 함수의 Wronskian이 (-∞,∞)구간에서 영이 아니라면, 함수는 (-∞,∞)내에서 일차독립 집합을 이룬다. [예제 14] 세 함수 가 F(-∞,∞)내에서 일차독립 집합임을 보여라. (풀이) Wronskian → 이 함수는 모든 실수 x에 대해서 영이 아니며, 이 함수는 일차독립이다.

14. 차원 <정의 9.1.6> 벡터공간 V 가 유한한 벡터가 있는 기저를 가지고 있다면 유한차원(finite dimension), 그렇지 않으면 무한차원(infinite dimension). 영벡터 공간 V={0}는 유한차원으로 정의. <정리 9.1.7> 영이 아닌 유한 차원 벡터 공간의 모든 기저는 동일한 수의 벡터를 갖는다. <정의 9.1.8> V 가 영이 아닌 유한차원 벡터공간이라면, V의 차원(dimension)은 기저의 벡터수로 정의하고 dim(V)으로 표기한다. V={0}은 영차원.

15. [예제 15] 유한차원의 벡터공간 예제 12에서 함수 는 Pn의 기저 → Pn 의 모든 기저가 n+1개의 벡터를 가지고 있으며, 따라서 dim(Pn)=n+1 → P∞은 무한차원이고, 따라서 F(-∞,∞), C(-∞,∞), C1(-∞,∞), Cm(-∞,∞), C∞(-∞,∞)은 모두 P∞를 부분공간으로 가짐

16. Lagrange 보간 다항식 • x1, x2, x3, x4가 서로 다른 실수 • - 식 (7)의 점들을 지나는 3차 이하의 차수를 갖는 보간다항식 • (7) • - 각각 3차의 차수를 갖는 다음 다항식 • (8) • - 이 다항식들은 x1, x2, x3, x4에서 다음과 같은 값을 갖도록 구성 • (9)

17. - 3차 이하의 차수를 갖고 x1, x2, x3, x4에서의 값이 다음과 같은 식 (9) - 식 (9)는 (7)에 있는 점에 대한 보간다항식 - 식 (8)에 있는 네 개의 방정식은 x1, x2, x3, x4에서의 Lagrange 보간다항식 (Lagrange interpolating polynomial) - 식 (9)는 Lagrange 보간공식(Lagrange interpolation formula) [예제 16] Lagrange 보간 2.3절의 [예제 7]에서 선형계의 풀이 (10) 에 대한 보간다항식 → 적절한 Lagrange 보간다항식을 사용하여 다항식

18. (풀이) 다음과 같은 Lagrange 보간 다항식 공식 (9)와 식(10)의 y 좌표계를 이용

19. 벡터 관점의 Largrange 보간 - Lagrange 보간다항식을 P3내의 벡터로 간주하고 벡터관점에서 재검토 - x1, x2, x3, x4는 서로 다른 실수이고, p(x)는 P3내의 다항식 - p(x) 의 그래프가 다음의 점들을 통과 - p(x)는 이 점들의 보간 다항식 - 과 식 (9)를 이용 (12) - x1, x2, x3, x4가 서로 다른 실수라면 이 점들에 대한 Lagrange 보간다항식 (13)

20. - 그래프가 아래의 점들을 통과 - n-1차 이하의 보간다항식 p(x)는 다음과 같은 Lagrange 보간공식 - x1, x2, x3, x4에서의 Lagrange 보간다항식이 pn-1을 생성하고 n-차원이므로 이 공간에 대한 기저를 생성 <정리 9.1.9> x1, x2, x3, x4가 서로 다른 실수이면, 이들 점에서의 Lagrange 보간다항식은 차수가 n-1이하인 다항식들의 벡터공간에 대한 기저를 형성한다.

21. 9-2 내적 공간 ; Fourier 급수 벡터 공간에 기하학적 구조를 부여하기 위해서는 점곱의 개념을 일반화 R∞상에서의 정리 1.2.6에서 유도할 수 있는 점곱의 모든 대수적 특성 정리 1.2.6의 성질들이 성립하는 방법으로 R∞내의 벡터에 관한 기하학적 정리들 또한 V 내에서 유효 정의 9.2.1 실벡터공간 V에서의 내적은 유일한 실수 <u, v>와 V 내의 벡터 u와 v를 연관시키는 하나의 함수이다. 아래의 특성들은 모든 스칼라 k에 대해서, 그리고 V 내의 모든 u, v, w에 대해서 성립한다. 1. <u, v> = <v, u> [대칭 성질] 2. <u+v, w> = <u, w> + <v, w> [덧셈 성질] 3. <ku, v> = k<u, v> [동차 성질] 4. <v, v> ≥ 0, <v, v> = 0, v = 0 [명확 성질] 내적을 갖는 실벡터공간을 실수내적공간이라 하고, 위 정의의 4가지 성질을 내적공리

22. 정의 9.2.2, 만약 V가 내적 공간이라면, 아래의 공식에 의해 내적과 연관된 V 내의 벡터에 대한 놈과 거리를 정의할 수 있다. (1) (2) 그리고 <u, v>=0이면 u와 v가 직교한다고 정의 예제 1 Rn상의 점곱은 내적 Rn상의 점곱(Euclid 내적)은 내적의 가장 기본적인 예제 <u, v>=u . v가 내적 공리를 만족 예제 2 가중 Euclid 내적 (3) w1, w2, …, wn가 양의 실수 u=(u1, u2, …, un)와 v=(v1, v2, …, vn)는 Rn에서의 벡터 Rn상의 가중치 w1, w2, …, wn를 가지는 가중 Euclid 내적을 정의 식(3)이 네 개의 내적 공리를 만족하는 증명은 연습문제

23. 식(3)과 연관된 벡터 x=(x1, x2, …, xn)의 놈은 예를 들어 다음 공식은 (4) 가중치 w1=2와 w2=3를 가진 R2상의 가중 Eulicd 내적을 정의 내적과 연관된 벡터 x=(x1, x2)의 놈 (5) 기하학상의 가중 효과 길이, 거리, 각, 직교성은 응용하는 내적에 좌우되는 중요한 사실 x=(1, 0)이 Eulicd 내적과 연관되는 단위 벡터이지만, 식(4)와 연관되는 단위 벡터는 아니다. 식(5)는 길이가 다음과 같다는 것을 의미 u=(1, -1)과 v=(1, 1)은 R2상의 Euclid 내적 하에서는 직교하지만, (4)에서는

24. Eulicd 내적에 가중치를 부여하면 길이, 거리, 각이 변하기 때문에 가중치를 부여할 때 직교성과 기하학적 대상의 형태가 변화 다음 예제는 Eulicd 내적에 가중치를 부여할 때 그림 9.2.1의 단위원이 타원으로 변형되는 것을 보여준다. 그림 9.2.1 그림 9.2.2 예제 3 R2상의 가중 Euclid 내적을 사용한 단위원 V가 내적 공간이라면, 단위원(단위구라고도 한다)은 V내에서 ΙΙxΙΙ=1인 점 집합으로 정의할 수 있다. 가중 Euclid 내적을 사용하여 xy-좌표계에서 단위원을 그려라. (6)

25. 풀이 x=(x, y)이라면 ΙΙxΙΙ는 다음과 같고 식(6)과 관계된 단위원의 방정식은 그래프는 그림 9.2.2에서 보인대로 타원 예제 4 C[a, b]상의 적분내적 구간 [a, b] 상에서 f와 g가 연속함수이면, 공식은 아래와 같고 (7) 적분내적이라 부르는 벡터 공간 [a, b]의 내적을 정의 내적과 관련된 함수 f의 놈은 (8)

26. 식(7)이 4개의 내적 공리를 만족하는 증명 공리 1 – [a, b] 구간에서 f와 g가 연속함수이면 공리 2 – [a, b] 구간에서 f, g, h가 연속함수이면 공리 3 – [a, b] 구간에서 f와 g가 연속함수이고 k가 스칼라이면 공리 4 – [a, b] 구간에서 f가 연속함수이면

27. 예제 5 C[0, 2 ]에서 직교함수 p와 q가 서로 다른 양의 정수라면, cospx와 cosqx가 내적에 관해서 직교함 풀이 f(x)=cospx와 g(x)=cosqx라 가정하자. 식 (10)이 성립함을 보여라. (10) 이것을 증명할 때 다음과 같은 삼각 항등식이 필요하다. 이 항등식을 이용하면 식(10)으로부터 다음 식을 구할 수 있다.

28. 정리 1.2.7, 1.2.11, 1.2.12, 1.2.13, 1.2.15의 일반화된 형태 정리 9.2.3 u, v, w가 내적 공간 V에서 벡터이고, k가 스칼라이면, 다음 식이 성립한다. 정리 9.2.4 (피타고라스의 정리) u와 v가 내적 공간 V 의 벡터이면, 다음 식이 성립한다. 정리9.2.5 (Cauchy-Schwarz 부등식) u와 v가 내적 공간 V 의 벡터이면, 다음 식이 성립한다. (제곱근을 사용하여)

29. 정리 9.2.6 (삼각 부등식) u와 v가 내적 공간 V의 벡터 이면, 다음 식이 성립한다. 예제 6 피타고라스 정리 벡터 u=(1, -1)와 v=(6, 4)가 식 (4)로 정의된 내적에 대해서 직교함을 보이고, 이 벡터들에 대하여 피타고라스 정리를 증명하여라. 풀이 벡터가 아래와 같기 때문에 서로 직교 피타고라스 정리를 증명하기 위해 공식 (5)를 사용한다. 이로 인해 다음을 구할 수 있다. 그러므로 은 피타고라스 정리에 의해 성립

30. 예제 7 f와 g가 [a, b] 구간에서 연속 함수이고 C[a, b]는 예제 4의 식 (7)과 같은 적분 내적을 가진다고 가정하자. Cauchy-Schwarz 부등식은 다음과 같이 표현할 수 있다. 위 식은 다음을 의미한다. (12) 벡터에 대한 삼각 부등식은 다음과 같으며 위 식은 다음을 의미한다. (13)

31. 공식 (13)은 가끔 적분에 대한 Minkowski 부등식이라고 부르기도 하며, 독일 수학자이자 물리학자인 Hermann Minkowski (1864-1909) 정규직교기저 Rn에서 0이 아닌 벡터들의 직교 집합이 일차 독립임을 기술한 정리 7.9.1은 일반적인 내적 공간 V에서도 성립 예제8 Tn에 대한 직교 기저 다음과 같은 형태의 함수를 삼각다항식이라 한다. cn과 dn모두가 0이 아니라면, f(x)는 n차를 갖는다고 말한다. 또한 상수 함수는 0차의 삼각다항식으로 간주한다. n차 이하의 차수를 갖는 삼각다항식들의 집합은 다음과 같은 집합 내의 함수에 의해 생성된 C(-∞, ∞)의 부분공간이다.

32. (14) 이러한 부분공간을 Tn 으로 표기 S가 다음 적분 내적에 대해서 Tn에 대한 직교기저임을 보여라. (15) 풀이 집합 S가 Tn을 생성하므로 S가 직교 집합이라는 것을 보이는 것만으로 충분하다. 왜냐하면 일차 독립은 직교성에서 유도될 수 있기 때문이다. S가 직교 집합임을 증명하기 위해서 이 집합 내의 서로 다른 두 함수의 내적이 0임을 보여야만 한다. (16) (17) (18) (19) (20)

33. 처음 두 개의 적분은 기본 적분 기술을 사용해서 계산 식 (18)의 적분은 예제 5에서 계산하였고, 식 (19), (20)의 적분도 비슷한 방법으로 계산 예제 9 Tn에 대한 직교기저 식 (14)에서 주어진 직교기저 S내의 함수들을 정규화함으로써 식 (15)의 내적과 관련된 Tn에 대한 정규 직교 기저를 구하여라. 풀이 식 (8)과 기본적인 적분 절차로부터 다음을 구할 수 있다. S 내의 벡터들을 정규화 하여 다음 정규 직교기저를 얻을 수 있다.

34. 최적 근사 • 함수에 대한 최적근사문제 • [a, b] 구간에서 연속인 함수 f가 주어질 때, C[a, b]의 상세화된 유한 차원 • 부분공간 W에 있는 함수만을 사용하여 얻을 수 있는 f의 최적 근사를 구하 • 여라. • “최적근사”가 무엇을 의미하는지를 명백히 해야 한다. • n차 이하의 차수를 갖는 다항식을 이용하여 구할 수 있는 [a, b] 구간 위에 존재하는 f(x)=sinx 의 최적근사를 구하여라. • 2. n차 이하의 차수를 갖는 삼각 다항식을 이용하여 [0, 2 ] 구간 위에 존재 • 하는 f(x)=x 의 최적근사를 구하여라. • 하나의 양이 다른 것으로 근사화 될 때마다 근사값의 정확성을 평가하기 위해 • 서 오차를 측정하는 방법 • 하나의 수 x를 다른 수 으로 근사화 한다면, 다음과 같은 식으로 근사화 • 과정의 오차를 구할 수 있다.

35. 양 또는 음의 오차의 차이가 발생하므로 절대값을 사용했다. 오차 측정 방법 중의 하나는 [a, b] 구간에서 f와 f^의 그래프 사이의 면적 처럼 기하학적으로 해석할 수 있는 다음 식 (22) 그래프 사이의 면적이 작을 수록 근사값은 더 정확하다. (그림 9.2.3) 그림 9.2.3 공식 (22)가 기하학적으로 쉬운 의미를 갖는다 해도, f와 의 근사화 오차를 C[a, b]의 적분 내적과 관련된 f와 사이의 거리로 표현하는 것 (23) 오차 측정 관점에서 볼 때 함수의 최적근사는 7.8절 초반부에서 소개한 것 과 유사한 최소 거리 문제

36. 함수에 대한 최소거리문제 C[a, b]가 적분 내적을 가진다고 가정하자. C[a, b]의 부분공간 W와 [a, b] 구간에서 연속인 함수 f가 주어졌을 때, 과 다른 W 내의 모든 함수 g에 대해 라는 조건을 만족 하는 f에 가장 가까운 W 내의 함수 를 구하여라. 함수 가 존재한다면 이것을 W에서 f까지의 최적평균제곱근사 Rn에서 최소거리문제들에 대한 경험으로 미루어 볼 때, 최적평균제곱 근사는 정사영과 밀접한 관련성을 쉽게 예상 따라서, 최소 거리 문제의 해가 7.9절의 공식 (7)과 유사한 사실은 당연하다. 정리 9.2.7 만약 W가 C[a, b]의 유한 차원 부분공간이고 {f1, f2, …, fk}가 W 에 대해 직교기저라면, C[a, b]내의 각 함수 f는 W 내의 유일한 최적평균제곱 근사 을 가지고 그에 대한 근사화는 다음과 같다. (25) 여기에서

37. Fourier 급수 [0, 2 ] 구간 상의 연속함수를 f라 하고, n차 이하의 차수를 갖는 삼각다항식 으로 f를 최적평균제곱근사화하는 방법을 고려해 보자. 이런 근사화는 Tn위로 f의 정사영 기저 벡터를 다음과 같이 표현 Tn위의 f의 정사영을 다음과 같은 식이라 하자. (26)

38. 그러므로 간단하게 (27-28) a0, a1, …, an가 b1, …, bn를 f의 Fourier 계수라 하고 식 (26)을 f의 n차 Fourier 근사

39. 예제 10 (a) f(x)=x의 2차 Fourier 근사 (b) f(x)=x의 n차 Fourier 근사 풀이 (a) x에 대한 2차 Fourier 근사는 다음과 같다. (29) a0, a1, a2, b1, b2은 x의 Fourier 계수 k = 0 일 때, 식 (27)로부터 다음을 구할 수 있다. 다른 모든 Fourier 계수들은 부분적분을 이용하여 식 (27)과 식 (28)로부터 ∴ a1 = 0, a2 = 0, b1 = -2, b2 = -1

40. 식(29)에 이러한 값들을 대입하면 2차 Fourier 근사를 구할 수 있다. 풀이 (b) x의 n차 Fourier 근사 따라서 (30)과 (31)로부터 다음과 같은 근사식을 구할 수 있다. f(x)=x의 그래프와 Fourier 근사의 일부가 그림 9.2.4에 나와 있다. f가 [0, 2 ] 구간에서 연속이면, n이 무한대로 접근할 때 함수 f의 n차 Fourier 근사의 평균제곱오차는 영으로 접근함을 증명

41. 이러한 내용들을 아래 식으로 표현 이 식을 함수 f의 Fourier 급수라고 부른다. Rn상의 일반 내적 Rn상의 내적은 아래와 같은 형식의 함수와 관련 (32) 여기서 A는 실성분의 n x n행렬이며, x와 y는 열벡터이다.

42. Rn내에서 각 x와 y에 대한 (32)의 값은 1x1 행렬이기 때문에 스칼라로 취급 만약 y가 고정되었다면, 사상 x → xT A y는 Rn에서 R으로의 선형 변환이며, 또한 만약 x가 고정되었다면, 사상 y → xT A y 역시 Rn에서 R으로의 선형 변환이다(연습문제3). 그러므로, (32)를 겹선형형식 자세히 표현하면 A에 대한 겹선형형식 정리 9.2.8 만약 A가 양의 정부호이고 Rn내의 벡터가 열벡터이면, (33) 은 Rn상의 내적이며, 반대로 만약 <u, v>가 Rn상의 어떠한 내적이라면, Rn 내의 모든 열벡터 u와 v에 대해서 (33)이 성립하는 유일한 양의 정부호인 대칭행렬 A가 존재한다. 이 정리에서 사용된 행렬 A는 내적에 관한 행렬이라 부른다.

43. 공리 1 – uTAv가 1 x 1 행렬이므로 대칭이 되며, 따라서 다음 식이 성립한다. 공리 2 – 전치의 성질을 이용하여 다음을 구할 수 있다. 공리 3 – 또다시 전치의 성질을 이용하여 다음을 구할 수 있다. 공리 4 – A가 양의 정부호이며 대칭이므로, 표현식 <v, v> = vTAv은 양의 정부호 이차 형식이다. 그러므로 정의 8.4.2는 다음 식의 내용을 내포하고 있다. 예제 11 가중 Eulicd 내적의 복습 만약 w1, w2, …, wn가 양의 실수라면

44. 가 양의 정부호이며 대칭이다(확인해 보라). 그러므로 <u, v> = uTAv이 내적 임을 알 수 있다. 가중치가 w1, w2, …, wn인 가중 Euclid 내적 예제 12 양의 정부호 행렬을 이용한 내적의 유도 <u, v> = 6u1v1 – 2u1v2 – 2u2v1 +3u2v2가 R2상에서 내적을 정의함을 보여라 풀이 주어진 식은 <u, v> = uTAv과 같이 행렬 형태로 표현할 수 있으며 행렬 A는 아래와 같다. 행렬 A는 정리 8.4.5에서 정의된 대로 양의 정부호이다. 따라서 <u, v> 은 정리 9.2.8에 의해서 내적이다.

45. 9-3 일반 선형변환 및 동형사상 Rn에서 Rm으로의 변환에 초점을 맞추고 선형변환에 대하여 고찰 이 절에서는 일반적인 벡터공간을 포함한 선형변환에 대하여 살펴보고 이러한 선형변환이 가능한 다양한 방법들을 소개 일반적인 유한차원 벡터공간과 Rn사이의 근본적인 연관성을 확립하기 위하 여 일반 선형변환에 대해서도 다룸 일반선형변환 일반 벡터공간 W에서 일반 벡터공간 V상으로의 선형 변환에 대한 정의는 정의 6.1.2과 유사 정의 9.3.1 만약 T : V → W가 벡터공간 V에서 벡터공간 W로의 함수이고, 또한 V내에 서 모든 벡터 u와 v에 대해서 다음 두가지 성질이 성립할 때, T는 V에서 W로의 선형변환이라 부른다. T(cu) = cT(u) [동차성] T(u+v) = T(u) + T(v) [가산성] V=W 인 특별한 경우에, 선형변환 T를 벡터 공간 V상에서의 선형 연산자라 함

46. T(c1v1 + c2v2) = c1T(v1) + c2T(v2) T(c1v1 + c2v2 + … + ckvk) =c1T(v1) + c2T(v2) + … + ckT(vk) 정리 9.3.2 만약 T : V → W가 선형변환이라면 다음 식이 성립한다. 예제 1 영변환 만약 V와 W가 두 개의 벡터공간이라면, V 내의 모든 벡터 v에 대하여 T(v)=0 인 사상 T : V → W를 V에서 W으로의 영변환이라 부른다. 이 변환은 선형이 다. 그리고 만약 u와 v가 V내의 벡터이며 c가 어떠한 스칼라라면, T(cu)=0와 cT(u)=c0=0가 성립한다. 그래서 또한 다음 식이 성립한다. 또한 T(u + v) = T(u) = T(v) = 0이 성립하면, 역시 아래의 식도 성립한다. T(u+v) = T(u) + T(v)

47. 예제 2 항등연산자 만약 V가 어떠한 벡터공간이라면, V 내의 모든 벡터 v에 대하여 T( v ) = v가 성립하는 사상 T : V → V를 V 상의 항등연산자라 부른다. T가 선형임을 확인 해 보아라. 예제 3 확대변환과 축약 연산자 만약 V가 벡터공간이고 k가 스칼라라면, T(v) = kv에 의해 주어진 사상 T : V → V는 V 상에서 선형연산자이다. 그리고 만약 c가 스칼라이고 u와 v가 V 내의 벡터라면 다음 식이 성립한다. 만약 0<k<1이면 T를 인수가 k인 V의 축약이라 부른다. 그리고 만약 k>1이면 인수가 k인 V의 확대변환이라고 부른다. (그림 9.3.1) 그림 9.3.1

48. 예제 4 내적공간 상의 선형변환 V를 내적공간, v0이 V 내에서 고정벡터 T(x) = <x, v0> 변환은 내적, 선형변환 예제 5 값주기 변환 V가 F(-∞, ∞)의 부분 공간이라 하고 을 서로 다른 실수 T : V → Rn은 T(f)=(f(x1), f(x2), …, f(xn)) (2) T(f)는 에서 함수값의 n-짝을 대응시키는 사상 일반적으로 이것을 의 값에서 V 상의 값주기 변환 예를 들면, 만약 이고 f(x) = x2 - 1 이라면 이 성립한다.

49. 만약 c가 스칼라이며 f와 g가 V내에서 함수라면 이 성립하고 이 된다. 예제 6 미분변환 V=C1(-∞, ∞)가 (-∞, ∞) 구간에서 연속인 일차 도함수를 갖는 실함수들의 벡터 공간이고, W=C(-∞, ∞)는 (-∞, ∞) 구간에서 연속인 실함수들의 벡터 공간 이라 하자. 그리고 이 f를 f의 1차 도함수로 보내는 변환이라 하자.

50. 변환 D : V → W는 선형이다. 만약 c가 상수이고 f와 g가 V 내에서 함수라면, 미분의 성질들은 다음을 의미한다. 만약 이 f의 k차 미분을 표시한다면, Dk : V → W는 V=Ck(-∞, ∞)에서 W=C(-∞, ∞)로 수행하는 선형변환이다. 예제 7 적분변환 V=C(-∞, ∞)가 (-∞, ∞) 상에서 연속함수들의 벡터 공간이고, V=C1(-∞, ∞)는 (-∞, ∞) 상에서 연속인 일차 도함수를 갖는 함수들의 벡터 공간이라 하자. 또한 J : V → W는 V 내에서 함수 f(x)가 아래 식으로 보내지는 변환 이라 하자. 변환 J : V → W는 선형이다. 만약 c가 상수이고 f와 g가 V에서 함수라면, 적 분의 특성에 의해 다음이 성립한다.