江苏高考试题探究

江苏高考试题探究 江苏省启东中学黄群力

一.填空题 • 1．已知集合U=R，集合M=，集合 N=，则▲. • 2. 若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则=▲． • 3．某国际体操比赛，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加, 最终将有3人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是▲ 。

4.函数的单调减区间是▲．3,+ • 5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2, 960 ,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间的人做问卷A , 编号落入区间的人做问卷B,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B的人数为__▲__. 10

6．执行如图所示的程序框图，若输出的 b的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为▲． 4

7．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上, 是边长为的正三角形,SC 为球的直径,且;则此棱锥的体积为▲8．函数,.若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,则c的值是__▲___．4

9．已知，且，则的值为____▲____． • 10．设数列满足=2,若表示不超过x的最大整数，则=▲. 2011

11．已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为▲．11．已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为▲．

12．已知函数y=f(x)满足f(3x)=3f(x)，当x时,f(x)=1那么x时,函数y=f(x)的图像与x轴所围成的图形面积▲. 91 • 13.在等腰三角形ABC中，点D,E,F分别在AB,BC,CA上,且AD=DB=EF=1,AC=BC=则的取值范围为▲。

14.设 ,b 是正实数，函数, ．若存在， • 使成立，则的取值范围为．[e,7)

15题三角函数与平面向量 • 纵观近几年高考数学试题，对三角函数的考查内容稳定，难度稳定，题型稳定，注重创新。通常由同角三角函数的关系、诱导公式、两角和与两角差公式、三角函数的图像和性质、正弦定理、余弦定理，及向量的数量积交汇命题，主要题型有：化简、求值与证明，求函数解析式及通过解析式分析函数性质，解三角形，重点考查三角公式的灵活运用、变换能力、变换技巧与数据运算能力，考查正弦函数、余弦函数、正切函数和函数的图像与性质，以及应用数学知识分析和解决问题的能力。

15．如图所示,已知的终边所在直线上的一点P的坐标为(-3,4), 的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为.⑴求的值；⑵若, ,求

解：⑴由三角函数的定义知 ∴. 又由三角函数线知, ∵为第一象限角,∴,∴ .

⑵∵, ,∴ . 又 ,,∴. ∴. 由, ,得 , ∴.

16题立体几何 • 从近几年的高考情况来看，对立体几何的考查一般为中档题，通常是将复杂的空间图形转化为基本的空间图形，将空间问题转化为平面几何问题来解决。主要题型为判断线线、线面、面面的位置关系，着重研究它们之间的平行与垂直关系，通常以多面体为载体，解这类问题时要注意“看未知想判定，看已知想性质”。

16．在直三棱柱中AC=4,CB=2, AA1=2 ，E、F分别是的中点（1）证明：平面平面；（2）证明：平面ABE；（3）设P是BE的中点，求三棱锥的体积．

解答：（1）证明：在，∵AC=2，BC=4,∴AB=2，∴，∴解答：（1）证明：在，∵AC=2，BC=4,∴AB=2，∴，∴ 由已知， ∴面又∵平面

（2）证明：取AC的中点M，连结 在, FM//AB，而，∴直线FM//平面ABE。在矩形中，E、M都是中点，∴ 而，∴直线又∵∴ 故（或解：取AB的中点G，连结FG，EG，证明EG，从而得证）

3）取的中点H，连结EH，则EH//AB且， 由（1）面，∴ EH面， ∵P是BE的中点， ∴

17题应用题 • 应用题主要考查学生运用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，在高考中是必考点，难度以中档题为主，其所依托的模型主要有函数、导数、不等式模型，三角函数模型，数列模型和解析几何模型。 • （1）函数、导数、不等式模型：实际工农业生产、建设及实际生活中的“优选”、“控制”等问题，常建立函数、导数、不等式模型，转化为求最（极）值的问题。 • （2）三角函数模型：所研究的问题具有周期性或在几何图形中求边和角，如物理中的简谐振动、测量、航海等，常建立三角函数模型。

17题应用题 • （3）数列模型：涉及规律变化的问题，如增长率、银行信贷、浓度匹配、圆钢堆垒等问题，常建立等差、等比或递推数列进行研究。 • （4）解析几何模型：实际问题中几何图形的特征与圆锥曲线或圆有关，以圆锥曲线的定义、性质为背景的实际应用问题，如搭桥、定位问题等，常建立解析几何模型。

17．某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品17．某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品 • 率 P与日产量X（万件）之间大体满足关系： • P= （其中为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如P表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量. （1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量（万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

解答：（1）当时，P=， 当时，，综上，日盈利额T（万元）与日产量（万件）的函数关系为： T=

（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0 当时，T 15-12=3,当且仅当时取等号所以(i) 当时，，此时 (ii)当时，由知函数T 在上递增，，此时 .综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润若，则当日产量为万件时，可获得最大利润。

18题解析几何 • 解析几何包括两部分知识：直线与圆和圆锥曲线，是高中数学的核心内容之一，出现在解答题时，通常是有一定难度的综合题，综合了代数、三角、几何、向量等知识，综合考查数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等能力，主要考查类型有（1）求曲线方程，如求直线的方程、圆锥曲线的标准方程及轨迹方程；（2）几何性质的求解和运用，如求离心率，根据几何性质找到解题所需的代数或几何关系；（3）位置关系的研究，如直线与圆的位置关系；（4）定点、定值问题，如直线过定点，圆过定点；（5）最值、范围问题，如参数的取值范围，长度或面积的最值。解题时要把曲线的几何特征准确地转换为代数形式，注意挖掘题目中的隐含条件，找到量与量之间的关联。

18．已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1（－3，0），过点F1作一条直线l交椭圆于A，B两点，点A关于坐标原点O的对称点为A1，两直线AB，A1B的斜率之积为－．18．已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1（－3，0），过点F1作一条直线l交椭圆于A，B两点，点A关于坐标原点O的对称点为A1，两直线AB，A1B的斜率之积为－．（1）求椭圆C的方程；（2）已知D（m，0）为F1右侧的一点，连AD，BD分别交椭圆左准线于M，N两点，若以MN为直径的圆恰好过点F1，求m的值．

解答：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A1(－x1，－y1)．解答：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A1(－x1，－y1)．所以，＝，＝，于是 ·＝，由得＝0，所以 ·＝．所以，＝，所以＝．设b＝4k，a＝5k，其中k＞0．由c＝3，得25k2－16k2＝9，所以k＝1 • 所以，椭圆C：＋＝1．

（2）①若l存在斜率k时，设l：y＝k(x＋3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，（2）①若l存在斜率k时，设l：y＝k(x＋3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得(16＋25k2)x2＋150k2x＋225 k2－400＝0．所以．设,，由M、A、D共线，得，同理

又,，, 由已知得＝0，得=, 即= 整理得，所以m＝±5，因为m＞－3，所以m＝5．经检验当斜率不存在时也适合所以m＝5．

19题数列 数列，在高考中承载着对数学抽象概括能力，运算能力、建模能力、类比与化归能力等多种数学能力的考查。历届高考中，数列题多属于中、高档难度，既注重基本能力考查，又注重探究创新能力的考查。在解答题的考查中，若出现于解答题的前几题，往往考查等差、等比数列的求通项、求和问题或运用累加、累乘法的简单递推数列的求通项、求和问题，主要考查学生运算能力；若出现于最后一两题，大多以数列为载体，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用函数与方程、归纳与猜想、化归与转化、分类与整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力和数学探索创新的能力。

19．设为关于n的次多项式．数列的首项,前n项和为．对于任意的正整数n，+=都成立．19．设为关于n的次多项式．数列的首项,前n项和为．对于任意的正整数n，+=都成立． • ( I )若，求证：数列是等比数列； • ( II)试确定所有的自然数，使得数列能成等差数列．

解答（1）若k=0 ，则即为常数，不妨设= c （c为常数）.+=恒成立，所以 • 2 ① 2 ② • ①②得 • 若an=0，则，…，a1=0，与已知矛盾，所以． • 故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．

（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去． • (ii) 若k=1，设（b，c为常数）， • 当时, ③ • ④ • ③－④得 ⑤ • 2⑥ • 设数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列 • ⑤而a1=1，故{an}只能是常数 • 数列，通项公式为an =1 ， • 故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1 ， • ,此时．

(iii) 若k=2，设（，a，b，c 是常数）， • 当时, ⑤ • ⑥ • ⑤－⑥得⑦， • 2 ⑧ • ⑦⑧得考虑到a1=1，所以= ． • 故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为 • = ， • 此时（a为非零常数）．

(iv)当时，若数列{an}能成等差数列,+的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．(iv)当时，若数列{an}能成等差数列,+的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列． • 综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．

20题函数与导数 • 函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础，在高考数学中极为重要，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数的分值始终占整卷的40%以上。高考对函数的考查主要在以下几个方面：（1）函数的定义及函数的三要素（定义域、值域、对应法则）；（2）基本初等函数的定义、图像和性质；（3）函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等。高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合，其主要特点：（1）考查利用导数研究函数性质；（2）考查原函数与导函数的关系；（3）考查导数与函数相结合的实际应用题。

函数与导数 • 在高考复习时要注意以下几点: （1）讨论函数性质时，必须坚持定义域优先的原则；（2）运用函数的性质解题时，注意数形结合，以形助数；（3）对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，要分析清楚引起讨论的原因，以合理确定分类的标准；（4）函数与导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要综合运用所学的思想方法来分析问题、解决问题，及时地进行思维转换，将问题等价转换，要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题。

20．已知函数f(x)＝x3＋x2－ax(a∈R)．（1）当a＝0时，求与直线x－y－10＝0平行，且与曲线y＝f (x)相切的直线的方程；（2）求函数g(x)＝alnx(x＞1)的单调递增区间；（3）如果存在a∈[3，9]，使函数h(x)＝f(x)＋f(x)(x∈[－3，b])在x＝－3处取得最大值，试求b的最大值．

解：（1）设切点为T(x0，x03＋x02)，由f(x)＝3x2＋2x及题意解：（1）设切点为T(x0，x03＋x02)，由f(x)＝3x2＋2x及题意 • 得3 x02＋2 x0＝1． • 解得x0＝－1，或x0＝． • 所以T(－1，0)或T(，)． • 所以切线方程为x－y＋1＝0 • 或27x－27y－5＝0．

（2）因为g(x)＝x2＋x－a－alnx(x＞1)， • 所以由g(x)＝2x＋1－＞0，得2x2＋x－a＞0． • 令φ(x)＝2x2＋x－a(x＞1)，因为φ(x)在(1，＋∞)递增，所以φ(x)＞φ(1)＝3－a． • 当3－a≥0即a≤3时，g(x)的增区间为(1，＋∞)； • 当3－a＜0即a＞3时，因为φ(1)＝3－a＜0，所以φ(x)的一个零点小于1、另一个零点大于1． • 由φ(x)＝0得零点x1＝＜1，x2＝＞1， • 从而φ(x)＞0(x＞1)的解集为(，＋∞)， • 即g(x)的增区间为(，＋∞)．

（3）方法一：h(x)＝x3＋4x2＋(2－a)x－a，h′(x)＝3x2＋8x＋(2－a)．（3）方法一：h(x)＝x3＋4x2＋(2－a)x－a，h′(x)＝3x2＋8x＋(2－a)． • 因为存在a∈[3，9]，令h′(x)＝0，得x1＝， • x2＝当x＜x1或x＞x2时，h′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，h′(x)＜0． • 所以要使h(x)(x∈[－3，b])在x＝－3处取得最大值， • 必有解得a≥5，即a∈[5，9]．

所以存在a∈[5，9] • 使h(x)(x∈[－3，b])在x＝－3处取得最大值的充要条件 • 充要条件为h(－3)≥h(b)， • 即存在a∈[5，9] 使(b＋3)a－(b3＋4b2＋2b－3)≥0成立． • 因为b＋3＞0，所以9(b＋3)－(b3＋4b2＋2b－3)≥0，即(b＋3)( b2＋b－10)≤0. • 解得≤b≤，所以b的最大值为.

方法二：h(x)＝x3＋4x2＋(2－a)x－a， • 据题意知，h(x)≤h(－3)在区间[－3，b]上恒成立． • 即(x3＋27)＋4(x2－9)＋(2－a)(x＋3)≤0，(x＋3)(x2＋x－1－a)≤0 ①． • 若x＝－3时，不等式①成立； • 若－3＜xb时，不等式①可化为x2＋x－1－a≤0， • 即x2＋x≤1＋a②． • 令ψ(x)＝x2＋x． • 当－3＜b≤2时，ψ(x)在区间[－3，b]上的最大值为ψ(－3)＝6， • 不等式②恒成立等价于6≤1＋a，a≥5，符合题意；

当b≥2时，ψ(x)的最大值为ψ(b)＝b2＋b，不等式②恒成立等价于b2＋b≤1＋a．当b≥2时，ψ(x)的最大值为ψ(b)＝b2＋b，不等式②恒成立等价于b2＋b≤1＋a． • 由题意知这个关于a的不等式在区间[3，9]上有解． • 故b2＋b≤(1＋a)max，即b2＋b≤10，b2＋b－10≤0， • 解得2＜b≤． • 综上所述，b的最大值为，此时唯有a＝9符合题意．

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