catalan stirling n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Αριθμοί Catalan και Stirling PowerPoint Presentation
Download Presentation
Αριθμοί Catalan και Stirling

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 56

Αριθμοί Catalan και Stirling - PowerPoint PPT Presentation


  • 263 Views
  • Uploaded on

Αριθμοί Catalan και Stirling. Διπλωματική Εργασία Δέδε Γεωργία Αθήνα, 2013. ΔΟΜΗ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΡΙΘΜΟΙ CATALAN και εφαρμογές ΑΡΙΘΜΟΙ STIRLING α’ και β’ είδους και εφαρμογές. Διακριτά Μαθηματικά. Τι είναι; ή καλύτερα Τι ΔΕΝ είναι;. Διακριτά Μαθηματικά.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Αριθμοί Catalan και Stirling' - kennan


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
catalan stirling

Αριθμοί Catalan και Stirling

Διπλωματική Εργασία

Δέδε Γεωργία

Αθήνα, 2013

slide2
ΔΟΜΗ
  • ΕΙΣΑΓΩΓΗ
  • ΑΡΙΘΜΟΙ CATALAN και εφαρμογές
  • ΑΡΙΘΜΟΙ STIRLING α’ και β’ είδους και εφαρμογές
slide3
Διακριτά Μαθηματικά

Τι είναι;

ή καλύτερα

Τι ΔΕΝ είναι;

slide4
Διακριτά Μαθηματικά

Αφορούν σε δομές διακριτές (μη συνεχείς)

π.χ. σύνολα, άλγεβρες Boole, διάφορες κατηγορίες ακεραίων, γραφήματα, τυπικές γλώσσες

slide5
Διακριτά Μαθηματικά

Συγκέντρωση σε έναν κλάδο προβλημάτων που ταλάνιζαν για χρόνια τους Μαθηματικούς και δεν μπορούσαν να λυθούν με βάση τη Μαθηματική Ανάλυση!

π.χ. το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων

slide6
Διακριτά Μαθηματικά

Λογική και Απόδειξη

Γιατί μια πρόταση είναι αληθής!

slide7
Διωνυμικοί Συντελεστές

Εμφανίζονται στο Διωνυμικό Θεώρημα:

slide8
Διωνυμικοί Συντελεστές

Συνδυασμοί των n αντικειμένων ανά k:

slide9
Διωνυμικοί Συντελεστές

Η αναδρομική σχέση:

οδηγεί στο:

pascal1
Τρίγωνο του Pascal

Κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο αριθμών που βρίσκονται ακριβώς στην επάνω σειρά, π.χ. 10 = 6+4. Προηγούμενη αναφορά από τον Κινέζο Μαθηματικό ChuShih – Chieh «Τέλειος καθρέπτης των τεσσάρων στοιχείων» (1303).

slide12
Ακολουθίες Αριθμών
  • Bell
  • Motkzin
  • Lucas – Fibonacci
slide13
Αριθμοί Bell

Eric Temple Bell

(February 7, 1883 – December 21, 1960)

Γνωστός και ως John Taine,

συγγραφέας αστυνομικών μυθιστορημάτων

slide14
Αριθμοί Bell
  • Για ικανοποιούν την αναδρομική σχέση:
  • Συνδέονται με τους αριθμούς Stirling β’ είδους με τη σχέση:
motzkin
Αριθμοί Motzkin

Theodore Samuel Motzkin

(26 March 1908–15 December 1970)

motzkin1
Αριθμοί Motzkin
  • Εκφράζουν το πλήθος των μη τεμνόμενων χορδών που μπορούμε να σχεδιάσουμε μεταξύ n σημείων της περιφέρειας ενός κύκλου και για ικανοποιούν την αναδρομική σχέση:
  • Συνδέονται με τους αριθμούς Catalan μέσω της σχέσης:
lucas fibonacci
Αριθμοί Lucas - Fibonacci

Leonardo Pisano Bigollo

(c. 1170 – c. 1250)

γνωστός και ως Fibonacci, σύντμηση για το filiusBonacci, δηλαδή γιος του GuglielmoBonacci

lucas fibonacci1
Αριθμοί Lucas - Fibonacci

Το 1202 στο βιβλίο LiberAbaci («Περί του Άβακα») κατέγραψε τη μαθηματική γνώση που συγκέντρωσε στα ταξίδια του γύρω στη Μεσόγειο. Εκεί, έθεσε το πρόβλημα του υπολογισμού των απογόνων που προκύπτουν από ένα ζευγάρι κουνελιών, που δεν αναπαράγει τον πρώτο μήνα της ζωής του και στη συνέχεια γεννά ένα νέο ζευγάρι κουνελιών κάθε μήνα.

lucas fibonacci3
Αριθμοί Lucas - Fibonacci
  • Οι αριθμοί Fibonacci μελετήθηκαν από τον
  • François Édouard Anatole Lucas (4 April 1842 – 3 October 1891)
  • Ισχύει η σχέση:
  • για τους αριθμούς Lucas και Fibonacci
catalan
Αριθμοί Catalan

Eugène Charles Catalan

(Bruges 30/05/1814 – Liège 14/02/1894)

Αρχικά είχε το επίθετο Bardin, της μητέρας του, αφού οι γονείς του παντρεύτηκαν όταν ήταν 7 ετών

catalan1
Αριθμοί Catalan
  • ασχολήθηκε με προβλήματα παραστατικής γεωμετρίας, συνεχών κλασμάτων, θεωρίας αριθμών και συνδυαστικής
  • έδωσε το όνομά του σε μια περιοχή του R3 και στους αριθμούς Catalan
  • έθεσε το πρόβλημα που σήμερα ονομάζουμε «εικασία του Catalan»

Η μοναδική λύση στο πρόβλημα:

xa + yb = 1, γιαa,x,b,y>1

είναι x=3, a=2, b=3, y=2.

catalan2
Αριθμοί Catalan

Οι αριθμοί Catalan έχουν γενικό τύπο:

και κάποιοι από τους πρώτους όρους είναι:

catalan3
Αριθμοί Catalan
  • Ο πρώτος που τους όρισε και τους χρησιμοποίησε ήταν ο Μογγόλος Μαθηματικός, Αστρονόμος και Τοπογράφος Minggatu το 1730
  • Η πρώτη αναφορά από τον Catalan έγινε το 1838 στη επίλυση του προβλήματος τοποθέτησης παρενθέσεων σε ένα γινόμενο
catalan4
Αριθμοί Catalan
  • Οι αριθμοί Catalan προκύπτουν από το τρίγωνο του Pascal, αν από την κεντρική στήλη και για τις σειρές άρτιου αριθμού αφαιρέσουμε τις αντίστοιχες τιμές τις μεθεπόμενης στήλης
slide26
Τριγωνισμός n-γώνου

Ένας τριγωνισμός ενός κυρτού n-γώνου είναι μια διαμέριση του εσωτερικού του n-γώνου σε τρίγωνα με ευθείες που είναι μη τεμνόμενες διαγώνιοι του n-γώνου.

slide27
Τριγωνισμός n-γώνου

Το πλήθος των τριγωνισμών ενός n-γώνου είναι ίσο με τον (n-2)-τάξης αριθμό Catalan:

slide28

n1

n1

n1

Τριγωνισμός n-γώνου

n5

n5

n5

n2

n2

n2

n3

n4

n4

n4

n3

n3

π.χ. για n=5

n1

n1

n5

n5

n2

n2

n4

n3

n4

n3

Οι δυνατοί τριγωνισμοί ενός πενταγώνου.

slide29
Χειραψίες σε κυκλικό τραπέζι

Σε έναν κύκλο το πλήθος των μη τεμνόμενων χορδών μεταξύ 2n σημείων ισούται με τον n-τάξης αριθμό Catalan .

slide30
Τοποθέτηση Παρενθέσεων σε γινόμενο

Το πλήθος των παρενθέσεων σ’ ένα γινόμενο με n παράγοντεςισούται με τον αριθμό Catalan (n-1)-τάξης:

slide31
Τοποθέτηση Παρενθέσεων σε γινόμενο

π.χ. για n=4

  • ((x1x2)(x3x4))
  • (((x1x2)x3)x4)
  • ((x1(x2x3))x4)
  • (x1 ((x2x3)x4))
  • (x1 (x2(x3x4)))
slide32
Σχεδίαση οροσειρών με n ανοδικές πλευρές (/) και n καθοδικές πλευρές (\)

Το συγκεκριμένο πρόβλημα έχει λύση τον αριθμό Catalan n-τάξης

slide33
Το πρόβλημα της κάλπης

Ας υποθέσουμε ότι γίνονται εκλογές και υπάρχουν δύο υποψήφιοι, οι Α και Β και 2n ψηφοφόροι. Οι υποψήφιοι τελικώς ισοψηφούν, ενώ δεν υπάρχουν άκυρα ή λευκά ψηφοδέλτια. Με πόσους τρόπους μπορούμε να μετρήσουμε τις ψήφους των Α και Β, έτσι ώστε ανά πάσα στιγμή κατά τη διάρκεια της καταμέτρησης να υπερτερεί πάντα ο ίδιος υποψήφιος ή να είναι ισόπαλοι:

η λύση είναι ο αριθμός Catalan n-τάξης ,

dyck paths
Dyck Paths/Διαδρομές

Στο Καρτεσιανό επίπεδο με πόσους τρόπους μπορούμε να πάμε από το (0,0) στο (n,n) κατά τέτοιον τρόπο ώστε να κινούμαστε μόνο Βόρεια ή Ανατολικά και κάτω από τη διαγώνιο x=y:

η λύση είναι ο αριθμός Catalan n-τάξης

slide36
Μεταθέσεις

Με πόσους τρόπους μπορούμε να βάλουμε n αριθμούς σε σειρά έτσι ώστε να μην έχουμε 3 ή περισσότερους αριθμούς που να είναι διαδοχικοί στη φυσική τους σειρά:

η λύση είναι ο αριθμός Catalan n-τάξης

slide38
Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

Το πλήθος των δένδρων με προσανατολισμό και ρίζα και βαθμούς κορυφών 1 ή 3 και n φύλλα ισούται με τον αριθμό Catalan (n-1)-τάξης

slide42
Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

Το πλήθος των δένδρων με προσανατολισμό, ρίζα και n φύλλα δίνεται από τον αριθμό Catalan n-2 τάξης,

stirling
Αριθμοί Stirling

James Stirling

(Stirlingshire 1692 – Edinburgh 1770)

  • Ασχολήθηκε με σειρές, διαφορικές εξισώσεις, Συνδυαστική, Μηχανική, Οπτική, Υδροδυναμική και Αστρονομία
  • Η συμμετοχή του στο κίνημα των Ιακωβιτών για την απελευθέρωση της Σκωτίας καθυστέρησε την επαγγελματική του σταδιοδρομία και δυσκόλεψαν τη ζωή του
  • Εκτός από επιτυχημένος Μαθηματικός ήταν εξίσου επιτυχημένος Μηχανικός και διευθυντής εταιρείας ορυχείων
stirling1
Αριθμοί Stirlingβ’ είδους

Οι αριθμοί Stirling β’ είδους υπολογίζουν με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε n διακεκριμένα αντικείμενα σε ακριβώς k μη διακεκριμένες θέσεις ώστε καμία θέση να μην είναι άδεια.

Ισοδύναμα

Οι αριθμοί Stirling β’ είδους υπολογίζουν με πόσους τρόπους μπορούμε να διαμερίσουμε ένα σύνολο n στοιχείων σε k μη κενά υποσύνολα.

stirling2
Αριθμοί Stirlingβ’ είδους

οι αριθμοί Stirling β’ είδους για

1≤k≤n≤6:

stirling3
Αριθμοί Stirlingβ’ είδους

Τοποθέτηση σε τρίγωνο:

stirling4
Αριθμοί Stirlingβ’ είδους

Κάθε αριθμός στο τρίγωνο προκύπτει αν προσθέσουμε τον πάνω αριστερά με τον πάνω δεξιά πολλαπλασιασμένο επί την τάξη του στη γραμμή που βρίσκεται, π.χ. 25 = 7 + 6*3

stirling5
Αριθμοί Stirlingβ’ είδους και Προβλήματα Πληρότητας

Πολλά προβλήματα απαρίθμησης αντικειμένων είναι δυνατό να τα διατυπώσουμε σα να είχαμε να τοποθετήσουμε μπάλες σε κελιά ή δοχεία. Έχουμε αντιστοιχίσει, λοιπόν, τις μπάλες στα προς απαρίθμηση αντικείμενα και τα κελιά στις στάθμες απαρίθμησης. Το ερώτημα που τίθεται είναι με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε n μπάλες σε m κελιά, δεδομένου ότι σε κάθε κελί μπορούν να χωρέσουν και όλες οι μπάλες.

stirling6
Αριθμοί Stirling β’ είδους και Προβλήματα Πληρότητας

Οι διαφορετικές περιπτώσεις των προβλημάτων πληρότητας φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. (pm(n) εκφράζει το πλήθος των διαμερίσεων του φυσικού n σε m προσθετέους, κάποιοι από τους οποίους μπορεί να είναι 0)

stirling7
Αριθμοί Stirling β’ είδους και Προβλήματα Πληρότητας

π.χ. Το πλήθος των τρόπων για να τοποθετήσουμε n=5 αντικείμενα σε ακριβώς m=3 θέσεις είναι

stirling8
Αριθμοί Stirling β’ είδους και Προβλήματα Πληρότητας

π.χ. Το πλήθος των τρόπων για να τοποθετήσουμε n=4 αντικείμενα σε m=3 ή λιγότερες θέσεις είναι:.

stirling9
Αριθμοί Stirling β’ είδους και Προβλήματα Πληρότητας
stirling10
Αριθμοί Stirlingα’ είδους

Οι αριθμοί Stirling α’ είδους s(n,m) = μετρούν το πλήθος των μεταθέσεων n αντικειμένων σε m μη διατεταγμένους κύκλους και ικανοποιούν την αναδρομική σχέση: