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Tema 7: Uso de la probabilidad en la investigación psicológica 1. Introducción. 2. Variables aleatorias. 3. Funciones de probabilidad y de distribución. 1. Introducción Principales conceptos preliminares

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Tema 7: Uso de la probabilidad en la investigación psicológica

1. Introducción.

2. Variables aleatorias.

3. Funciones de probabilidad y de distribución..

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1. Introducción

Principales conceptos preliminares

Experimento aleatorio: Es cualquier operación cuyo resultado no puede ser predicho con certeza

Por ejemplo, tirar un dado, efectuar una tarea de TR, o un test de rendimiento, el número de accidentes un fin de semana.

Espacio muestral (E): Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Por ejemplo, si lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados.

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Dependiendo del número de elementos del espacio muestral distinguiremos 3 tipos de espacios muestrales:

  • Espacio muestral discreto finito. Consta de un número finito de elementos. (v.g., el ejemplo del dado).
  • Espacio muestral discreto infinito. Consta de un número infinito numerable de elementos. (v.g., lanzar un dado hasta que salga un “6”)
  • Espacio muestral continuo. Consta de un número infinito no numerable de elementos. (v.g., número posible de puntos alcanzables en un experimento de “lanzar flecha a diana”)
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Suceso. Es cualquier subconjunto de un espacio muestral

  • Tipos de sucesos (de acuerdo con el número de elementos del espacio muestral):
  • Suceso simple (o elemental), que es el que consta de un único elemento
  • Suceso compuesto, que consta de dos o más elementos
  • Suceso seguro (o cierto), que consta de todos los elementos del espacio muestral
  • Suceso imposible, que es el que no consta de ningún elemento del espacio muestral

Representación de los sucesos---Diagramas de Venn son útiles

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Probabilidad:

ENFOQUE FORMAL

Axioma 1. La probabilidad del suceso seguro es 1

Axioma 2. La probabilidad de cualquier suceso S es no negativa

Axioma 3. La probabilidad de la unión de dos sucesos (S1 y S2), mutuamente excluyentes, es la suma de sus probabilidades

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Teorema. La probabilidad de la unión de un conjunto infinito numerable de sucesos mutuamente excluyentes es igual a la suma de sus probabilidades

Probabilidad condicional

Llamamos probabilidad condicional de A dado/supuesto B a la expresión

Teorema del producto

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Sucesos independientes. Dos sucesos A y B son estadísticamente independientes si y sólo si se verifica

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2. Variables aleatorias

Una variable aleatoria es toda función que atribuye un número real, y solo uno, a cada suceso elemental de E; es decir, toda función real definida sobre E.

Notación: las vv.aa. se designan con letras mayúsculas latinas, mientras que los valores atribuidos a los sucesos estarán con letras minúsculas latinas.

Variable aleatoria discreta

Aquella que sólo puede tomar un número finito o infinito numerable de valores

Variable aleatoria continua

Aquella que puede tomar un número infinito no numerable de valores

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3. Funciones de probabilidad y de distribución

Función de probabilidad de X (v.a. discreta)

Es aquella función que asigna a todo número real, xi, la probabilidad de que la variable aleatoria X asuma ese valor, salga xi

Propiedades

son los valores asumibles por la v.a. X

1.

2.

3. Siendo a<b<c, el suceso A={a≤X≤b} y el suceso B={b<X≤c} son mutuamente excluyentes. Se cumple

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Función de distribución de X (v.a. discreta)

Es aquella función que asigna a todo número real, xi, la probabilidad de que la v.a. X sea igual o menor que xi

Propiedades

1.

4.

2.

5.

3.

es una función no decreciente

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Función de densidad de probabilidad (v.a. Continua)

Es aquella función, f(x), que verifica las siguientes dos condiciones

La curva, que es la representación de f(x), no tiene puntos por debajo del eje de abscisas

1.

2.

El área TOTAL bajo la curva vale 1

Observad que con vv.aa. continuas f(x) no es una probabilidad, es una DENSIDAD de probabilidad.

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Función de densidad de probabilidad (v.a. Continua). Ejemplo

Examinar si f(x) es una verdadera función de densidad de probabilidad

0 en otro caso

Es claro que f(x) será siempre mayor o igual que 0

Observad que f(x) puede ser mayor que 1: f(1)=3’25

Luego sí lo es.

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Función de distribución de X (v.a. Continua)

Es aquella función que asigna a todo número real, x, la probabilidad de que la v.a. X sea igual o menor que x

Propiedades

1.

4.

2.

5.

3.

es una función no decreciente

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VV.AA. discretas vs. VV.AA. continuas. COMPARACIÓN

1. En una v.a. discreta, P(X=x)≥0 para todo x. En una v.a. continua, P(X=x)=0 para todo x.

2. En una v.a. discreta, f(x) representa una probabilidad, en concreto, P(X=x) y, nunca puede valer más de 1. En una v.a. continua, f(x) no representa la probabilidad, sino la densidad de probabilidad (esto es, puede valor más que 1).

3. En una v.a. discreta, empleamos puntos para introducir la probabilidad. En una v.a. continua empleamos intervalos (recordad que la probabilidad de cada punto es 0).

4. En una v.a. discreta, cualquier probabilidad es la suma de probabilidades asociadas a puntos. En una v.a. continua, cualquier probabilidad es una integral definida, asociada a un intervalo.