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第 1 节 函数与反函数

第 1 节 函数与反函数. 第二章 函数. 要点 · 疑点 · 考点. 1. 映射 设 A ， B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有惟一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f:A→B . 给定一个集合 A 到 B 的映射，且 a∈A,b∈B. 如果元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素 b 叫做 元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象

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第 1 节 函数与反函数

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  1. 第1节 函数与反函数 第二章 函数

  2. 要点·疑点·考点 1.映射 设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B .给定一个集合A到B的映射，且a∈A,b∈B.如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做 元素a的象，元素a叫做元素b的原象 设f:A→B是集合A到集合B的一个映射.如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射就叫做A到B上的一一映射.

  3. 2.函数 (1)传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x,y，并且对于x在某个范围内的每一个确 定的值，按照某个对应法则f,y都有惟一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记作y=f(x) (2)近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射. 3.函数的三要素 函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊映射. 4.函数的表示法：解析式法、列表法、图象法. 5.反函数.设函数y=f(x)的定义域、值域分别为A、C.如果用y表示x，得到x=φ(y)，且对于y在C中的任何一个值，通过x=φ(y)，x在A中都有惟一确定的值和它对应.那么就称函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数.记作x=f-1(y)一般改写为y=f-1(x)

  4. 1.设函数，则x0的取值范围是( ) (A)(-1，1) (B)(-1，+∞) (C)(-∞，-2)∪(0，+∞) (D)(-∞，-1)∪(1，+∞) 2.函数y=3-x-1(x≤0)的反函数是__________ 3.已知函数y=f(x)的反函数f-1(x)=x-1(x≥0)，那么函数y=f(x)的定义域是__________ 课 前 热 身 答案： (1)D (2)y=-log3(x+1)(x≥0) (3)[-1，+∞）

  5. 4.定义域为｛-2，-1，0，1，2｝的函数f(x)满足f(±2)=1,f(±1)=2,f(0)=0,则( ) (A)f(x)无最值 (B)f(x)是偶函数 (C)f(x)是增函数 (D)f(x)有反函数 5.已知函数y=f(x)的反函数为f-1(x)=2x+1，则f(1)等于( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)4 答案： (4) B (5) C

  6. 能力·思维·方法 1.设集合A=｛a,b｝,B=｛0,1｝，试列出映射f:A→B的所有可能的对应法则f. 【解题回顾】①如果f:A→B是一一映射，则其对应法则f如何；②若card(A)=3,card(B)=2，映射f:A→B所有可能的对应法则f共有多少个?

  7. 2.求下列函数的反函数： (1) y=1/2［ln(x-5)+1］(x＞5)； (2)y=x2+2x(x≥0) 【解题回顾】由函数y=f(x)求它的反函数y= f-1(x)的一般步骤是：(1)判断y=f(x)是否存在反函数(但书写时，此步骤可以省略)；(2)若存在反函数，由y=f(x)解出x=f-1(y);(3)根据习惯，对换x、y，改写为y=f-１(x)；(4)根据y=f(x)的值域确定反函数的定义域

  8. 3.已知函数f(x)=2x/(1+2x)(x∈R)，求f-1(1/3)的值 【解题回顾】求f-1(a)的值，解一是先求函数f(x)的反函数f-1(x)，再求f-1(a)的值；解二是根据原函数f(x)与它的反函数f-1(x)的定义域与值域间的关系，转化为求方程f(x)=a解的问题解一是常规解法，解二较简便. 4.若函数f(x)=ax+k的图象过点A(1，3)，且它的反函数y=f-1(x)的图象过点B(2，0)，求f(x)的表达式. 【解题回顾】若函数f(x)存在反函数f-1(x)，则f(a)=b,f-1(b)=a.

  9. 5.证明：原函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)在相应的定义域具有相同的单调性. 5.证明：原函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)在相应的定义域具有相同的单调性. 【解题回顾】类似地可以证明：若原函数为奇函数，且存在反函数，则反函数也为奇函数 .

  10. 6．已知函数 ，求它的反函数， 并作出反函数的图象 延伸·拓展 【解题回顾】函数和反函数的图象的画法是描点法.先根据解析式及定义域、值域、函数的特征取若干点画出一个比较易画的函数的图象，然后再利用它们的图象关于直线y=x的对称性画出另一个函数的图象.

  11. 误解分析 1.在判断几个函数是否为同一函数时，一看函数定义域，二看函数对应法则，当且仅当函数定义域与对应法则都相同时它们才是同一函数； 2.在涉及到反函数问题时，要特别注意原函数与反函数的定义域与值域之间的关系，以及它们图象间的关系.

  12. 第2节函数的解析式

  13. 要点·疑点·考点 1.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. 2.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

  14. 课 前 热 身 1.下列各解析式中，满足的是( ) (A)x2 (B) (C)2-x (D)log1/2x 2.已知函数f(x)=log2x．F(x,y)=x+y2.则 等于( ) (A)-1 (B)5 (C)-8 (D) 3 3.若f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x)，则g(x)的表达式为( ) (A)2x+1 (B)2x-1 (C)2x-3 (D)2x+7 4.已知函数，那么 ___________ C A B 7/2

  15. 5.若一次函数y=f(x)在区间[-1，2]上的最小值为1，最大值5.若一次函数y=f(x)在区间[-1，2]上的最小值为1，最大值 为3，则f(x)的解析式为__________________ 6.在一定的范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系.如果购买1000吨，每吨为800元；购买2000吨，每吨为700元.一客户购买400吨单价应该是( ) (A)820元 (B)840元 (C)860元 (D)880元 C

  16. 1.设，求f(x)的解析式 能力·思维·方法 【解题回顾】解二是配凑法，解一是换元法如果已知复合函数f[g(x)]的表达式且g(x)存在反函数时，可以用换元法来求f(x)的解析式.它的一般步骤为： (1)设g(x)=t，并求出t的取值范围(即g(x)的值域)； (2)解出x=φ(t)； (3)将g(x)=t，x=φ(t)同时代入函数f[g(x)]并简化； (4)以x代t且写出x的取值范围(即t的取值范围)

  17. 2.设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为 ，求f(x)的解析式 【解题回顾】根据对f(x-2)=f(-x-2)的不同理解，可设不同形式的二次函数.一般地，若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，则函数f(x)关于直线x=a对称.这里应和周期函数定义区别开来. 3.已知函数y=x2+x与y=g(x)的图象关于点(-2，3)对称，求g(x)的解析式. 【解题回顾】求与已知函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)对称的函数解析式y=g(x)时，可用代对称点法.

  18. 4.甲乙两车同时沿着某条公路从A地驶往300km外的B地，甲车先以75km/h的速度行驶，在到达AB中点C处停留2h后，再以100km/h的速度驶往B地，乙车始终以速度v行驶4.甲乙两车同时沿着某条公路从A地驶往300km外的B地，甲车先以75km/h的速度行驶，在到达AB中点C处停留2h后，再以100km/h的速度驶往B地，乙车始终以速度v行驶 (I)请将甲车离A地路程x(km)表示为离开A地时间t(h)的函数，并画出这个函数的图象； (II)若两车在途中恰好相遇两 次(不包括A、B两地)，试确定 乙车行驶速度v的取值范围 【解题回顾】“数形结合”是一种 重要的数学思想方法，灵活应用 数形结合这一思想方法，往往能准确迅速地 解答问题，它尤其适合解答客观性试题.

  19. 延伸·拓展 5.“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x=全月总收入-800元，税率见下表：

  20. (1)若应纳税额为f(x)，试用分段函数表示1～3级纳税额f(x)的计算公式；(1)若应纳税额为f(x)，试用分段函数表示1～3级纳税额f(x)的计算公式； (2)某人2002年10月份总收入3000元，试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元? (3)某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于( )(A)800～900元 (B)900～1200元 (C)1200～1500元 (D)1500～2800元 【解题回顾】建立函数的解析式是解决实际问题的关键一步，必须熟练掌握.特别要注意求出函数的解析式后，必须写出其定义域处理分段函数问题，除要用到分类讨论的思想外，还要注意其中整体和局部的关系， 局部的和就是整体.

  21. 误解分析 1．在用换元法解题时，要特别注意所设元的范围.如已知f(1-cosx)=sin2x，求f(x)时，设t=1-cosx，则0≤t≤2即为函数f(x)的定义域．丢掉0≤t≤2是错解该题的根本原因. 2．求由实际问题确定的函数解析式时，一定要注意自变量在实际问题中的取值范围.

  22. 第3节函数的定义域和值域

  23. 要点·疑点·考点 1.能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域.求函数的定义域的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 2.如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. 3.已知f(x)的定义域为A，求函数f[g(x)]的定义域，实际上是已知中间变量u=g(x)的取值范围，即u∈A，即g(x)∈A，求自变量x的取值范围.

  24. 4.函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.4.函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. 5.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. 6.求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.

  25. 1．函数 的定义域是________ 2.的值域是________ 3.定义域为R的函数y=f(x)的值域为[a，b]，则函数y=f(x+a)的值域为( ) (A)[2a，a+b] (B)[0，b-a] (C)[a，b] (D)[-a，a+b] 课 前 热 身 答案： (1)(-∞，-1] (2) [5，+∞） (3) C

  26. 4.函数 的定义域为( ) (A)［2，+∞］ (B)(-∞，1) (C)(1，2) (D)(1，2) 5.若函数 的值域是[-1，1]，则函数f-1(x)的值 域是( ) (A) (B) (C) (D) D A

  27. 能力·思维·方法 1.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，且a+b＞0，求f(x2)的定义域 【解题回顾】复合函数y=f[g(x)]的定义域的求法是：根据f(x)的定义域列出g(x)的不等式，解该不等式即可求出f[g(x)]的定义域

  28. 2．求下列函数的值域： (1); (2) (3) ; (4)

  29. 【解题回顾】第(1)题是通过求原函数的反函数的定义域，【解题回顾】第(1)题是通过求原函数的反函数的定义域， 求原函数的值域.也可将原函数式化为 ，可利用指 数函数的性质 3x＞0 得. 第(2)题采用了“部分分式法”求解，即将原分式分解成两项 ，其中一项为常数，另一项容易求出值域．形如 (a≠0，c≠0)的函数均可使用这种方法.本题也可化为 ，利用|sinx|≤1，得 ，求函数的值域. 第(3)题用换元法求函数的值域，要特别注意换元后新变量的取值范围． 第(4)题利用基本不等式求函数的值域时，必须注意公式使用的条件，本题也可分x＞0，x＜0两类情况利用基本不等式求函数的值域；利用判别式法求函数值域的关键是构造自变量x的二次方程.

  30. 3.已知函数y=√mx2-6mx+m+8的定义域为R (1)求实数m的取值范围； (2)当m变化时，若y的最小值为f(m)，求f(m)的值域 【解题回顾】对于x∈R时ax2+bx+c≥0恒成立.一定要分a=0与a＞0两种情况来讨论.这样才能避免错误.

  31. 延伸·拓展 4.设f(x)=x2-2ax(0≤x≤1)的最大值为M(a)，最小值为m(a)，试求M(a)及m(a)的表达式. 【解题回顾】含有参变数字母的二次函数的最值问题，主要体现在顶点的变化和区间的变化，当然还有抛物线的开口方向问题，当抛物线开口方向确定时，可能会出现三种情形： (1)顶点(对称轴)不动，而区间变化(移动)； (2)顶点(对称轴)可移动，而区间不动； (3)顶点(对称轴)和区间都可移动．无论哪种情形都结合图象、顶点(对称轴)与区间的位置关系对种种可能的情形进行讨论.

  32. 误解分析 1.凡涉及二次三项式恒成立问题，一定要注意讨论二次项系数是否为零. 2.用基本不等式求函数值时，要注意等号成立的充要条件. 3.不可将f(x)中的“x”和f[g(x)]的“x”混为一谈，应搞清它们“范围”之间的关系.

  33. 第4节 函数的奇偶性

  34. 要点·疑点·考点 1.函数的奇偶性 (1)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. (2)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性

  35. 2.具有奇偶性的函数图象特点 一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数 3.函数奇偶性的判定方法 (1)根据定义判定，首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再判定f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x). 有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑判定f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1 (2)利用定理，借助函数的图象判定

  36. (3)性质法判定 ①在定义域的公共部分内．两奇函数之积(商)为偶函数；两偶函数之积(商)也为偶函数；一奇一偶函数之积(商)为奇函数(注意取商时分母不为零)； ②偶函数在区间(a，b)上递增(减)，则在区间(-b，-a)上递减(增)；奇函数在区间(a，b)与(-b，-a)上的增减性相同.

  37. 课 前 热 身 1.已知函数f(x)=ax2+bx+c(2a-3≤x≤1)是偶函数，则a∈___，b∈____，c∈___ 2.设f(x)(x∈R)是以3为周期的奇函数，且f(1)＞1，f(2)=a，则( ) (A)a＞2 (B)a＜-2 (C)a＞1 (D)a＜-1 3.已知奇函数f(x)在x＞0时的表达式为f(x)=2x-1/2，则当x＜-1/4时，有( ) (A)f(x)＞0 (B)f(x)＜0 (C)f(x)+f(-x)＜0 (D)f(x)+f(-x)＞0 {0} {1} R D B

  38. 4.函数 的奇偶性是( ) (A)奇函数 (B)偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶 5.已知y=f(x-1)是偶函数，则y=f(x)的图象关于( ) A.直线x+1=0对称 B.直线x-1=0对称 C.直线x-1/2=0对称 D.y轴对称 D A

  39. 能力·思维·方法 1.判断下列函数的奇偶性： 【解题回顾】本题还可利用f(-x)+f(x)=0求解较简便

  40. 【解题回顾】本题应先化简f(x)，再判断f(x)的奇偶性，若直接判断f(x)的奇偶性，即 ∴f(x)为偶函数，这样就遗漏f(x)也是奇函数 【解题回顾】判断函数的奇偶性时，应首先注意其定义域是否关于原点对称.

  41. 2.(1)设函数f(x)的定义域关于原点对称，判断下列函数的奇偶性： ①F(x)=[f(x)+f(-x)]/2; ②G(x)=[f(x)-f(-x)]/2; (2)试将函数y=2x表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 【解题回顾】本题的结论揭示了这样一个事实：任意一个定义在关于原点对称的区间上的函数，总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和.

  42. 3.设f(x)与g(x)分别为奇函数和偶函数，若f(x)-g(x)=(1/2)x，比较f(1)、g(0)、g(-2)的大小.3.设f(x)与g(x)分别为奇函数和偶函数，若f(x)-g(x)=(1/2)x，比较f(1)、g(0)、g(-2)的大小. 【解题回顾】本题应注意充分挖掘已知条件.即将-x代x得到关于f(x)和g(x)的二元一次方程组.

  43. 4.已知 (1)判断f(x)的奇偶性；(2)求证f(x)＞0 【解题回顾】(1)判断 的奇偶性要比直接判断f(x)的奇偶性要简洁； (2)因为f(x)是偶函数，所以求证f(x)＞0的关键是证当 x＞0时，f(x)＞0 变题1：已知g(x)为奇函数，且 ，判断f(x)的奇偶性 变题2 已知函数是偶函数，试求a的值.

  44. 5.设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足 (ⅰ) (ⅱ)存在正常数a，使f(a)=1 求证：(1)f(x)是奇函数； (2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a 延伸·拓展 【解题回顾】数学解题的过程就是充分利用已知条件实施由条件向结论的转化过程.当条件不能直接推出结论时就要想方设法创造使用条件的氛围，采用逐步逼近的手法达到解题目的.

  45. 2.判断函数是否具有奇偶性．一般要对解析式进行化简，这样才能得出正确结论，如判断函数f(x)=√1-x22.判断函数是否具有奇偶性．一般要对解析式进行化简，这样才能得出正确结论，如判断函数f(x)=√1-x2 +√x2-1的奇偶性，在解答上很容易得出如下结论： ∵f(-x)=√1-(-x)2+√(-x)2-1=f(x), ∴f(x)是偶函数.事实上函数的定义域为{-1，1}，将f(x) =√1-x2+√x2-1化简得f(x)=0. ∴f(x)既是偶函数，又是奇函数. 误解分析 1．判断函数是否具有奇偶性．首先要看函数的定义域是否关于原点对称．即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．

  46. 第5节 函数的单调性

  47. 要点·疑点·考点 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为 I ： 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.函数是增函数还是减函数.是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数y=x2，当x∈[0，+∞]时是增函数，当x∈(-∞，0)时是减函数.

  48. 2.单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 3.用定义证明函数单调性的步骤 证明函数f(x)在区间M上具有单调性的步骤： (1)取值：对任意x1,x2∈M，且x1＜x2； (2)作差：f(x1)-f(x2)； (3)判定差的正负； (4)根据判定的结果作出相应的结论.

  49. 4.复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下： 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间

  50. 课 前 热 身 1.下列函数中，在区间(-∞，0)上是增函数的是( ) (A)f(x)=x2-4x+8 (B)g(x)=ax+3(a≥0) (C)h(x)=-2/(x+1) (D)s(x)=log(1/2)(-x) 2.定义在区间(-∞，+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a＜b＜0，给出下列不等式： ①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b); ③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a) 其中成立的是( ) (A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④ B D

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