　　　　　　行列式の性質（２）

　　　　　　行列式の性質（２） 定理３.３.１　　　　　　　ｄｅｔ（tＡ）＝ｄｅｔ（Ａ） det(tＡ)＝Σ sgn(σ)ａσ(1)1ａσ(2)2・・・ａσ(n)n σ ＝Σ sgn(σ－１)ａ1σ－１(1)ａ2σ－１(2)・・・ａnσ－１(n) σ－１（ａσ(i)i　　ならば　ａiσ－１(i)）

定理３.３.２ ａ11　０　・・・　０ａ22　・・・　ａ2n ａ21　ａ22　・・・　ａ2n ・・・・・・＝ａ11 ・・・・・・・・・ａn2　・・・　ａnn ａn1　ａn2　・・・　ａnn ａ11　０　・・・　０ａ11　ａ21　・・・　ａn1 ａ21　ａ22　・・・　ａ2n ０　ａ22　・・・ａn2 ＝・・・・・・・・・・・・・・・・・・ａn1　ａn2　・・・　ａnn ０　ａ2n　・・・　ａnn ａ22　・・・　ａn2 ・・・・・・＝ａ11 ａ2n　・・・　ａnn

定理３.３.３ （１）１つの列をｃ倍すると行列式はｃ倍になる。（２）１つの列が２つの列ベクトルの和である行列の行　　　　　列式は、他の列は同じでその列に各々の列ベク　　　トルをとった行列の行列式の和となる。（３）２つ列行を入れ替えると行列式は－１倍になる。（４）２つの列が等しい行列の行列式は０である。（５）１つの列に他の列の何倍かを加えても、行列式　　　　　　は変わらない。

30 1 -7 0 -3 -5 8 2 3 4 -4 0 1 0 6 = 1 2 1 3 0 1 -1 8 1 1 2 -5 1 1 2 -5 1 1 2 -5 1 0 6 0 1 0 6 = ー = ー 1 -1 8 0 1 -1 8 -3 -5 8 0 -3 -5 8 1 0 3 1 0 0 1 1 = 2 = 16 = 2 = 2 1 1 4 1 1 1 5 13 -3 5 4 -3 5 13

定理３.３.４ 　　Ａ：ｒ次正方行列　　Ｂ：ｓ次正方行列　ｄｅｔ　　　　　　＝　ｄｅｔ　　　　　　＝　ｄｅｔ（Ａ）ｄｅｔ（Ｄ）Ａ　Ｂ０　ＤＡ　０Ｃ　Ｄ定理３.３.５　　　　　Ａ，Ｂ：ｎ次正方行列　　　　　　　ｄｅｔ（ＡＢ）＝ｄｅｔ（Ａ）ｄｅｔ（Ｂ）Ａ　０－Ｅ　ＢＡ　ＡＢ－Ｅ　０ｄｅｔ　　　　　　＝ｄｅｔ　　　　　　　　　　　　　　　　＝（－１）ｎｄｅｔ　－Ｅ　０Ａ　ＡＢ

27 13 5 9 4 5 3 8 2 27 = -2 1 0 0 9 4 5 3 0 0 -2 1 = -29・17 = -493 ac - bdad + bc a b c d = -(ad + bc)ac - bd -b a -d c (ac – bd)2 + (ad + bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

　　余因子行列とクラーメルの公式 ａ11・・・ａ1j・・・　ａ1n ・・・・・・・・・Ａij＝ａi1・・・ａij・・・ａin ・・・・・・・・・ａn1・・・ａnj　・・・ａnn 3 1 -2 4 0 3 -2 Ａ＝Ａ12＝Ａ22＝ 4 -3 0 2 5 2 5 2 6 5

ａ1j ａ1j 0 ･･･ 0 0 ･･･ 0 0 0 ･･･ａ2j ａ2j 余因子展開 = + + ・・・ + ･･･ａnj ａnj ａ11・・ａ1j・・ａ1n ａ11・・０・・ａ1n ａ11・・０・・ａ1n ａ21・・０・・ａ2n ａ21・・ａ2j・・ａ2n ａ21・・０・・ａ2n ｜Ａ｜＝＋　　　　　　　　＋・・・＋・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ａn1・・０・・ａnn ａn1・・０・・ａnn ａn1・・ａnj・・ａnn ａ11・・０・・ａ1n ａijａi1　・・・　ａin ・・・・・・０ａ11　・・・ａ1n ＝（－１）ｉ＋ｊ－２ａi1・・ａij・・ａin ・・・・・・・・・・・・・・・０ａn1　・・・　ａnn ａn1・・０・・ａnn 　＝（－１）ｉ＋ｊａij |Ａij|

｜Ａ｜＝（－１）ｉ＋ｊａ1j |Ａij| ＋・・・＋（－１）ｉ＋ｊａnj |Ａij| n 　＝ Σ（－１）ｉ＋ｊａij |Ａij| i=1 第ｊ列に関する余因子展開 2 7 4 2 4 2 4 3 0 3 2 0 = -7 + 2 - 5 1 3 3 0 1 3 1 5 3 4 5 2 4 2 4 5 5 2 4 5 0 0 2 = -0 + 0 - 2 = -2 =6 7 3 7 8 8 3 7 8 7 8 3

余因子行列 Ａ＝［ａij］：ｎ次正方行列ａ＊ij＝（－１）ｉ＋ｊ|Ａji| ~ Ａ＝［ａ＊ij］：Ａの余因子行列定理３.４.１ＡＡ＝ＡＡ＝ｄＥ　　（ｄ＝ｄｅｔ（Ａ）） ~ ~ 定理３.４.２ｄｅｔ（Ａ） ≠ ０　ならばＡ　は正則でＡ－１＝(１/ｄ)Ａ　である。　　（ｄ＝ｄｅｔ（Ａ）） ~ ~ (１/ｄ)ＡＡ＝Ｅ

n ~ ＡＡ＝［ｃij］ｃij= Σａik ａ＊kj k=1 n = Σ （－１）k＋ｊａik |Ａjk| k=1 ｉ＝ｊの場合 n （－１）k＋iａik |Ａik| ｃii = Σ 行列Ａの第ｉ行に関する余因子展開 k=1 ＝｜Ａ｜ｉ≠ｊの場合 n Ｂ：Ａの第ｊ行を第ｉ行　　　　で置き換えた行列（－１）k＋iａik |Ａjk| ｃij = Σ k=1 n （－１）k＋iｂjk |Ｂjk| = Σ 行列Ｂの第ｊ行に関する余因子展開 k=1 ＝０

定理３.４.３（クラーメルの公式） 　　　Ａｘ＝ｂ　　　Ａ：ｎ次の正則行列ｘ＝　　　　　　　ｘi＝　　ｘ1 ｉｄｅｔ［ａ1・・・ｂ・・・ａn］・・・ｄｅｔ（Ａ）ｘn ｉ |ａ1・・・ｂ・・・ａn|　＝　 |ａ1・・・ Σｘkａk・・・ａn| ＝Σｘk |ａ1・・・ａk・・・ａn| ＝ｘi |ａ1・・・ａi・・・ａn| ＝ｘi |Ａ|

　　特別な形の行列式 ヴァンデルモンドの行列式 1 1 ・・・　 1 x1x2・・・x n x21x22・・・x2 n ＝ Π(xj ー xi) 1 ≦i＜j≦ n ・・・・・・・・・ xn-11xn-12・・・xn-1 n ＝ (－1)n(n-1)/2 Π(xi ー xj) 3 1 ≦i＜j≦ n Π xi＝ xi x2 x3 i=1 Π(xj ー xi) ＝ (x3 ー x2) (x3 ー x1) (x2 ー x1) 1 ≦i＜j≦ 3

行列式の性質（２）