1 / 62

# PERSPEKTIVA - PowerPoint PPT Presentation

Sveučilište u Splitu Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Katedra za geometriju. PERSPEKTIVA. prof.dr.sc. Zdravka Božikov Gorana Aras-Gazić Ana Barbir. SADRŽAJ. Osnovni elementi metode……………………………………………................................... 1

I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.

## PowerPoint Slideshow about ' PERSPEKTIVA' - ken

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije

Katedra za geometriju

### PERSPEKTIVA

prof.dr.sc. Zdravka Božikov

Gorana Aras-Gazić

Ana Barbir

• Osnovni elementi metode……………………………………………................................... 1

• Perspektivna slika točke i pravca. Prikaz ravnine.....…………...………………................ 2

• Pravci u perspektivi……..………………………...……………………………….................. 7

• 3.1. Pravci u posebnom položaju…………...………………………………........................................ 7

• 3.2. Pripadnost pravca ravnini.………………………………............................................................. 11

• 3.3. Međusobni položaj pravaca.....…………………………............................................................. 12

• 3.4. Prikloni kut pravca.....…………………………........................................................................... 14

• 3.5. Pravci jednakog priklonog kuta...………………………............................................................. 15

• Ravnine u perspektivi……..………………………...………………………………............. 18

• 4.1. Ravnine u posebnom položaju……...……………………………….............................................18

• 4.2. Međusobni položaj ravnina.....………………………….............................................................. 22

• 4.3. Prikloni kut ravnine.....………………………….......................................................................... 24

• 4.4. Ravnine jednakog priklonog kuta………………………............................................................. 26

• 5. Pravci i ravnine u međusobnom odnosu……………...……..……………………............. 28

• 5.1. Pravci u ravnini - sutražnice……...………………………………................................................ 28

• 5.2. Pravci u ravnini - priklonice……...………………………………................................................. 29

• 5.3. Probodište pravca i ravnine……...………………………………................................................ 30

• 6. Okomiti položaj pravca i ravnine………………...………………………………................ 31

• 6.1. Nedogledna probodišta i nedogledni pravci okomitih pravaca i ravnina.................................. 31

• 6.2. Okomica ravnine u jednoj njezinoj točki.………………............................................................. 33

• 6.3. Okomite ravnine.....……………….................…………............................................................. 35

• 6.4. Perspektivna slika tlocrta pravca na horizontalnoj ravnini........................................................ 36

• 6.5. Perspektivna slika ortogonalne projekcije pravca na opću ravninu.......................................... 37

• 7. Opća ravnina i zadaće u vezi s njom……………...………………………………............. 38

• Horizontalna ravnina i zadaće u vezi s njom………..……..……………………............. 50

• 9. Metoda probodišta………..……..……………………..................................................... 54

• točka O – centar (središte) projiciranja, očište

P3:

• ravnina slike 

• točka OC – glavnatočka (okomita projekcija očišta)

d

• kružnica kd(OC,d) – distancijskakružnica

d

O

OC

.

P2:

kd

kd

OC

d

1

TCT

PERSPEKTIVNA SLIKA TOČKE I PRAVCA. PRIKAZ RAVNINE

PERSPEKTIVNA SLIKA TOČKE I

P3:

• točka T

• TC – perspektivna slika točke T;(TC=OT)

kd

P2:

OC

.

O

kd

T

OC

TC

TC

TTC

2

PERSPEKTIVNA SLIKA PRAVCA

• opći pravac p

• perspektivna slika pC pravca p je određena perspektivnim slikama njegovih dvaju istaknutih točaka:

P3:

– pravoprobodištepravca p ; (P=p P=PC)

• P

Pn

– beskonačno daleka točka pravca p

• P∞

P∞

• zraka OP∞pn – nedoglednipravac pravca p ; (pnO,pn‖p)

pC

• točka Pn– nedoglednoprobodište pravca p ;

pn

.

OC

O

• pC – perspektivna slika pravca p;(pCPPn ; O,p)

P

P2:

kd

p

Pn

kd

OC

pC

P

p(P, Pn)

3

PRIKAZ RAVNINE

• opća ravnina 

P3:

• pravac r – pravitrag ravnine  ;(r=)

• ravnina n – nedoglednaravnina ravnine; (nO, ‖n)

• pravac rn – nedoglednitrag ravnine  ;(rn=n)

rn

kd

P2:

O

OC

.

rn

n

kd

r

OC

r

(r, rn)

4

PERSPEKTIVNA SLIKA TOČKE II

• točka T

P3:

• TC – perspektivna slika točke T

• pravac p, pT – pravac nositelj

Pn

pn

• točka T je zadana na pravcu nositelju

pC

O

OC

P2:

.

p

P

Pn

T

kd

OC

pC

TC

P

kd

Tp TCpC

TC

5

PERSPEKTIVNA SLIKA TOČKE III

• točka T

• TC – perspektivna slika točke T

P3:

• ravnina , T – ravnina nositeljica

• točka T je zadana u ravnini nositeljici

rn

P2:

OC

O

.

n

rn

kd

r

OC

T

kd

r

TC

T(TC) (r, rn)

TC

6

PRAVCI U POSEBNOM POLOŽAJU I

P3:

• p O, p ‖

PPnpC

P

• ppnPPn pC

P2:

.

OC

O

PPnpC

p

ppn

OC

kd

kd

7

• AP : BP = ACPC : BCPC

PRAVCI U PERSPEKTIVI

PRAVCI U POSEBNOM POLOŽAJU II

P3:

• p  O, p ‖ 

pn‖p

• pC , p‖pC

A

kd

AC

Pravci usporednim sa ravninom slike nemaju u konačnosti ni pravo ni nedogledno probodište, zadaju se ravninom nositeljicom.

P

PC

O

OC

.

B

BC

p

pC

pn

Samo na pravcima usporednim sa ravninom slike, djelišni omjer ostaje sačuvan.

8

PRAVCI U POSEBNOM POLOŽAJU III

P3:

• pO, p||

• ppn

.

OC

O

kd

p

p pn

9

PRAVCI U POSEBNOM POLOŽAJU IV

• pravac n, n  

P3:

• pravac nn, n ‖nn, nnO

N

n

.

P2:

N

kd

OC

OC= Nn

O

nn

.

OC

OC= Nn

kd

nC

nC

Pravac okomit na ravninu slike ima nedogledno probodište u glavnoj točki OC.

10

P3:

• pravac p, ravnina , p  

• nedogledni pravac pn, nedogledna ravnina n, pn n

n

rn

kd

P2:

Pn

rn

pn

OC

O

Pn

.

OC

pc

r

kd

pC

P

r

p

P

Pravac pripada ravnini ako mu je pravo probodište na pravom tragu, a nedogledno probodište na nedoglednom tragu ravnine.

11

MEĐUSOBNI POLOŽAJ PRAVACA I

• pravci p i q, p ‖ q

P3:

• pravac pnqn – nedogledni pravac pravaca p i q

Pn=Qn

Pn=Qn

Pn=Qn

P2:

Pn=Qn

Pn

qC

pC

pnqn

kd

OC

O

qC

.

pC

OC

P

P

kd

p

Q

Q

q

Usporedni pravci imaju zajedničko nedogledno probodište.

12

MEĐUSOBNI POLOŽAJ PRAVACA II

P2:

• pravci a(A, An), b(B, Bn), c(C, Cn)

B

An

bC

• a,b(r, rn), r AB, rnAnBn

• b,c(s, sn), s BC, snBnCn

OC

Bn=Cn

Bn

aC

Zaključujemo:

kd

cC

• pravci a i b se sijeku

A

C

sn

• pravci b i c su paralelni

• pravci a i c su mimosmjerni

r

rn

s

Ako se pravci u prostoru sijeku ili su paralelni, određuju ravninu, tj. spojnica njihovih pravih probodišta mora biti usporedna sa spojnicom njihovih nedoglednih probodišta.

13

PRIKLONI KUT PRAVCA I

• pravac p

• prikloni kut  pravca p - kut između pravca i ravnine slike 

P3:

 =2

P2:

Pn

Pn

kd

pC

pn

pno

pC

O”=OC

O

.

d

P

.

OC

pn’’

d

P

Oo

pn’’

p

po

p’’

p’’

14

 = (p,  ) =(p, p’’) = (pn, pn’’)

|AnOC|> d; prikloni kut pravca a(A, An) je manji od 45

|BnOC|= d; prikloni kut pravca b(B, Bn) je jednak 45

(Na distancijskoj kružnici nalaze se nedogledna probodišta svih pravaca kojima je prikloni kut 45.)

|CnOC| < d; prikloni kut pravca c(C, Cn) je veći od 45

PRAVCI U PERSPEKTIVI

PRIKLONI KUT PRAVCA II

P2:

An

an’’

1

Bn

ano

45

bno

bn’’

OC

d

.

.

d

cn’’

Oo

.

2

d

Oo

Cn

cno

kd

Oo

15

PRAVCI JEDNAKOG PRIKLONOG KUTA I

P3:

• pravac p - prikloni kut 

 2

• pravac q - prikloni kut 

Pn

P2:

Pn

pn

kd

pn’’

d

O

.

pn’’

.

pno

O”=OC

pC

pC

qn’’

OC

qn

.

d

.

P

P

qn’’

Oo

qC

P

Qn

q

p

Q

Qn

p’’

q’’

qno

Oo

pravci jednakog priklonog kuta - svi pravci kojima nedogledna probodišta opisuju kružnicu sa središtemu OC

16

PRAVCI JEDNAKOG PRIKLONOG KUTAII

Točkom T(TC) ravnine (r, rn) položiti pravce priklonog kuta  =30:

P2:

An

Postupak:

k

30

• proizvoljni pravac a takav da je

• (a,  ) = 30

P2n

ano

Oo kd

rn

P1n

an" OCOo , an"OC

an"

ano Oo , (ano , OCOo ) = 60

kd

ano an"= {An}

• nedogledna probodišta pravaca, kojima je prikloni kut 30, opisuju kružnicu k(OC¸, |OCAn|)

OC

.

d

p1C

60

p2C

Oo

TC

3. k(OC, |OCAn|)  rn = {P1n, P2n}

r

4. p1C  P1nTC

P1

P2

5. p2C  P2nTC

17

RAVNINE U POSEBNOM POLOŽAJU I

P3:

• ravnina (r, rn),   O

   n, r  rn

P2:

r  rn

r  rn

O

OC

OC

.

  n

kd

18

• AC:BC= ACCC:BCCC

RAVNINE U PERSPEKTIVI

RAVNINE U POSEBNOM POLOŽAJU II

• ravnina , ‖

P3:

• n‖, r  rn (u beskonačnosti)

n I i

AC

A

• O  I, I‖

O

OC

• zrake projiciranja ne probadaju  u konačnosti, pa se ona projicira u beskonačnost – izbježnaravnina I ilii

.

C

CC

pC

B

pn

• pravac p, p  

BC

p

• A, B p

Na dužinama koje pripadaju ravninama usporednim sa ravninom slike djelišni omjer ostaje sačuvan.

19

RAVNINE U POSEBNOM POLOŽAJU III

• ravnina , 

 OC  rn

P3:

P2:

OC

O

d

rn

.

rn

n

OC

r

kd

.

r

Ravnini okomitoj na ravninu slike, glavna točka OC pripada nedoglednom tragu.

20

RAVNINE U POSEBNOM POLOŽAJU IV

• horizontalna ravnina , 

P3:

• pravi trag horizontalne ravnine zovemo osnovica i označavamo s o

• nedogledni trag horizontalne ravnine zovemo horizont i označavamo s h

OC

O

d

P2:

rn

h

n

Hn

kd

OC

h

.

o

r

H

o

21

Horizontalnu ravninu označavamo s H(o, h).

MEĐUSOBNI POLOŽAJ RAVNINA I

• ravnine  i , ‖

P3:

• ravnina nn - nedogledna ravnina ravnina i 

d

P2:

d

rndn

kd

rndn

OC

O

OC

.

nn

r

kd

r

22

Usporedne ravnine imaju isti nedogledni trag.

MEĐUSOBNI POLOŽAJ RAVNINA II

- ravnina (r, rn)

P2:

- ravnina (d, dn)

rn

- presječnica p ravnina i  se nalazi u obje ravnine pa joj je:

Pn

• pravoprobodište na pravom tragu ravnina  i  ; (P = r  d)

kd

OC

• nedoglednoprobodište na nedoglednom tragu ravnina  i  ; (Pn= rn  dn)

pC

r

P

d

dn

23

PRIKLONI KUT RAVNINE I

P3:

• ravnina 

 2

n

• prikloni kut  ravnine  - prikloni kut njezine priklonice n

rn

Nn

P2:

.

nn

Nn

nc

rn

O

.

kd

O"OC

d

r

N

nno

nn"

nc

.

.

OC

d

N

Oo

n

nn"

.

r

n"

no

n"

24

=(,  )=(n, n") = (nn, nn")

PRIKLONI KUT RAVNINE II

Pravcem p(P, Pn)položiti ravninu priklonog kuta =60:

P2:

r2

Postupak:

//

• proizvoljni pravac a takav da je

• (a,  ) = 60

r1n

Oo kd

Pn

/

k

pC

an" OCOo , an"OC

P

r2n

ano Oo , (ano , OCOo ) = 30

OC

ano an"= {An}

.

//

an"

r1

2. k(OC, |OCAn|)

d

kd

/

60

3. tangente točkom Pnna kružnicu k - r1n, r2n

An

30

ano

Oo

4. 1(r1, r1n)

5. 2(r2, r2n)

25

RAVNINE JEDNAKOG PRIKLONOG KUTA

P3:

• ravnina (r, rn) - prikloni kut 

• ravnina (d, dn) - prikloni kut 

n

 2

P2:

rn

Nn

Nn

rn

.

.

kd

nn

nn"

nno

nC

OC

d

.

O

Oo

O"OC

d

.

.

d

r

N

nn"

r

.

Oo

n

n"

dn

Sve ravnine koje diraju stožac s bazom k(OC, OCNn ) visine v = d imaju jednaki prikloni kut.

26

Točkom Tp(P, Pn) i pravcem a(A, An) položiti ravninu (r,rn):

P2:

rn

P

Postupak:

An

An Fn

1. fT, f || a  Fn  An

2. pravci p i a određuju ravninu (d, dn),

dn PnFn; d || dn; dP

fC

3. F = d fC

OC

4. (r, rn), r  AF; rn || r; rn  An

TC

aC

d

dn

r

pC

A

F

Pn

27

PRAVCI U RAVNINI - SUTRAŽNICE

• ravnina 

P3:

• sutražnice – pravci u ravnini usporedni s tragom

• pravac s, s, s||

kd

n

rn

P2:

OC

.

sn

O

rn

OC

r

r

s

kd

T

sC

TC

sC

TC

28

PRAVCI U RAVNINI - PRIKLONICE

P3:

• ravnina (r, rn)

• priklonice – pravci u ravnini okomiti na trag

n

rn

• ni, nir, i=1,2,3

N3n N2n N1n

N2n N1n

N1n

Nn N3n N2nN1n

OC

n1n

n1n n2n n3n

n1nn2n

P2:

O

.

rn

n3C

Nn

n2C

r

n1C

N3

OC

N2

n3C

N1

n2C

n1C

n3

r

kd

N3

n2

.

n1

N2

N1

Nedogledno probodište svih priklonica ravnine je točka Nn (presjek nedoglednog traga ravnine i okomice na njega točkom OC).

29

- pravac p(P, Pn), p  

PRAVCI I RAVNINE U MEĐUSOBNOM ODNOSU

PROBODIŠTE PRAVCA I RAVNINE

P2:

- ravnina (r, rn)

rn

Pn

pC

Fn

- ravnina (a, an)  [p], proizvoljna

kd

OC

- pravac f(F, Fn), f =  

fC

r

F

- točka S(SC) probodište pravca p i ravnine , S = p f

SC

P

a

an

30

NEDOGLEDNA PROBODIŠTA I NEDOGLEDNI PRAVCI OKOMITIH PRAVACA I RAVNINA I

P3:

Odrediti nedogled N1n okomice na opću ravninu (r, rn).

dn

d

Nn

rn

Postupak:

.

.

.

n

pn

1. priklonica p, p(P, Nn)

O

OC

2. p (d, dn), (d, dn)  

n

.

.

.

3. nedogledna okomica nn na ravninu ; nn O, nn  pn

pC

nn

4. nedogled okomice na ravninu ;

N1n = nn dn

P

r

.

p

N1n

31

NEDOGLEDNA PROBODIŠTA I NEDOGLEDNI PRAVCI OKOMITIH PRAVACA I RAVNINA II

P3:

Odrediti nedogledno probodište N1n pravaca okomitih na opću ravninu (r, rn).

P2:

d

dn

Nn

rn

Nn

.

n

pn

rn

O

pno

OC

kd

pC

n

.

nC

.

.

.

OC

.

Oo

nn

dnnn"

P

r

r

.

nno

p

N1n

N1n

32

OKOMICA RAVNINE U JEDNOJ NJEZINOJ TOČKI I

P3:

U točki S ravnine (r, rn) uzdignuti okomicu na ravninu.

N

dn

d

Postupak:

Nn

rn

1. priklonicap(P, Nn ), pS

.

.

2. p (d, dn), n  (d, dn),(d, dn)  

.

pn

n

O

OC

3. nedogledna okomica nn na ravninu ; O  nn, nn  pn

SC

n

.

.

pC

.

4. nedogledno probodište okomice na ravninu ; N1n = nn dn

S

nC

nn

P

5. okomica na ravninu  točkom S;nS,

n  nn

r

.

p

6. pravo probodište okomice na ravninu  točkom S; N= nd

• nCNN1n – perspektivna slika okomice točkom S

N1n

33

OKOMICA RAVNINE U JEDNOJ NJEZINOJ TOČKI II

P3:

U točki S ravnine (r, rn) uzdignuti okomicu na ravninu.

N

P2:

dn

d

N

Nn

rn

Nn

.

.

.

.

pn

n

rn

pC

O

pno

OC

SC

n

.

kd

.

.

Oo

pC

OC

.

.

S

nC

SC

d

nn

dn  nn"

P

nC

r

r

.

P

p

nno

N1n

N1n

34

OKOMITE RAVNINE

P2:

Nn

• ravnina (r, rn)

• N1n – nedogledno probodište svih okomica na ravninu 

rn

kd

• nedogledni trag ravnine (s, sn) okomite na ravninu  sadrži N1n

.

Oo

OC

.

s

r

Dvije ravnine su međusobno okomite ako jedna od njih sadrži okomicu na drugu ravninu.

N1n

sn

35

PERSPEKTIVNA SLIKA TLOCRTA PRAVCA NA HORIZONTALNOJ RAVNINI

Odrediti tlocrt pravca p(P, Pn) na horizontalnu ravninu H(o,h).

P2:

an

a

Postupak:

1. položimo ravninu (a, an), p,   H(o, h)

P

2.   H = pC'(P', Pn')

pC

3. pC  pC' = PC = p  H (probodište pravca p sa H(o, h) )

OC=Nn

h

Pn'

.

PC

pC'

o

P'

.

Pn

36

PERSPEKTIVNA SLIKA ORTOGONALNE PROJEKCIJE PRAVCA NA OPĆU RAVNINU

Odrediti tlocrt pravca p(P, Pn) na opću ravninu (r, rn).

P2:

a

an

P

Pn'

Nn

Qn

rn

pC

Postupak:

PC

OC

1. položimo ravninu β(b, bn), βp, β(r, rn), β= pC'

Oo

pC'

.

qC

2. pC  pC'= PC= p   (probodište)

Pn

* za pronaći probodište može i bilo

koja ravnina (a, an)  p;

  (r, rn) = qC(Q, Qn), qC  pC= PC

r

P'

Q

b

N1n

bn

37

.

OPĆA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

(O)

ROTACIJA OPĆE RAVNINE I

(in)

P3:

• izbježna ravnina I; O I, I||

(pn)

• izbježnica i; i =   I

rn

Nn

I

Pn

in

O

(i)

.

n

OC

pn

d

pC

TC

• ravnina (r, rn)

r

• p  , T  p

P

T

i

(i1n)

(O1)

p

(T)

(p)

• udlj(r, i) = |ONn|

• središte rotacije Nn, polumjer |ONn|

• (O), (in), (O1), (i1n)

• (pn)  (O)(Pn)

(i1)

• (p) || (pn) , P  (p)

38

P2:

ROTACIJA OPĆE RAVNINE II

(O)

• ravnina (r,rn)

(pn)

• p(P,Pn)  , T(TC)  p

Postupak:

Pn

Nn

1. Nn

rn

2. Ookd

3. (O)

4. |ONn|= |NnOo|= |Nn(O)|

kd

pC

.

5. (pn)  (O)(Pn)

Oo

OC

6. (p) || (pn) , P  (p)

TC

7. (T)

P

r

(T)

(p)

39

• (r, rn),p(P, Pn), p  , dužina AB

• (ACBC) na pravcu p

OPĆA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

PREVALJIVANJE (ROTACIJA) OPĆE RAVNINE U RAVNINU SLIKE

(O)

P2:

• način:

• polumjer rotacije za točku O je udaljenost točke O od rn (ΔOoOCNn - hipotenuza)

(pn)

//

• (pn)

M

Pn

Nn

rn

• (p)  P, (p)  (pn)

• perspektivna kolineacija: os ≡ r,

• središte (O)

ω

pC

AC

• a = |AB| |(A)(B)| = (a)

OC

OC

Oo

.

• način:

• M =k(Pn, |Pn(O)|)  rn, M ≡ “mjerna točka” nedogleda Pn (2 mogućnosti – rotacija za kut  ili π - )

aC

BC

A1

B1

r

P

//

• a = |A1B1|

(B)

//

• (O)M (A)A1  (B)B1

(a)

• [M je nedogled smjera (A)A1,

• (B)B1, ... ]

(p)

40

(A)

ZADANO: opća ravnina (r, rn), sutražnica s(sC),

dužina AB(ACBC ) s

• ACBC – perspektivna slika dužine AB  s

OPĆA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

1.) DUŽINA NA SUTRAŽNICI OPĆE RAVNINE

(O)

P2:

1. način: priklonice i rotacija

• |A1B1| = |(A)(B)| = |AB|

D1

Nn

D2

rn

←Pn→

ω

2. način:

• D1, D2 – nedogledi pravaca koji

• s tragom zatvaraju kut od 450

OC

O0

.

sC

BC

AC

• |A2B2| = |A3B3| = |AB|

r

A3

B3

A2

B2

A1

A4

B1

B4

3. način: mjerna točka Pn

450

450

450

450

(s)

(A)

(B)

• |A4B4| = |AB|

41

ZADANO: opća ravnina (r, rn), priklonica p,

dužina CD p

OPĆA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

2.) DUŽINA NA PRIKLONICI OPĆE RAVNINE

P2:

• D1n i D2n - nedogledi svih pravaca u ravnini (r, rn) koji sa tragom zatvaraju kut od 450

• |C1D1|= |C2D2|= |(C)(D)| = |CD|

D2n

Nn

rn

D1n

ω

pC

DC

Oo

.

OC

CC

r

C1

D2

D1

C2

450

450

450

450

(C)

(p)

42

(D)

(O)

MEĐUSOBNO OKOMITI PRAVCI U OPĆOJ RAVNINI

P2:

.

(pn)

(qn)=(tn)

///

ZADANO: (r, rn), p(P, Pn)  ,

S(SC), R(RC) p

//

Qn=Tn

Pn

Nn

rn

ZADATAK:Točkama S i Rpravca p postaviti okomice q i tkoje pripadaju ravnini 

POSTUPAK:

• (p) || (pn), (p) P

SC

Oo

OC

.

• (pn) ≡ Pn(O) – rotirani nedogledni pravac

RC

qC

tC

pC

• (S), (R)  (p)

P

T

r

Q

• (q)  (S), (q)  (p)

///

(t)

• (t)  (R), (t)  (p)

.

(R)

• (qn)  (pn), (tn)  (pn), (qn)≡ (tn)

///

 Qn ≡ Tn

(q)

• qC ≡ QnSC

(p)

• tC≡ TnRC

//

.

43

(S)

CENTRALNA PROJEKCIJA KVADRATA U OPĆOJ RAVNINI

(O)

P2:

.

Konstruirati perspektivnu sliku kvadrata ABCD koji pripada ravnini ( r, rn ), ako mu je AB(ACBC) jedna stranica.

(qn)=(tn)

(pn)

Nn

Qn=Tn

rn

POSTUPAK:

Pn

• (pn)

qc

tc

• (p)

pC

• (A)

DC

.

Oo

• (B)

CC

OC

AC

• okomice q  A i t  Bna

• pravac p

(B)

.

P

r

T

Q

• (A)(B)(C)(D)

(a)

BC

• Dc

(t)

.

• Cc

(A)

(p)

(C)

(q)

44

(D)

KRUŽNICA U OPĆOJ RAVNINI

Konstruirati kružnicu sa središtem u točki S(SC) koja dira ravninu slike, a pripada ravnini (r, rn )

(O)

P2:

D1

Nn

D2

rn

(i)

OC

.

Oo

4C

6C

8C

1C

2C

SC

7C

5C

r

3C=(3)

(3)

45◦

45◦

(7)

(5)

(S)

(1)

(2)

PROJEKCIJA KRUŽNICE MOŽE BITI BILO KOJA KONIKA!

(6)

(8)

45

(4)

rn

OC

r

OPĆA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

NANOŠENJE VISINE I

ZADANO: opća ravnina (r, rn), točka S(Sc)  

P2:

ZADATAK: Na okomici ravnine koja prolazi tom točkom S treba odrediti točku V tako da dužina |SV| bude jednaka zadanoj dužini v

d

dn

Vc

• POSTUPAK:

• 1. NAČIN

• p - priklonica u točki S

V1

Nn

N1

M3

(pn)

pc

• N1n – nedogled svih okomica

• ravnine

v=v0

.

Oo

.

Sc

• ravnina Δ(d, dn) – određena

• priklonicom p i okomicom n

S1

N

nc

(nn)

• n – okomica u točki S

• M3- mjerna točka nedogleda

• N1nza Δ(d,dn)

N1n

46

P2:

VC

ZADANO: opća ravnina (r, rn), točka S(Sc)  

ZADATAK: Na okomici ravnine koja prolazi tom točkom S treba odrediti točku V tako da dužina |SV| bude jednaka zadanoj dužini v

V1

Nn

Nn

Pn

rn

• t - opći pravac nositelj točke S

(pn)

• t, n  (a, an)

OC

tc

• M3= mjerna točka za (a, an)

.

Oo

.

M3

S1

SC

r

P

nc

a

an

(nn)

N1n

N1n

47

BC

ZADATAK: Odrediti perspektivnu sliku pravilne uspravne trostrane prizme kojoj je AB brid osnovice, a duljina visine iznosi v.

AC

CC

B1

• pravci ACBC i ACBC imaju

• isti nedogled

• pravci BCCC i BCCC imaju isti

• nedogled

PRAVILNA USPRAVNA TROSTRANA PRIZMA

P2:

nCC

v

nBC

nAC

(C)

Pn

rn

Qn

Nn

pC

• konstrukcija jednakostraničnog

• trokuta (A)(B)(C)

qC

(A)

• perspektivna slika ACBCCC

• osnovice

OC

Oo

.

.

CC

M

AC

• okomice točkama A, B i C

(O)

(B)

• ravnina (a, an)  p, nA,nB

BC

B1

a

• mjerna točka M nedogleda N1n

r

P

an

• nanošenje visine

N1n

48

S1

SC

CENTRALNA PROJEKCIJA ROTACIJSKOG VALJKA S BAZOM U OPĆOJ RAVNINI

P2:

Konstruirati perspektivnu sliku rotacijskog valjka, zadane visine v, kojemu donja osnovica sa središtem S(SC) i polumjerom rV pripada ravnini (r,rn).

rV

v

D2

rn

D1

Nn

M

Postupak:

v

.

1. donja osnovica k(S,rV)-skraćeni postupak

Oo

.

OC

sC

- 8 točaka i 8 tangenata

SC

- čuva se djelišni omjer na dužinama koje su paralelne s ravninom slike

kd

S1

r

2. N1n – nedogled okomica na ravninu 

45◦

3. os valjka

- mjerna točka M nedogleda N1n

rv

- nanošenje visine

4. točke gornje osnovice

49

N1n

Profil:

P2:

kd

O

OC

Hn

OC

h

h

d

o

H

o

.

50

• AB H(o, h); AB  s

HORIZONTALNA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

1) DUŽINA NA SUTRAŽNICI HORIZONTALNE RAVNINE

(O)

P2:

1. način:

• prevaljene priklonice p1o, p2o

• točkama (A), (B)

• OC = Nn

• priklonice p1C, p2C

 Sn 

OC

D1

OC = Nn

D2

h

• pravci horizontalne ravnini H(o, h)

• koji s ravninom slike zatvaraju kut od 450

p1C

p2C

BC

sC

AC

• D1, D2 – distancijske točke

o 

VRIJEDI:

45◦

45◦

45◦

45◦

B3

A3

A2

A1

B1

B2

- |AB| = |A1B1| = |A2B2| = |(A)(B)|

(s)

2. način: mjerna točka - Sn

(A)

(B)

- |AB| = |A3B3|

3. način: perspektivna kolineacija

p1o

p2o

- |AB| = |(A)(B)|

Točke A i BH možemo projicirati na osnovicu iz bilo koje točke horizonta.

51

• AB  H(o, h); AB  p

HORIZONTALNA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

2) DUŽINA NA PRIKLONICI HORIZONTALNE RAVNINE

(O)

P2:

1. način:

- |AB| = |A2B2|

- |AB| = |A1B1|

OC=Nn

OC

D1

D2

h

2. način: perspektivna kolineacija

pC

BC

- |AB| = |(A)(B)|

AC

o 

45◦

45◦

45◦

45◦

B2

B1

A2

A1

(A)

(p)

52

(B)

• AB n; A  H; n  H(o,h)

HORIZONTALNA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

3) DUŽINA NA OKOMICI HORIZONTALNE RAVNINE

P2:

B2

• n||

B3

B1

BC

1. način: glavna točka

 Sn 

D1

D2

h

- |AB| = |A1B1|

OC

2. način: distancijske točke

- |AB| = |A2B2|

AC

3. način: mjerna točka - Sn

o 

- |AB| = |A3B3|

A1

A3

A2

nC

Možemo točku AH projicirati na osnovicu iz bilo koje točke horizonta.

53

METODA PROBODIŠTA

P3:

Metoda probodišta objedinjuje perspektivu i Mongeovu projekciju.

 2

Perspektiva je zadana ravninom slike  i očištem O. Time je određena i distancija d.

Hn

OC O"

OC

h

Mongeova projekcija je zadana proizvoljnom horizontalnom ravninom H(o,h) koja se poistovjećuje sa tlocrtnom ravninom projiciranja, tj. H(o,h)1, a nacrtna ravnina projiciranja se poistovjećuje sa ravninom slike , tj.  2.

zT"

d

T"

T2"TC

TC

H1

H

O

zT

T

o 1x2

o

T2'

Odrediti perspektivnu sliku točke T.

T'

d

zT'

O'

Mongeova projekcija

TCT2zT 2

Perspektivna slika točke T je drugo probodište njene zrake.

54

Perspektiva

Metoda probodišta =

+

P3 (Profil):

Mongeova projekcija

2

P2:

kd

OC

OC

O

O"OC

OC =h

Hn

O"OC =h

h

d

d

udlj(o,h)

udlj(o,h)

H

o 1x2

o

o 1x2

H1

o

.

O'

d

d

55

O'

Metodom probodišta odrediti perspektivnu sliku točke T(T',T"):

P2:

T2"T2

T2"T2TC

T"

zT"

Postupak:

O"OC

h

1. zraka zT OT

2. perspektivna slika točke T, TCT2zT 2

o1x2

T2'

d

T'

zT'

O'

56

Metodom probodišta odrediti perspektivnu sliku točke T(T') koja pripada pravcu p(pC):

P2:

pC

T2"T2TC

T2" T2

Postupak:

O"OC

h

1. zraka zT OT

2. perspektivna slika točke T, TCT2zT 2 ; TC  pC

o 1x2

T2'

d

T'

zT'

O'

57

Metodom probodišta odrediti perspektivnu sliku pravca s(s',s"), s || 1:

P2:

SS2"

S2"

s"

sC

O"OC

SnSn2"

sn"h

Sn2"

h

Postupak:

- perspektivna slika sC pravca s; sC SSn

1. S - pravo probodište pravca s

o1x2

Ss s2S2

Sn2'

S2'

2. Snnedoglednoprobodište pravca s

Snsn sn2 Sn2 ; sn || s, snO

d

s'

sn'

O'

58

PERSPEKTIVNA SLIKA OBJEKTA S KRUŽNICOM U VERTIKALNOJ RAVNINI

Metodom probodišta konstruirati perspektivnu sliku objekta zadanog tlocrtom i nacrtom (s osnovicom u horizontalnoj ravnini H(o,h)):

x

d1

x

d2

d1

45◦

45◦

//

N1n

/

N2n

S1C

S2C

x

O"=OC

h

S2'

d2

//

udlj(o,h)

d3

S1"=S2"

o=1x2

//

/

d3

//

1x2

S2'

S1'

/

//

d

59

S1'

O'