第 10 章 質點系

1. 第10章 質點系　 10.1 質心 10.2 連續體的質心 10.3 質心的運動 10.4 質點系的動能 10.5 質點系的功—能互換定理 10.6 摩擦力所作的功 10.7 變質量系統 資料來源：朱達勇 普通物理學 (Benson)

2. 10.1 質心 但不管該系統內各質點的運動如何複雜，總是可以找到一個幾何點，稱為質心（CM），它的「平移運動」可以作為整個系統的代表。

4. 同樣的想法可以擴充至質點數為任意時的情況，也可以將座標擴充至三維的情況來考慮。例如，有N 個介質點時，其質心位置（向量）為 故

5. 例題 10.2 將長度為 3L的薄棒折成一直角形的角狀物，如圖 10.7 所示，求出此物的質心所在。令 L＝1.2m。

6. 例題 10.2 (圖 10.7) 圖10.7 決定此物之質心所在時，可將兩均勻臂以「落在中點處之質點」看待。

7. 10.2 連續體的質心 先將物體適當地分割成無限多個小元素（elements），這種分割方法由物體本身的對稱性決定。對質量為 dm的小元素而言，見圖10.8，將 10.1 式中所寫的 miri這個量改用 rdm來代替，則在 10.1 式中對各離散質點求其和的Σmiri / M就變成對連續體整個作積分：

8. 此式的分量即為：

9. 例題 10.3 一半圓形棒之半徑為 R，線密度為 λkg/m，如圖10.10 所示，求其質心位置。

10. 例題 10.3 (圖 10.10) 圖10.10 質量單元乃是一長度為 Rdθ的小圓弧。

11. 例題 10.4 求高度h、半角α 的均勻圓錐體的質心位置，如圖 10.11。

12. 例題 10.4 (圖 10.11) 圖10.11 為求圓錐體的質心位置，乃將其分成若干細 小圓盤，如圖示。

13. 10.3 質心的運動 一個質點的瞬時速度可以寫為 v＝ dr/dt，因此若對 10.1 式取時間的導數，則得 此式可以改寫成另一形式，以突顯質心之重要性：

14. 一個質點系的牛頓第二運動定律（Newton‘ s second law）： 整個系統的質心被加速得好像全系統只是一個 質量 M＝Σmi的點，而淨外力則又是正好施 在這個點上。

15. 如果我們還把第二運動定律看成 F＝dp/dt這種形式，則又可以得到： 系統總動量的改變率即等於淨外力。

16. 在處理質點系的問題時，我們可以由線動量守恆或由第二運動定律推導出牛頓第一運動定律（Newton‘ s first law）。由 10.6 或 10.7 式，我們可以說： 若一質點系所受之淨外力為0，則其質心速度 保持不變。

17. 例題 10.5 有一個人質量 m1＝ 60 kg 站在一艘質量 m2＝ 40 kg 長 3 m 的船上，船可以在水上毫無阻滯地移動，參考圖 10.15a 。若船頭前緣距船塢 2 m，當此人由船尾走到船頭時，會發生什麼情況？設船為一均勻物體。

18. 例題 10.5 (圖 10.15) 圖10.15 (a) 人站在船尾，(b) 人走到船頭去，過程中整個系統的質心位置並未改變。

19. 例題 10.7 一個質量 75kg 的人站在質量25kg、長度 4 m的平台尾端，整個系統以 4i m/s 的初速度在無摩擦的平面上移動。在 t＝ 0 時，他開始以 2 m/s 的相對速度走向平台前端並停下。在他走動的這段時間裡，求(a) 平台，(b) 人，(c) 質心的位移大小。

20. 例題 10.7 (圖 10.17) 圖10.17 (a) 整個系統以 4 m/s 的速度向前移動。(b)人以 2 m/s 的相對速度在平台上走動，而質心速度則並未改變。

21. 10.4 質點系的動能 質點系的動能可以分為兩部分，一是質心的動能，一是系統內相對於質心的動能。

22. 例題 10.8 質點 m1＝ 4 kg 以5i m/s移動，質點 m2＝ 2 kg 以2i m/s 移動，如圖 10.19a。求 KCM及 Krel。

23. 圖10.19 兩個質點以及它們的質心的速度：(a) 相對於實驗室座標系；(b) 相對於「質心為靜止」的座標系。

24. 例題 10.9 圖 10.20 示出一溜冰者在無摩擦的平面上推牆後退的情況，試利用功–能互換定理討論其運動。 圖10.20 溜冰者推牆後退，由牆反作用回來的外力對她並未作功。

25. 10.7 變質量系統 變質量動力學系統，例如火箭，它的質量便是隨時在變的。運用 10.7 式及 P＝ Mv，得： 然而，上式只在一些特殊情況下才正確。當一個系統確實有一些質量進出其間時，這種處理方式並不正確。

26. 火箭之推力（Rocket Thrust） 在火箭的例子裡，FEXT表火箭本身的質量加上空氣阻力，而 vrel 則便是我們在 9.7 節裡提到過的vex。10.16 式的第二項稱為火箭之推力（thrust）： 因火箭的廢氣是向後排開的，故 vex＜ 0；又因火箭質量為遞減的（即 dM/dt ＜ 0），故火箭所受之推力為正向。此推力來自於：廢氣從引擎排出時對火箭之反作用力。由 10.17 式可以看出，推力乃直接正比於廢氣之排出速度及排出率。