微分几何

1. 微分几何 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 主讲：尹爱芹

2. 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 课程前言 • 课程的教学目的和要求 • 微分几何是以微积分为工具来研究空间曲线和曲面的形状，找出决定曲线和曲面形状的不变量系统。微分几何课程是师范院校数学与应用数学专业的必修课。通过这门课程的学习，使学生掌握这门课程的基本概念、基本理论和基本方法，培养学生应用微积分处理几何问题的能力，培养几何直观和图形想象能力，培养从具体到抽象的能力，从而为进一步学习本专业后继课程打下扎实的基础。

3. 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 基础课：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程等课程的基础知识。 • 教 材：梅向明编的《微分几何》（第四版），高等教育出版社出版。它的前两章是我们应学习的内容。后两章作为选学+自学的内容。 • 参考书: 陈维桓 《微分几何初步》北京大学出版社 吴大任 《微分几何讲义》人民教育出版社 • 解析几何: 把图形转化成动点( )的代数方程。 • 微分几何: 把图形转化成位置向量函数 及其导数 • 的关系。

4. 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 课程的主要内容 • 本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论。 • （1）曲线论。包括曲线的弧长，曲线的曲率和Frenet标架，挠率与Frenet公式，曲线论基本定理，曲线在一点邻近的结构等。 • （2）曲面论。包括切平面与法线，曲面的第一基本形式，等距变换，保角变换，可展曲面，曲面的第二基本形式，法曲率，Gauss映射，主曲率和主方向的计算，Dupin标形和曲面在一点邻近的结构，某些特殊曲面，曲面论基本定理，曲面的内蕴几何，包括测地曲率，测地线，Gauss-Bonnet公式等。

5. 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 几何学的发展大致分几个阶段： • 1. Euclid(欧几里德)几何 • 主要研究在刚体运动下不变的图形性质。如在什么条件下两个三角形全等、两个园全等的问题。 • 2. 解析几何 • 笛卡尔发明解析几何之后，有了使图形量化的手段，因而能研究比直线复杂的图形，如二次曲线、二次曲面。 • 如果把二次曲线、二次曲面用方程来表示，则用方程的系数可以构造一些量，这些量不依赖于笛卡尔坐标系的选取，从而与图形的位置无关。 • 这些量称为图形的不变量，图形的形状就按照这些不变量来区分。

6. 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 3、微分几何：以微积分为工具来研究一般的曲线和曲面的形状，找出决定曲线、曲面形状的不变量系统。微分几何几乎是与微积分同时诞生的。事实上，Newton和 Leibniz当初发明微积分的目的之一就是为了处理曲线所围的面积、曲线的切线和长度等几何问题。微积分在几何学中的应用后来就逐渐发展为我在本书要讲授的曲线论和曲面论。 • 4、黎曼几何 • 5、大范围微分几何

7. 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 向量代数复习 • 一、向量及其相关概念（称普通的实数或复数为数量，用以区别向量） • 1、向量、向量的模、单位向量、零向量、自由向量、负向量（或逆向量）、向量的相等、向量的平行（共线）、向量的共面等。 • 2、向量的代数表示

8. 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 二、各种代数运算 • 设 ，则 设 为实数，向量 ， （ ） • 1、向量的长度和二向量的夹角 • 1） • 2） • 3） 为零向量 • 4）单位向量 ( ) 是和 同方向的单位向量。

9. 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 2、向量的代数运算 • 1）向量的加、减法： • 2) 数乘向量 • 3）数积（内积） • 4）向量积（外积） • 它同时垂直于 和 ，且 、 、 构成右手系

10. 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 3、运算法则 • 1）结合律 • 2）分配律

11. 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 3）交换律 • 4、混合积和双重向量积 • 1）混合积 • =有向体积 • 且 （反交换律）

12. 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 2）双重向量积 • 它是向量和的线性组合 • 3）拉格朗日恒等式