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聊聊天. 微积分的产生——17、18、19世纪的微积分. 很久很久以前,. 在很远很远的一块古老的土地上,. 有一群智者……. 开普勒、笛卡尔、卡瓦列里、费马、帕斯卡、 格雷戈里、罗伯瓦尔、惠更斯、巴罗、瓦里斯、 牛顿、莱布尼茨、……. 任何研究工作的开端，几乎都是极不完美的尝试，且通常并不成功。每一条通向某个目的地的路都有许多未知的真理，唯有一一尝试，方能觅得捷径。也只有甘愿冒险，才能将正确的途径示以他人。……可以这样说，为了寻找真理，我们是注定要经历挫折和失败的。. ——狄德罗. 十七世纪的微积分.
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聊聊天 微积分的产生——17、18、19世纪的微积分. 很久很久以前, 在很远很远的一块古老的土地上, 有一群智者…… 开普勒、笛卡尔、卡瓦列里、费马、帕斯卡、 格雷戈里、罗伯瓦尔、惠更斯、巴罗、瓦里斯、 牛顿、莱布尼茨、…… .
任何研究工作的开端，几乎都是极不完美的尝试，且通常并不成功。每一条通向某个目的地的路都有许多未知的真理，唯有一一尝试，方能觅得捷径。也只有甘愿冒险，才能将正确的途径示以他人。……可以这样说，为了寻找真理，我们是注定要经历挫折和失败的。 ——狄德罗 十七世纪的微积分
任何重要思想的起源都可以追溯到几十年或几百年以前，函数的概念也是如此。直到17世纪，人们对函数才有了明确的理解。函数概念的提出，与伽利略和格雷戈里有关。格雷戈里将函数定义为这样一个量： 它是其他的量经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算而得到的。
因为这个定义太窄，所以很快就被遗忘了，并被陆续出现的其它关于函数的定义替代。但即使是最简单的函数也会涉及到实数。而无理数在17世纪时并不被人们充分了解，于是，人们在处理数值时就跳过逻辑，对函数也是如此。在1650年以前，无理数就一直被人们随心所欲地使用着。
紧接着函数概念的采用，产生了微积分，它是继欧几里德几何之后，全部数学中的一个最伟大的创造。虽然在某种程度上，它是已被古希腊人处理过的那些问题的解答，但是，微积分的创立，首先还是为了处理十七世纪主要的科学问题的。
Archimedes 哪些主要的科学问题呢? 有四种主要类型的问题.
第一类问题 已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。
第一类问题 困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。
第二类问题 求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。
第二类问题 困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。
第三类问题 求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 角发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。
第三类问题 困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。
第四类问题 求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。
第四类问题 困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。 穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而被根本修改了。
看一下阿基米德在证明两个圆的 面积比等于其直径平方比所作的 工作。 Archimedes 欧多克斯的穷竭法是一种有限且相当复杂的几何方法。它的思想虽然古老，但很重要，阿基米德用得相当熟练，我们就用他的一个例子来说明一下这种方法。
阿基米德证明的主要精神是证明圆可以被圆内接多边形穷竭。 在圆里面内接一个正方形，其面积大于圆面积的 1/2 （因为它大于圆外切正方形面积的 1/2，而外切正方形的面积大于圆的面积。）
设 AB 是内接正方形的一边，平分弧 AB 于点C 处并连接 AC 与 CB 。作C 处的切线，并作 AD及 BE 垂直于切线。 从而，ABED 是一个矩形， 其面积大于弓形 ACB 的面 积 。因此，等于矩形面积 一半的三角形ABC 的面积大于弓形ACB 面积的一半。 对正方形的每边都这样做，得到一个正八边形。
在八边形的每边上也可按照在AB 上作三角形ABC 那样地作一个三角形，从而得到一个正十六边形。 16边形
这个正十六边形不仅包含八边形且包含圆与八边形面积之差的一半以上。 这种做法你想做多少次就可以做多少次。可以肯定，圆与某一边数足够多的正多边形面积之差可以弄得比任何预先给定的量还要小。 16边形 32边形 64边形
希腊数学的重大成就之一，是将许多数学命题和定理按逻辑上连贯的方式归为为数不多的非常简单的公设或公理。即熟知的几何公理和算术法则，它们支配着如整数、几何点这样一些基本对象之间的关系。这些基本对象是作为客观现实的抽象或理想化而产生的。
已定型的数学结构就建立在这些公理的基础之上。在后来的许多世纪中，公理化的欧几里德数学曾被认为是数学体系的典范，甚至为其他学科所努力效仿。（例如，像笛卡尔、斯宾诺沙等哲学家，就曾试图把他们的学说用公理方式，或者如他们所说，“更加几何化”地提出来，以便使之更有说服力。）
经过中世纪的停滞时期后，数学同自然科学一起，在新出现的微积分的基础上开始了突飞猛进的发展，这时公理化的方法才被人们遗弃了。
曾经极其广泛地开拓了数学领域的有创造才能的先驱们，并不因为要使这些新发现受制于协调的逻辑分析而束缚住自己，因此，在十七世纪，逐渐广泛地采用直观证据来代替演绎的证明。一些第一流的数学家在确实感到结论无误地情况下，运用了一些新的概念，有时甚至运用一些神秘的联想。由于对微积分新方法的全面威力的信念，促使研究者们走得很远（如果束缚于严格的限制的框架上，这将是不可能的）。不过只有具备卓越才能的数学大师们才有可能能避免发生大错。
微积分不仅使用了函数概念，还引入了两个全新的且更为复杂的概念：微分和积分。这样，除了用来处理数值所需要的基础外，还需要逻辑方面的基础。
微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。这两种过程的一些特殊的情况，甚至在古代就已经有人考虑过（在阿基米德工作中达到高峰），而在十六世纪和十七世纪，更是越来越受到人们的重视。然而，微积分的系统发展是在十七世纪才开始的，通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先驱的创造。这一系统发展的关键在于认识到：过去一直分别研究的微分和积分这两个过程，实际上是彼此互逆的联系着。
公正的历史评价，是不能把创建微积分归功于一两个人的偶然的或不可思议的灵感的。许多人，例如，费马、伽利略、开普勒、巴罗等都曾为科学中的这些具有革命性的新思想所鼓舞，对微积分的奠基作出过贡献。 事实上，牛顿的老师巴罗，就曾经几乎充分认识到微分与积分之间的互逆关系。牛顿和莱布尼茨创建的系统的微积分就是基于这一基本思想。
费马研究的一个问题 假设一个小球正向地面落去，我们想知道下落后第 4 秒时小球的速度（瞬时速度）。 如果我们考虑用小球下落中时间间隔来代替时刻，用它在这一段时间间隔内下降的距离除以所用时间，就得到这一间隔中小球的平均速度。我们可以计算从第四秒起，间隔为 1/2 秒，1/4 秒，1/8 秒，……内的平均速度。显然，时间间隔越短，计算出来的平均速度就越接近第四秒时的速度。这就是说，我们有了一个方案：首先计算不同时间间隔内的平均速度，然后研究当时间间隔越来越小时，它们会趋近于哪一个数。这个数就是要求的小球在第四秒时第瞬时速度。
小球下落的运动状态可用下面的公式描述： 费马所在时代用的是英制单位 设任意一个时间增量是 h ，在第（4 + h）秒时， 小球会下降 256 英尺加上距离增量 k : 即
在 h 秒内（时间间隔）的平均速度为 幸好费马作了这个现在看来并不合理的除法运算，…… ? 令 h = 0 ，得到小球在第四秒时的下落速度
费马推导的问题所在 这样就不能令 h = 0 而得出结论。此外, 对于 这样简单的函数, 可以进行上述化简工作, 而对于更为 复杂的函数, 就不一定可以进行这样的化简工作了, 一 般只能导出如下的关系式： , 这样，当 h = 0 时，k / h 就是 0 / 0 了，这是没有意义的。
费马推导的问题所在 费马一直没能证明他所做的这些，也没有把这项工作非常深入地进行下去，但他坚信最终可以得到一个合理的几何证明。尽管如此，事实上我们必须承认他是微积分学的创始人之一。
这里的问题是，当把非均匀变化的问题看成均匀变化时，能表示为两个量的商的形式，则此时处理非均匀变化问题，可以采用 ……？？？ 用什么方法？我们以后再慢慢讲。 它是微分学的问题。
17世纪的数学家们解决这个问题的方法是让 n 变成无穷大。然而，无穷大的含义本身就不清楚。它是一个数吗？如果是，怎么对它进行计算呢？如果它不是一个数，那它又是什么呢？
费马在推导求面积的公式时，发现当 n 为无穷大时，包含的 1/n 和 1/n2项可以忽略不计。卡瓦列里将上面讨论的面积看成无限多个他称之为不可分量（牛顿称之为终结不可分量）的总和。这个终结不可分量到底是什么？当时没有人能将它说清楚。牛顿后来甚至重申他已经放弃了终结不可分量，而卡瓦列里只是说，把一块面积分割为越来越小的小矩形时，最终就会得到终结不可分量，面积就是由这些终结不可分量组成的。 终结不可分量后来发展为无穷小量。
这里的问题是，当把非均匀变化的问题看成均匀变化时，能表示为两个量的积的形式，则此时处理非均匀变化问题，可以采用 ……？？？ 用什么方法？我们以后再慢慢讲。 它是积分学的问题。
牛顿与莱布尼茨 实际上在牛顿与莱布尼茨作出他们的冲刺之前，微积分的大量知识已经积累起来了。甚至在巴罗的一本书里就能看到求切线的方法、两个函数的积和商的微分定理、x的幂的微分、求曲线的长度、定积分中的变量代换、隐函数的微分定理等等。
牛顿与莱布尼茨 于是人们惊问，在主要的新结果方面，还有什么有待于发现呢？问题的回答是，方法的较大普遍性以及从特殊问题里已建立起来的东西中认识其普遍性。
牛顿与莱布尼茨 数学的真正划分不是分为几何和算术，而是分成普遍的和特殊的。这普遍的东西是由两个包罗万象的思想家，牛顿和莱布尼茨提供的。
1. 牛顿（Newton） 数学和科学中的巨大进展，几乎总是建立在几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上的。需要有一个人来走那最高和最后的一步，这个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人的有价值的想法，有足够想象力地把这些碎片重新组织起来，并且能足够大胆地制定一个宏伟的计划。在微积分中，这个人就是牛顿。
牛顿（1642~1727年），英国数学家、物理学家、天文学家、自然哲学家。生于英格兰林肯郡伍尔索普的一个小村庄里。他的母亲在那里管理着丈夫遗留下来的农庄，他父亲是在他出生前两个月去世的。
1661年他进入了剑桥大学的三一学院，安静而没有阻力地学习着自然哲学。1665年牛顿刚结束他的大学课程，学校就因为伦敦地区鼠疫流行而关闭。他离开剑桥，回到家乡，在那里开始了他在机械、数学和光学上的伟大工作，于1665-1666年间做出流数术、万有引力和光的分析三大发明，年仅23岁。
1667年牛顿回到剑桥，获得硕士学位，成为三一学院的研究员。1669年牛顿接替他的数学老师巴罗的职位，担任卢卡斯数学教授。他不是一个成功的教师，听他课的学生很少。
他提出的创造性的材料也没有受到同事们的注意，只有巴罗及天文学家哈雷认识到他的伟大，并给他以鼓励。牛顿涉猎的学科很多，知识面很广。他从事过光学、天体力学、数学、化学、流体静力学、流体动力学、物理学方面的研究工作，还自己动手制作实验装置，甚至自己制作了两台反射望远镜（制作出做架子用的合金、浇铸框架、做底座、磨光镜头等。）
