离散数学

离散数学 ——“代数结构（系统）”部分专题讲座北京科技大学信息工程学院杨炳儒教授

主要内容 1. 数学体系之构建 2. 代数结构（系统）的主要分支 3. 典型剖析代数结构（系统）的进展 —— 布尔代数及其泛化结构 4. KM 教学法简介

1. 数学体系之构建 试图统一全部数学的思潮,一直贯穿于近代与现代数学的发展中. 在二十世纪数学发展的过程中，法国布尔巴基学派把人类长期积累起来的数学知识，按数学结构整理成一个井井有条的、博大精深的体系。这个体系成为许多研究工作的出发点和指南，成为当代数学的一个重要组成部分，而且随着数学的发展，又给人类提出一个重要的任务：即在特殊的对象上发现新结构、形成新理论；而这种特殊对象的生长点又往往存在于数学乃至整个科学发展的矛盾点中。

粗略地讲，数学世界的核心可归结为几类特定的、主要的数学结构（如代数结构、序结构、拓扑结构及其混合结构等），而每一类型的结构又可分为许多分支，并且期间又表现出相互渗透、相互交织、相互作用的多层次的复杂联系，这些受着数学自身发展的逻辑必然性的制约。粗略地讲，数学世界的核心可归结为几类特定的、主要的数学结构（如代数结构、序结构、拓扑结构及其混合结构等），而每一类型的结构又可分为许多分支，并且期间又表现出相互渗透、相互交织、相互作用的多层次的复杂联系，这些受着数学自身发展的逻辑必然性的制约。例如，代数拓扑就是把具有拓扑空间中的某些点集（如单形、闭链等）作为元素，在其上面引入代数运算及代数结构，从而对拓扑空间加以研究。同样，序结构和代数结构的结合，一方面可以得到整除化理论及理想理论，另一方面又导致积分、谱理论及算子理论的产生和发展。

前苏联科学院通讯院院士亚历山大洛夫把整个数学比喻为“以集合论和数理逻辑为根基的巨大的榭树”。前苏联科学院通讯院院士亚历山大洛夫把整个数学比喻为“以集合论和数理逻辑为根基的巨大的榭树”。离散数学涵盖了“两块基石”；同时涵盖了上述的几类特定的、主要的数学结构。图1.1 离散数学知识结构图

2. 代数结构（系统）的主要分支 代数（Algebra）是数学的一个分支。是算术的概括和延伸。在现代数学中，代数主要研究各种代数结构，诸如群、环、域、格的数学学科。代数结构又称代数系统。一个代数结构包含集合及符合某些公理的运算或关系，是抽象代数的主要研究对象。抽象代数是数学的一个分支，也称近世代数，它用代数的方法从不同的研究对象中概括出一般的数学模型并研究其规律、性质和结构。

代数结构包括以下五个部分：算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数。代数结构包括以下五个部分：算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数。图2.1 代数结构主要分支示意图

1. 算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分。它研究数的性质及其运算。2.初等代数研究数字和文字的代数运算理论和方法，确切说是研究实数和复数，及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法。初等代数的中心内容是解方程。 3.高等代数研究的是由一次方程组发展而来的线性代数理论和由二次以上方程发展而来的多项式理论的基础。 4.数论研究由整数按一定形式构成的数系。19世纪后半期出现了解析数论，用分析方法研究素数的分布。20世纪出现了完备的数论理论。

5. 抽象代数又称近世代数，产生于19世纪。其创始人是法国数学家伽罗华。抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵、超数、变换等，这些物集分别依它们各有的演算定律而定，数学家将个别的演算经由抽象手法，把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，就产生了抽象代数。抽象代数包含有伽罗华理论、群论、环论、格论、向量代数、外代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成为当代大部分数学的通用语言。

(1)伽罗华理论：伽罗华是抽象代数的创始人。“伽罗华域”、“伽罗华群”和“伽罗华理论”都是抽象代数所研究的最重要的课题。伽罗华群理论被公认为19世纪最杰出的数学成就之一，为方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学。群论以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论发展成为一门崭新的数学分支，对抽象代数的形成和发展产生了巨大影响。伽罗华之后群论在众多著名数学家的努力下得到了进一步的丰富和发展。

(2)群论:一般群与特殊群的研究.(伽罗华群,费德洛夫群…)(2)群论:一般群与特殊群的研究.(伽罗华群,费德洛夫群…) (3)环论:环是一个具有两种二元运算的代数系统。在抽象代数产生的19世纪，数学家们开始研究满足所有合成律（即加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律等等）或者满足其中的一部分的集合。倘若一个集合具有加法、乘法和相应的运算性质，就称为环。环论是抽象代数中较晚成熟的，20世纪以来环论得到了快速和广泛的发展。韦德伯恩研究了线形结合代数，这种代数实际上就是环，而环和理想的系统理论由诺特给出。。 )

(4)域论：1910年施泰尼茨发表《域的代数理论》，提出了素域的概念，定义了特征数为P的域，证明了每个域可由其素域经添加而得。(4)域论：1910年施泰尼茨发表《域的代数理论》，提出了素域的概念，定义了特征数为P的域，证明了每个域可由其素域经添加而得。 (5)格论：1930年毕尔霍夫建立格论。格是一种特殊的偏序集。偏序集和格就是研究偏序的性质及作用而产生的概念和理论。格论在代数学、射影几何学、集合论、数理逻辑、泛函分析以及概率论等许多数学分支中都有应用。如在代数学中，对于一个群G与其子群格（G）之间关系的研究；在数理逻辑中，关于不可解度的研究等。

(6)向量代数：1843年 汉密尔顿通过建立四元数系，把微积分推广到向量分析，建立了向量代数。第一个涉及一个不可交换向量积（既V×W不等于W×V）的向量代数是格拉斯曼在1844年的《线性扩张论》一书中提出的。其观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为1的矩阵，或简单矩阵。目前习惯的列矩阵和向量都是在20世纪由物理学家给出的。

(7) 外代数：给定向量空间 V 的外代数，由格拉斯曼和凯利建立，是特定有单位的结合代数。结合代数是一种代数系统，指一向量空间其允许向量具有分配律和结合律的乘法。 (8) 几何代数：几何代数是格拉斯曼代数和克利福德代数的一个现代发展，于1879年创立。在几何代数中，可以将矢量、四元数、张量等统一到同一个代数框架内，免去了相互转化的麻烦。且几何代数中的量都有很直观的几何意义，容易理解。几何代数应用广泛，可用于描述相对论力学、弹性动力学、机器人学、计算机视觉和图形学等。

(9)同调代数：嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克于1955年建立了同调代数理论。它是以代数拓扑为背景，以模为主要研究对象的学科。同调代数在数论、群论、代数拓扑、代数几何中都有重要作用。(9)同调代数：嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克于1955年建立了同调代数理论。它是以代数拓扑为背景，以模为主要研究对象的学科。同调代数在数论、群论、代数拓扑、代数几何中都有重要作用。

(10)李代数：一类重要的非结合代数。非结合代数是环论的一个分支，与结合代数有着密切联系。李代数是挪威数学家李在19世纪后期研究连续变换群时引进的一个数学概念，它与李群的研究密切相关。 “李代数”这个术语是1934年由德国数学家外尔引进的。随着时间的推移，李代数在数学以及古典力学和量子力学中的地位不断上升。到20世纪80年代，李代数不再仅仅被理解为群论问题线性化的工具，它还是有限群理论及线性代数中许多重要问题的来源。李代数的理论不断得到完善和发展(如共轭分类等)，其理论与方法已渗透到数学和理论物理的许多领域。

3. 典型剖析代数结构（系统）的进展—— 布尔代数及其泛化结构 3.1 概述数学发展史证明：尽管数学中有些部分是从数学理论本身的内在原由生长起来的，但只有在它被发现认真反映现实时，才会系统地得到研究而发展起来。布尔代数理论及其发展中的泛化结构、布尔代数的应用及其不断扩展的技术领域，充分证明了这样的结论。数学生命力的源泉在于它的概念和结论尽管极为抽象，但却是从现实中来的，并且在其它科学、技术及生活实践中都有广泛的应用，这一点对了解数学乃至一般科学都是很重要的。

以下是布尔代数总体理论结构图和布尔代数泛化结构图：以下是布尔代数总体理论结构图和布尔代数泛化结构图：图3.1 布尔代数总体理论结构

图3.2 布尔代数泛化结构

3.2 对部分内容的典型剖析 3.2.1 模型论观点下的布尔代数通常所说的布尔代数是客观世界中数量关系和结构的抽象，是一种直观的数学结构，称为直观布尔代数。可在此基础上实现更高一级的抽象，即构成布尔代数的形式系统理论（形式化公理体系），称为形式布尔代数。在建立直观布尔代数时，首先分析其抽象形式——形式布尔代数的一阶理论，然后作为其标准模型，建立直观布尔代数。可以在直观数学结构的系统内部建立抽象布尔代数。而在这里，要在形式系统与直观数学结构相互联系的基础上建立布尔代数。

形式系统是语法概念。所谓形式系统就是一种语法元语言，即构造公理系统的元语言框架。形式系统是研究公理系统的手段，是进一步抽象化的结果。形式系统是语法概念。所谓形式系统就是一种语法元语言，即构造公理系统的元语言框架。形式系统是研究公理系统的手段，是进一步抽象化的结果。首先，按照形式系统的一般结构，构造出一阶理论T。T包括：一阶语言L(T)：符号、形成规则（关于项和合式公式）；逻辑公理与规则：逻辑公理（命题公理、替换公理等）、逻辑规则（扩张规则、收缩规则、结合规则等）；非逻辑公理：三个非逻辑公理系统（Γ1, Γ2 , Γ3），与之相应的理论记为 T[Γ1], T[Γ2], T[Γ3] 。

(i) 形式布尔代数 前面所提的三个理论T[Γ1], T[Γ2], T[Γ3]具有相同的形式语言、逻辑公理及规则，其差异在于非逻辑公理不同。可以证明这三组非逻辑公理是相互等价的，因而可将上述三个理论统一起来，这种统一了的理论即为形式布尔代数。形式布尔代数是具有前述一阶形式语言L(T)、逻辑公理与规则以及等价于下列非逻辑公理的一阶理论（形式系统）：

(ii) 直观布尔代数 理论 T（或语言z (T) ）的结构 Β是一个集合（客体域或对象域）及其上定义的一些关系的总体；而 z 的模型是指非逻辑公理在其中有效的结构。首先确定 L(T) 的结构Β： |Β|：个体为任意偏序集（类）中的元素，具有势 n, ж1, ж2……； |Β| = {0, 1, a, b, c……}，其中0称为零元，1称为单位元； 0<1。

接下来规定 L(T) 到结构Β的赋值为: ① Β ( x + y +…) = Β ( x · y ) = , Β ( ) = ; ② Β ( 0 ) = 0, Β ( 1 ) = 1; ③对于公式A中出现的等词 I，有 Β ( I (a, b) ) = T ↔ Β (a) = Β (b) (a, b为项)。

, 称为Β中的结合法（代数运算）并、交、补。在Β中闭合的结合法（代数运算）是指对Β中任意两个元素（或一个元素）的结合是唯一的且仍是Β中的元素；在Β中满足下列条件的闭合的结合法（代数运算）称为布尔运算：设 ,…∈Β且M是含的子集，则 = sup M(即 ,…之上确界)； = inf M (即 ,…之下确界)；由 = 1和 = 0确定的称为的补元。可以证明，满足上述规定的结构的Β是前述形式布尔代数理论 T 的模型。

设Β是一个至少包含0和1两个元素的集合，对其定义三种运算并、交、补，若具有下列性质：设Β是一个至少包含0和1两个元素的集合，对其定义三种运算并、交、补，若具有下列性质： ① ② ③ ④ 则称< Β, , 0, 1 >为一个布尔代数（布尔格）。可以证明：在对偏序关系≤做适当解释时，任意集合Β确属偏序集合，并且和分别为其上确界和下确界。这说明从全域为偏序集合的结构出发通过对并、交、补做上述规定。从而构造出的理论T的模型——直观布尔代数，是完全合理的，是有其深刻理论背景的。

3.2.2 知识发现中的布尔代数 数据库中的知识发现(KDD)是从数据集中识别出有效的、新颖的、潜在有用的，以及最终可理解的模式的非平凡过程。双库协同机制是针对 KDD 主流发展中存在的典型问题，提出用知识库去制约与驱动数据库，并通过数据库改善知识库结构的新的学术思想。为 KDD 的研究开拓了一条全新的研究方向与路径。在双库协同机制的研究过程中，演绎出 KDD 中三类布尔代数模型的构建及其关系的研究。

(i) 数值域布尔代数 对每一个数值域的正则划分可以构成一个拓扑空间。对 i = 1, 2 ,…,s，令 Ei = { Di1, Di2,…,Dit }，则 Ei 是由若干个数值子域构成的集合，称为属性 Xi 的属性子域族。Ei 的任意子集称为子域族。显然，属性子域族是子域族的特殊情形。子域族的每一个元素是一个数值子域。属性 Xi 的属性子域族 Ei 的所有子集形成它的幂集 γi。幂集 γi 包含空集 Φ、属性子域族 Ei 和所有其它由属性 Xi的若千个数值子域构成的域族。< Ei, γi >是一个拓扑空间，称为属性 Xi 的数值子域划分拓扑空间。将属性的数值子域划分拓扑空间简称为数值域拓扑空间。对任意 y ∈γi，y = { Dij | Dij ∈ Ei, j ∈J { 1, 2, …, ti }}，定义 y 的真集为：

显然，真集是数值域 Di 的子集。 由于拓扑空间的乘积仍然是拓扑空间，故<E1,γ1> ×<E2,γ2> ×…× <Es,γs>也是一个拓扑空间，记这个乘积拓扑空间为<E,γ> ，称为论域 X 的数值域划分拓扑空间，简称为论域 X 的数值域拓扑空间。定理：集族γ及其元素间的交运算∩和并运算U，以及元素的补运算~ 构成一个代数系统<γ, ∩, U, ~>，并且这个代数系统是一个布尔代数；这个布尔代数的零元是Φ，么元是基本元集 F。把上述这个由论域 X 的数值域拓扑空间的幂集γ按照其元素间的交、并运算以及元素的补运算形成的布尔代数称为论域 X 的数值域布尔代数。

(ii) 知识结点布尔代数 属性程度词：把某一属性和它的一个程度词放在一起表示该属性的某种状态的词语。假设论域 X 中的每一个属性的属性程度词有有限个，对 i = 1, 2,…,s，属性 Xi 含有 ti( ti≥2 )个程度词。把这 ti 个属性程度词按照程度的升序或降序排列，记为。把属性 Xi 的所有属性程度词构成的集合记为 Bi，而把论域 X 的所有属性程度词构成的集合记为B，显然，B = Bi。相应于论域 X 的知识结点，是指如下不含否定联结词的合式公式：。

其中 ∈B，i = 1, 2,…, m， ∈J ，i = 0, 1,…,m。这里J 是由符号∧，∨，( ，) 四个符号及其任意组合，及NOP(空)而形成的集合。但在其中取值要使合式公式有意义，只有和可以取空。当 m = 0 时，合式公式为空，记为Φ，表示空知识结点。与之相反，由论域 X 的所有属性程度词的析取构成的知识结点称为全知识结点，记为 Ω。论域 X 的所有知识结点构成的集合称为论域 X 的知识结点集，记为 N。在知识结点集 N上，可以定义知识结点的非以及知识结点间的合取与析取。对任意n, n1, n2∈N, 设n1 = F1, n2 = F2, n = ，定义知识结点n1和n2的析取与合取分别为n1∧n2 = F1∧ F2，n1∨n2 = F1 ∨ F2 ，知识结点 n 的非为 n = ( ) = 。

从知识结点的三个运算的定义可以得出，两个知识结点的合取和析取仍然是知识结点，一个知识结点的非仍然是知识结点。从而合取、析取和非运算在知识结点集中是封闭的。从知识结点的三个运算的定义可以得出，两个知识结点的合取和析取仍然是知识结点，一个知识结点的非仍然是知识结点。从而合取、析取和非运算在知识结点集中是封闭的。定理：< N, ∧, ∨， >是一个布尔代数，它的零元是空知识结点Φ，幺元是全知识结点 Ω。由论域的知识结点集按照元素间的合取运算、析取运算及元素的非运算形成的布尔代数称为知识结点布尔代数。

(iii) 数据子类结构布尔代数 首先给出数据子类结构的概念：对给定的论域X，建立如下的关系数据库模式ﴚ R ( No, X1, X2,…, Xs ) 其中，No 是主码，它取自自然数集，能唯一地识别一个元组；Xi 是论域X的属性，i=1, 2,…, s。在上式上建立的关系数据库称为论域 X 的数据库，记为 R(X)。数据库 R(X) 中的任意一个元组 u 是一个s + 1 维向量，记为 (num, x1, x2, . . .xs )的形式。把采样(xl, x2,…, xs ) 记为 a(u)。R(X) 的所有元组的全体记为 U，即 U = { uj | j ∈I }，I 是指标集。

对拓扑空间<F, γ>中的任意开集 y ∈γ，可以定义一个元组集{u | u ∈R(X), a(u) ∈φ(y)}，并记这个元组集为<y, R(y)>。称这样的元组集为论域 X 的数据子类结构，y 称为数据子类结构 <y, R(y)> 的数据部分， R(y) 称为数据子类结构 <y, R(y)> 的元组部分。论域 X 的所有数据子类结构形成数据子类结构集，记为 <y, R(y)>。在数据子类结构集中，可以定义两个数据子类结构的相等关系：<y1, R(y1)> = <y2, R(y2)> 当且仅当 y1 = y2 和 R(y1) = R(y2) 分别成立。据此，不同的数据子类结构可以具有相同的元组集。

下面可以建立数据子类结构集的元素运算关系。对数据子类结构<γ, R(γ) >中的任意三个元素<y1, R(y1) >， <y2, R(y2) >和<y3, R(y3)>，定义： ①<y1, R(y1)> ∩ <y2, R(y2) > = < y1 ∩ y2, R(y1) ∩ R(y2) > ② <y1, R(y1)> ∪ <y2, R(y2) > = < y1 ∪ y2, R(y1) ∪ R(y2) > ③ ~ <y, R(y)> = < ~ y, ~ R(y) > 可以看出，数据子类结构的“并”、“交”和“补”运算在数据子类结构集中是封闭的。定理：<<γ, R(γ) >, ∩, ∪, ~ >形成一个布尔代数，其中零元为< Ф, R(Ф) >，幺元为< Ω, R(Ω) >。把上述这个由数据子类结构集及其元素间的交、并运算以及元素的补运算形成的布尔代数称为数据子类结构布尔代数。

定理：论域 X 的数值域布尔代数、知识节点布尔代数和数据子类结构布尔代数两两同构。该定理说明了三个布尔代数之间的关系，如下图所示。数值域布尔代数知识节点布尔代数数据子类结构布尔代数同构同构

3.2.3 模糊 B-D型布尔代数 模糊 B-D 型布尔代数的数学模型： ①设输入域为。其中为语言变量，为的语言值。为被看做新层次的语言变量时相应的语言值，与此类似的多层次水平结构形成了。在这个结构中，第一个域随着逐步的层次的增长，被分段和精简；可适用于输出变量。

通过相同语言变量的语言值间的关系和不同语言变量的语言值间的关系，可以形成多层次垂直结构，并由此产生一个名为B-D的两个不同层次的演算系统。通过相同语言变量的语言值间的关系和不同语言变量的语言值间的关系，可以形成多层次垂直结构，并由此产生一个名为B-D的两个不同层次的演算系统。 ② 规定的 B 层演算符号如下：为语言变量 Xi 的语言值(模糊变量)，3个逻辑运算符为⊙、⊕、—﹡，2个元素符为0i，1i。规定的 D 层演算符号如下：为真假语言变量的语言值(模糊变量)，3个逻辑运算符为·、﹢、﹣，2个元素符为0i，1i。

③根据模糊布尔代数的公理结构和上述 B-D 演算规则可以证明下列三个结论： < Xi, ⊙,⊕, —﹡, 0i, 1i >构成了模糊布尔代数； < X, ·,﹢,﹣, 0, 1>构成模糊德摩根代数；整个< T, ·(⊙),﹢(⊕),﹣(—﹡) , 0(0i), 1(1i) >构成了一个软硬结合的 B-D 混合型代数系统。通过执行演算将讨论的层次紧密联系起来。为了给简化说明和分析实际情况提供必要的基础，可以单独的使用两个 B-D 层中的某些演算性质。

3.3 布尔代数研究的方法论提示 1.既要有对经典与发展中的布尔代数理论和应用的系统和完备的概括，又要有对其泛化结构和应用的最新研究成果的深层次揭示；从而使布尔代数能够更加深入地反映客观世界与主观世界原型系统中的规律与复杂性。 2.从数理逻辑与抽象代数相结合的“综合基”上构筑布尔代数的新框架与新体系，适应当今复杂对象推理、不确定性推理与大系统逻辑分析发展的需要。 3.提供有关超大规模集成电路、光路等逻辑设计与控制工程中相应的数学模型；同时诱导许多解决实际问题的思路与方法。

[例1]简单布尔函数的化简方法: 1.公式化简法;2.强公式化简法;3.出现函数化简法;4.卡诺图化简法;5.立方体化简法;6.真值表化简法与几何化简法的推演;7.比值表化简法;8.哈佛(Harvard)表化简法;9.单输出函数的计算机化简法. [例2]几种特殊类型的布尔代数: 1.原子布尔代数;2.简函布尔代数;3.自由布尔代数;4.元偶布尔代数;5.双运算布尔代数;6.元集布尔代数;7.矢量布尔代数;8.纽曼代数. ;

4. KM 教学法研究简介 当今，人类学习时间的有限性与知识积累的极大丰富性构成了尖锐的矛盾。为此，国内外的教育工作者均展开了教学法改革的研究。但目前看来教学方法的改革大多仅从教学方式、技术上加以改进，很少用较为超脱的理念系统地、有重点地组织教学内容，较少考虑到深层的知识再现与思维的逻辑铺展，即没有从根本上解决问题。 KM 教学法是经过多年的教学实践提出的，得到了中国高等教育学会“十一五”教育科学研究规划重点课题的支持，已在多门课程、多个高校中应用推广。

4.1 KM 教学法的提出 KM 是“知识逻辑结构”(Knowledge Logic Structure)与“思维导图”（Mind Mapping）的英文首字母的缩写。 “知识逻辑结构核心论”是我们经过多年的教学积淀提炼的教学观，是对知识的宏观提取。思维导图是由英国人托尼·巴赞创造的一种笔记方法，是随着思维的不断深入而逐步建立的一个有序的图，让各种观点自然地在图上表达出来，加强了记忆。思维导图顺应了大脑的自然思维模式。 KM 教学法就是宏观知识逻辑结构与微观思维导图演绎而构成的、宏观层面与微观层面相辅相成的知识学习系统。

4.2 KM 教学法的实施 在实施中，KM 教学法可以从宏观和微观两个层面来理解。从宏观层面论：知识逻辑结构的主要表达形式是知识逻辑结构图（简记为 KLSG）为核心，它给出了所论知识系统的总体架构，其中表征了各知识子系统间的内在联系，表征了各子系统内部的概念、命题（定理）、推演、证明、问题求解、类化（种属关系）等内在联系。

从微观层面论：思维导图主要融入到概念（概念图）、证明、问题求解等环节中，表征其具体、细致、动态、发展的逻辑构成与逻辑推演特征，揭示其形成概念证明与问题求解的思路，揭示其逐步精化的过程。从微观层面论：思维导图主要融入到概念（概念图）、证明、问题求解等环节中，表征其具体、细致、动态、发展的逻辑构成与逻辑推演特征，揭示其形成概念证明与问题求解的思路，揭示其逐步精化的过程。以 KLSG 为主体贯穿、融入思维导图方法的这种综合集成、多层递阶知识系统的构造，正是这种创新性 KM 教学法的精髓与内核。

4.3 “知识逻辑结构”方面的典型例证 以知识逻辑结构为核心的思想，可以通过剖析理论结构（内在层次）的方法来实现。教学内容经过抽点 — 连线 —成网 — 扩展 — 概型逻辑加工后，才能算得上是 “精学”。以下通过离散数学中的几个知识领域对知识逻辑结构加以具体阐述。

a) 数理逻辑的知识结构图 图4.1 数理逻辑知识结构图

b) 集合论的知识结构图 图4.2 集合论知识结构图

c) 代数结构（系统）的知识结构图 图4.3 代数结构（系统）知识结构图

d) 图论的知识结构图 图4.4 图论知识结构图

离 散 数 学

离 散 数 学

Presentation Transcript

离散数学

离散数学