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préhistoire. Le dernier théorème de Fermat. récréations mathématiques du 1er Octobre 2004. chronologie. -600 Thalès -500 Pythagore -300 Euclide +200 Diophante +400 Hépatie 1000 Al Khayyam 1200 Fibonacci 1500 Bâchet 1600 Fermat 1750 Euler 1800 Germain. mathêma : sciences.
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préhistoire Le dernier théorème de Fermat récréations mathématiques du 1er Octobre 2004
chronologie -600 Thalès -500 Pythagore -300 Euclide +200Diophante +400Hépatie 1000 Al Khayyam 1200 Fibonacci 1500 Bâchet 1600Fermat 1750 Euler 1800Germain mathêma : sciences
Souvenirs de collégien Dans un triangle rectangle, le carré de de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. la corde tendue sous l’angle droit !
Arithmétique Euclide explore les propriétés des nombres au travers de la divisibilité : unité, nombre premier, nombres premiers entre-eux… -300 : les éléments, livre vii arithmos : nombre
Lemme d’Euclide Soient x, y et z trois entiers. Si x divise yz et si x et y sont premiers entre eux alors x divise z
Unicité de la décomposition en facteurs premiers Tout nombre entier se décompose de manière unique en produit de nombres premiers. valuation dyadique
valuation dyadique Il s’agit de l’exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers d’un entier…
Remarques et Premières interrogations Classification des triangles pythagoriques,par classe de similitude. triangle pythagorique primitif
Arithmétiques de Diophante • Platon-400. Il existe une infinité de classes de triangles pythagoriques. • Euclide. caractérisation de toutes les solutions de x2 + y2 = z2. • Diophante. généralisations, nouvelles questions, nouvelles équations. équations diophantiennes.
Infinitude preuve (1) Pythagoricité et (2) primitivité
pythagoricité Algébrique triangle Pythagorique.
primitivité Arithmétique
congruences 01 2345678910 11121314 1516 Exemple : entiers modulo 5 2 + 3=52 + 8 =10 + = 2 x 3=67 x 8=56 x =
congruences 01 2345678910 11121314 1516 + = x =
compatibilité additive multiple du module
compatibilité multiplicative multiple du module
applications aux équations diophantiennes Résoudre dans l’ensemble des nombres entiers :
applications aux équations diophantiennes Résoudre dans l’ensemble des nombres entiers :
réciproque impair + impair = pair Un et donc un seul de ces trois entiers est pair
est obligatoirement impair ! On peux supposer pair.
un lemme fondamental Soient x, y et z trois entiers. Si y et z sont premiers entre eux
+ 800 Al-kwarizmi • Les mathématiques se réfugient au moyen orient. Traductions systématiques des œuvres grecques. Algébraisation des mathématiques
+950 Al-Khujandi La démonstration d’Al-Khujandi est incorrecte ! Al-Khasin
1200 Léonard de Pise introduit les textes arabes, grecs en Italie. Traduction Latines. L’école Italienne s’attaque aux équations polynomiales de degré 3, 4, 5 1540 Bâchet traduit les textes originaux Diophante renaissance de l’arithmétiques. Renaissance de l’arithmétique.
1640 Fermat Fermat utilise les triangles pythagoriques pour prouver l’absence de solution dans le cas de l’exposant n = 4 par un méthode merveilleuse, la descente infinie.
Premier cas de Fermat Résoudre le premier cas de Fermat pour un Exposant p premier c’est montrer l’implication : Théorème de Sophie Germain. Si p et 2p+1 sont des premiers impairs alors le premier cas de Fermat estvérifié pour l’exposant p.
Exercices Etudier les cubes modulo 9 pour démontrer le premier cas de Fermat de l’exposant 3. Etudier les puissances cinquième modulo 25 pour démontrer le premier cas de Fermat pour l’exposant 5.
