HOMOMORFISMO

1. HOMOMORFISMO DE GRUPÓIDES

2. G1 Operação Conjunto * f(x) f(y) X y Elementos x * y f(x * y) HOMOMORFISMO DE GRUPÓIDES DEFINIÇÃO Sejam (G1, *) e (G2, ) dois grupóides. (obrigatoriedade da operação) Chama-se homomorfismo de (G1, *) para (G2,  )  a toda a função f : G1 G2 tal que " x, y  G1, f(x * y) = f(x)  f(y). G2  f(x * y) = f(x)  f(y) EXEMPLO Sejam (N, +) e (2N, +) dois grupóides. (2N é o conjunto dos pares) (A função f : N  2N tal que para todo   x  N, f(x) = 2x, é um homomorfismo de grupóides. Tem-se: f(x + y) = 2.(x + y) = 2x + 2y = f(x) + f(y).

3. f(a)  f(b) = x  y f(G1) x G1, * y a b a * b G2,  TEOREMA 1 Sejam (G1, *) e (G2, ) dois grupóides. Se f : G1 G2  é um homomorfismo entre os dois grupóides então f(G1) é fechado para a operação . Demonstração. Sejam x, y f(G1). Por definição de f, existem a, b  G1 tais que x = f(a) e y = f(b). Devemos provar que x  y pertencem a g(G1). Como (G1, *) é um grupóide pode-se concluir que a * b  G1. Portanto, existe em f(G1) o elemento f(a*b). (Por definição da função f, todo elemento de G1 tem imagem) Mas x  y = f(a)  f(b) = f(a * b) pois, há um homomorfismo entre os dois grupóides. Portanto, f(a)  f(b) é um elemento de f(G1), o que prova o fechamento da operação  em f(G1).

4. Sejam (G1, *) e (G2, ) dois grupóides. Se f : G1 G2  é um homomorfismo entre os dois grupóides então (a) Por hipótese x * (y * z) = (x * y) * z  f[x * (y * z)] = f[(x * y) * z] (1) (associatividade em G1). TEOREMA 2 (a) Se * é associativa em G1 então  é associativa em f(G1); (b) Se * é comutativa em G1, então  é comutativa em f(G1); (c) Se n é elemento neutro de (G1, *) então f(n) é elemento neutro de (f(G1), ); (d) Se em (G1, *), x’ é o inverso de x, então f(x’) é o inverso de f(x) em (f(G1), ). DEMONSTRAÇÃO Sejam x, y, z elementos de G1 e f(x), f(y), f(z) elementos de G2. Mas, f[x * (y * z)] = f(x)  f(y * z) = f(x)  [f(y)  f(z)] (definição de homomorfismo) e, f[(x * y) * z] = f(x * z)  f(z) = [f(x)  f(y)]  f(z) De acordo com a igualdade (1) se conclui f(x)  [f(y)  f(z)] = [f(x)  f(y)]  f(z) O que comprova a associatividade de .

5. (b) Por hipótese a * b = b * a (comutatividade da operação *). Deste modo: f(a * b) = f(b * a)  f(a)  f(b) = f(b)  f(a) (definição de homomofismo)   é comutativa. • Por hipótese,  n  G1, tal que,  a  G1, a * n = n * a = a •  f(a * n) = f(a) (1) . Assim, f(a * n) = f(a)  f(n) (definição de homomorfismo) = = f(a) [de acordo com a igualdade (1)] Ora, f(a)  f(n) = f(a) implica que f(n) é o neutro de . Da mesma forma se comprova que f(n)  f(a) = f(a). (d) Por hipótese,  x  G1,  x’  G1, tal que, x * x’ = x’ * x = n.  f(x * x’) = f(x’ * x) = f(n) (1) Tem-se então: f(x * x’) = f(x)  f(x’) = (definição de homomorfismo) = = f(n) de acordo com a igualdade (1). Portanto, f(x’) é o inverso de f(x).

6. DEFINIÇÕES Sejam (G1, *) e (G2,  ) dois grupóides e f : G1 G2 um homomorfismo entre os dois grupóides. Diz-se que f é: 1. um monomorfismo se f é injetiva; 2. um epimorfismo se f é sobrejetiva; 3. um isomorfismo se f é bijetiva; 4. um endomorfismo se G1 = G2; 5. um automorfismo se f endomorfismo e isomorfismo. Quando existe um isomorfismo entre os dois grupóides, escreve-se G1 ~ G2 e diz-se que os grupóides são isomorfos. EXERCÍCIO Mostre que f:(N, +)  (N, X) é um homomorfismo ,sendo f(x) = ax, onde a é um elemento qualquer de N.