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连续复利与 “ e”

连续复利与 “ e”. 某顾客向银行存入本金 元， 年后他在银行的存款是本金及利息之和。设银行规定年复利率为 ，试根据下述不同的结算方式计算顾客 (1) 每年结算一次； （2） 每月结算一次，每月的复利率为 ； （3）每年结算 次，每个结算周期的复利率为 。证明最终存款额随 的增加而增加； （4）当趋于无穷时，结算周期变为无穷小，这意味着银行连续不断地向顾客付利息，这种存款方法成为 连续复利 。试计算连续复利情况下顾客的最终存款额。. 年后的最终存款额。. 解：.

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连续复利与 “ e”

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  1. 连续复利与“e”

  2. 某顾客向银行存入本金 元， 年后他在银行的存款是本金及利息之和。设银行规定年复利率为 ，试根据下述不同的结算方式计算顾客 (1) 每年结算一次； （2）每月结算一次，每月的复利率为 ； （3）每年结算 次，每个结算周期的复利率为 。证明最终存款额随 的增加而增加； （4）当趋于无穷时，结算周期变为无穷小，这意味着银行连续不断地向顾客付利息，这种存款方法成为连续复利。试计算连续复利情况下顾客的最终存款额。 年后的最终存款额。

  3. 解： (1) 每年结算一次时，第一年后顾客存款额为： 第二年后的存款额为： 根据这种递推关系可知，第 年后顾客的存 款额变为 （2）每月结算一次时，复利率为 共结算 次，故 年后顾客的存款额为：

  4. 次 共结算 复利率为 （3）每年结算 次时， 将 年后顾客的存款额记为 则 令 应用二项式展开可得

  5. 比较 的每一项，由于 的每一项都大于 中的相应项，并且 比 还多出最后一项，显然最后一项大于零。 所以， 注意到 可知 即结算次数越多，顾客的最终存款额也就越多。

  6. （4）在连续复利情况下，顾客的最终存款额为：（4）在连续复利情况下，顾客的最终存款额为： 将此式改写成 与（1）中式子比较 可知，连续复利相当于以年复利率 进行按年记息计算。当 较小时， 学习了微分学以后，可以证明

  7. 老张在银行存入1000元，复利率为每年10%。分别按年结算和连续复利结算两种方式计算10年后老张在银行的存款额。(按年结算老张在银行存入1000元，复利率为每年10%。分别按年结算和连续复利结算两种方式计算10年后老张在银行的存款额。(按年结算 元， 元）。 连续结算 按照连续复利结算方式，t年后存款额为 其中 满足微分方程 试说明r的意义，并对 此微分方程作实际解释。

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