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吉林大学远程教育课件. 离散数学. ( 第三十二讲 ). 主讲人 : 杨凤杰. 学 时： 64. 定理 6.5.2 设 σ 是 G 到 Gˊ 上的一 个同态映射，于是， σ 的核 N 是 G 的 一个正规子群 , 对于 Gˊ 的任意元素 aˊ ， σ -1 (aˊ)={x|x∈G ,σ(x)= aˊ} 是 N 在 G 中的一个陪集，因此， Gˊ 的元素和 N 在 G 中的陪集一一对应。 证明：先证 N 是 G 的子群。 1 ）证 N 非空。因为 σ （ 1 ） =1ˊ ，所以 1∈N （注意： N 是核）。
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吉林大学远程教育课件 离散数学 (第三十二讲) 主讲人: 杨凤杰 学 时：64
定理6.5.2 设σ是G到Gˊ上的一 个同态映射，于是，σ的核N是G的 一个正规子群,对于Gˊ的任意元素aˊ， σ-1(aˊ)={x|x∈G ,σ(x)= aˊ} 是N在G中的一个陪集，因此，Gˊ 的元素和N在G中的陪集一一对应。 证明：先证N是G的子群。 1）证N非空。因为σ（1）=1ˊ，所以1∈N（注意：N是核）。 2）若a∈N，b∈N，要证ab-1∈N。事实上，由σ（a）=1′，σ（b）=1′，可得 σ（ab-1）=σ（a）σ（b-1） =σ（a）（σ（b））-1=1′（1′）-1=1′， 故ab-1∈N。
再证N是正规子群，即证对于 任意的g∈G，gNg-1N。事实上， σ(gNg-1)=σ(g)σ(N)σ(g-1) =σ(g)1′σ(g)-1 =σ(g)σ(g)-1=1′。 故gNg-1N 。 最后证明：若a′∈G′而 σ(a)=a′则σ-1（a′）是N 在G中的一个陪集，即为Na。事实上，对任意的b∈G， b∈σ-1(a′)必要而且只要σ(b)=a′,必要而且只要σ(b)(a′)-1=1′,必要而且只要σ(b)(σ(a))-1=σ(ba-1)∈1′,必要而且只要ba-1∈N，必要而且只要b∈Na。
以上所述说明了:若σ是G到G′ 上的同态映射,则其核N为一正 规子群。反过来，我们要问： 设N是G的一个正规子群,是否 有一个群G′以及一个G到G′ 上的同态映射σ,使N为σ的核？ 回答是肯定的,下面造出如此之G′和σ。 引理1 设N是G的正规子群。若A，B是N的陪集，则AB也是N的陪集。 证明：因为N是正规子群，故Nb=bN，今设A=aN，B=bN，AB=aNbN=abNN=abN，所以AB是一个陪集。
定理6.5.3 按照陪集的乘法，N 的所有陪集作成一个群 。命 σ：a→aN， 则σ是G到 上的一个同态映射， 其核为N。 证明： 由引理1， 中乘法封闭， 映射σ使σ(a)σ(b)=aNbN=abN =σ(ab)，故σ是G到 上的一个同 态映射，按定理6.5.1， 是一个群， 的壹显然就是N本身（作为 中的一个元素），所以σ的核应含G中在σ之下变成 中壹N的那些元素：核σ={g∈G∣σ（g）=N∈ } ={g∈G∣gN=N}={g∈G∣g∈N}=N（作为G的一个子集，一个正规子群）。 叫做G对于N的商群，记为G∕N。 若G是有限群，则商群中元素个数等于N在G中的指数，即等于陪集的个数。
例6.5.8 设G是整数加法群， N=5G={…,-10,-5,0,5,10,…}， 则N是Z的正规子群。Z中N的所 有陪集为： ，其中： ={…,-10,-5,0,5,10,…}=N=0+N， ={…,-9,-4,1,6,11,…}=1+N， ={…,-6,-1,4,9,14,…}=4+N。 用表示陪集间的加法，则 =(1+N) (4+N)=（1+4）+N=N= 。若令 ={ }，则G～ ， 在陪集加法下是一个群。
定理6.5.4 设σ是G到G′上 的一个同态映射,若σ的核为N， 则G′ 。 证明：首先，由定理6.5.2， 我们知道G′的元素和G∕N的 元素一一对应,设在这个一一对应之下, G′的元素a′和b′分别对应G∕N的元素aN 和bN： a′ aN，b ′ bN。 于是a′=σ(a)，b′=σ(b)，而且a′b′=σ(ab),可见G′的元素a′b′所对应的G∕N的元素是abN=aNbN： a′b′ aNbN。 所以G′和G∕N同构。
例6.5.9 设G是整数加法群， σ：xx（mod 5）,xG ， 则 G′=σ（G）={0,1,2,3,4} 是模5的加法群，σ是G 到G′ 上的同态映射。σ的核为N=5G， G∕N = ={ }， 则G′ G∕N。
定理6.5.3和定理6.5.4说明， G的任意缩影和G的一个商群 同构，而且G的任一商群也就 是一个缩影。因此,抽象地看来， 商群就是缩影,缩影就是商群， 说是商群，我们指的是以陪集 为元素作成的群，说是缩影， 我们可以设想把陪集aN中的所有元素加以“等置”而得一个元素a′，缩影就是这些元素a′作成的群，实际上这两种说法有什么区别呢？两个元素（a和b在G对于N的）在同一陪集中，我们说两个元素（模N）合同（a≡b（modN）），“合同”也就是“等置”的意思。
以下再来讨论当σ为群G到G′ 上的同态映射时，G中子群与 G′中子群的关系。 若H为G之子群,则H′=σ（H） 亦为G′之子群。 反之，若H′为G′之子群， 则H=σ-1（H′）亦必G之子群。事实上，显然σ-1（H′）非空；又若a，b∈σ-1（H′），即σ（a），σ（b）∈H′，因H′为子群，故σ（a）σ（b）-1 =σ(ab-1)∈H′,因之ab-1∈σ-1(H′)。
