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吉林大学远程教育课件. 离散数学. ( 第三十二讲 ). 主讲人 : 杨凤杰. 学 时: 64. 定理 6.5.2 设 σ 是 G 到 Gˊ 上的一 个同态映射,于是, σ 的核 N 是 G 的 一个正规子群 , 对于 Gˊ 的任意元素 aˊ , σ -1 (aˊ)={x|x∈G ,σ(x)= aˊ} 是 N 在 G 中的一个陪集,因此, Gˊ 的元素和 N 在 G 中的陪集一一对应。 证明:先证 N 是 G 的子群。 1 )证 N 非空。因为 σ ( 1 ) =1ˊ ,所以 1∈N (注意: N 是核)。

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Presentation Transcript
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吉林大学远程教育课件

离散数学

(第三十二讲)

主讲人: 杨凤杰

学 时:64

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定理6.5.2 设σ是G到Gˊ上的一

个同态映射,于是,σ的核N是G的

一个正规子群,对于Gˊ的任意元素aˊ,

σ-1(aˊ)={x|x∈G ,σ(x)= aˊ}

是N在G中的一个陪集,因此,Gˊ

的元素和N在G中的陪集一一对应。

证明:先证N是G的子群。

1)证N非空。因为σ(1)=1ˊ,所以1∈N(注意:N是核)。

2)若a∈N,b∈N,要证ab-1∈N。事实上,由σ(a)=1′,σ(b)=1′,可得

σ(ab-1)=σ(a)σ(b-1)

=σ(a)(σ(b))-1=1′(1′)-1=1′,

故ab-1∈N。

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再证N是正规子群,即证对于

任意的g∈G,gNg-1N。事实上,

σ(gNg-1)=σ(g)σ(N)σ(g-1)

=σ(g)1′σ(g)-1

=σ(g)σ(g)-1=1′。

故gNg-1N 。

最后证明:若a′∈G′而

σ(a)=a′则σ-1(a′)是N

在G中的一个陪集,即为Na。事实上,对任意的b∈G,

b∈σ-1(a′)必要而且只要σ(b)=a′,必要而且只要σ(b)(a′)-1=1′,必要而且只要σ(b)(σ(a))-1=σ(ba-1)∈1′,必要而且只要ba-1∈N,必要而且只要b∈Na。

slide4
以上所述说明了:若σ是G到G′

上的同态映射,则其核N为一正

规子群。反过来,我们要问:

设N是G的一个正规子群,是否

有一个群G′以及一个G到G′

上的同态映射σ,使N为σ的核?

回答是肯定的,下面造出如此之G′和σ。

引理1 设N是G的正规子群。若A,B是N的陪集,则AB也是N的陪集。

证明:因为N是正规子群,故Nb=bN,今设A=aN,B=bN,AB=aNbN=abNN=abN,所以AB是一个陪集。

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定理6.5.3 按照陪集的乘法,N

的所有陪集作成一个群 。命

σ:a→aN,

则σ是G到 上的一个同态映射,

其核为N。

证明: 由引理1, 中乘法封闭,

映射σ使σ(a)σ(b)=aNbN=abN

=σ(ab),故σ是G到 上的一个同

态映射,按定理6.5.1, 是一个群, 的壹显然就是N本身(作为 中的一个元素),所以σ的核应含G中在σ之下变成 中壹N的那些元素:核σ={g∈G∣σ(g)=N∈ }

={g∈G∣gN=N}={g∈G∣g∈N}=N(作为G的一个子集,一个正规子群)。

叫做G对于N的商群,记为G∕N。

若G是有限群,则商群中元素个数等于N在G中的指数,即等于陪集的个数。

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例6.5.8 设G是整数加法群,

N=5G={…,-10,-5,0,5,10,…},

则N是Z的正规子群。Z中N的所

有陪集为: ,其中:

={…,-10,-5,0,5,10,…}=N=0+N,

={…,-9,-4,1,6,11,…}=1+N,

={…,-6,-1,4,9,14,…}=4+N。

用表示陪集间的加法,则  =(1+N) (4+N)=(1+4)+N=N= 。若令 ={ },则G~ , 在陪集加法下是一个群。

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定理6.5.4 设σ是G到G′上

的一个同态映射,若σ的核为N,

则G′ 。

证明:首先,由定理6.5.2,

我们知道G′的元素和G∕N的

元素一一对应,设在这个一一对应之下,

G′的元素a′和b′分别对应G∕N的元素aN 和bN:

a′ aN,b ′ bN。

于是a′=σ(a),b′=σ(b),而且a′b′=σ(ab),可见G′的元素a′b′所对应的G∕N的元素是abN=aNbN:

a′b′  aNbN。

所以G′和G∕N同构。

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例6.5.9 设G是整数加法群,

σ:xx(mod 5),xG ,

G′=σ(G)={0,1,2,3,4}

是模5的加法群,σ是G 到G′

上的同态映射。σ的核为N=5G,

G∕N = ={ },

则G′ G∕N。

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定理6.5.3和定理6.5.4说明,

G的任意缩影和G的一个商群

同构,而且G的任一商群也就

是一个缩影。因此,抽象地看来,

商群就是缩影,缩影就是商群,

说是商群,我们指的是以陪集

为元素作成的群,说是缩影,

我们可以设想把陪集aN中的所有元素加以“等置”而得一个元素a′,缩影就是这些元素a′作成的群,实际上这两种说法有什么区别呢?两个元素(a和b在G对于N的)在同一陪集中,我们说两个元素(模N)合同(a≡b(modN)),“合同”也就是“等置”的意思。

slide10
以下再来讨论当σ为群G到G′

上的同态映射时,G中子群与

G′中子群的关系。

若H为G之子群,则H′=σ(H)

亦为G′之子群。

反之,若H′为G′之子群,

则H=σ-1(H′)亦必G之子群。事实上,显然σ-1(H′)非空;又若a,b∈σ-1(H′),即σ(a),σ(b)∈H′,因H′为子群,故σ(a)σ(b)-1

=σ(ab-1)∈H′,因之ab-1∈σ-1(H′)。