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算术方法与方程(组)法的比较

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算术方法与方程(组)法的比较

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  1. 算术方法与方程(组)法的比较 ——小学、初中衔接学法指导研究之一 西昌一中俊波外国语学校 范仕军

  2. 问题的提出 • 解应用题,小学主要用算术方法 ,中学则主要以方程和方程组为工具。教学中经常遇到有同学习惯列算式而不习惯列方程,或者习惯了方程就不会用算术方法解题的现象,甚至有人有意无意地把算术方法和方程对立起来。它们真的是对立的吗? • 站在系统的高度,研究算术方法与方程方法的特点,理清二者的关系,可以加深对它们的理解,更好的发挥其作用,从而提高解应用题的能力。

  3. 算术方法与方程(组)法的比较 • 一元一次方程与综合算式的比较 • 二元一次方程组与算术方法的消元比较 • 代入法消元比较 • 加减法消元比较

  4. 一、综合算式与一元一次方程 例1、队伍出发2小时后,发现一份文件遗忘在营地,通信员返回拿到后再追队伍,如果队伍每小时行进7千米,通信员每小时比队伍多行5千米,那么,通信员离开队伍后经过多长时间又追上队伍? • 列方程:设通信员离开队伍后经过x小时追上队伍,则 ,解得 • 综合算式:

  5. 一、综合算式与一元一次方程 方程: 算式: 1、综合算式把思考量集中在等号的一边,方程一般把思考量分担在等号的左右两边。 这是综合算式相对难度较大的原因,也是小学老师规定,“列方程时未知数不能单独放在等号一边”的原因。 2、方程的本质是对未知数的“约束条件”,综合算式可看作特殊的方程。

  6. 例1、队伍出发2小时后,发现一份文件遗忘在营地,通信员返回拿到后再追队伍,如果队伍每小时行进7千米,通信员每小时比队伍多行5千米,那么,通信员离开队伍后经过多长时间又追上队伍?例1、队伍出发2小时后,发现一份文件遗忘在营地,通信员返回拿到后再追队伍,如果队伍每小时行进7千米,通信员每小时比队伍多行5千米,那么,通信员离开队伍后经过多长时间又追上队伍? 把它看作一个“拉直”后的追及问题 根据“距离差÷速度差=追上时间”可得算式: 根据“距离差=速度差×追上时间”可得方程: 解题的关键在于深入思考,弄清情景,而不在于用方程还是算术方法

  7. 二、二元一次方程组与算术方法的消元 • 1、代入(换)法消元 • 例1、大粮仓比小粮仓多装216吨米,大粮仓装米吨数是小粮仓的4倍,二者各装米多少吨? • 算术方法:以小粮仓为标准,“大粮仓装米吨数是小粮仓的4倍”说明大粮仓比小粮仓多装3倍,3倍为216吨,故小粮仓装 吨,可解。 • 方程组法:设大小粮仓分别装米x吨和y吨,则 , 把第二个方程代入第一个方程消去x, 即得 ,可解。 • 本质上,二者都通过“等量代换”减少了未知量个数。 “消元”是解多变量问题的必由之路。

  8. 算术解法:以甲为标准, 把乙和丙所挖的土方都换为甲的: 乙比甲所挖的2倍还多2方, 则丙所挖为甲的6倍多4方; 如果从总量中把多的2方和4方减去, 则乙为甲的2倍,丙为甲的6倍, 相当于甲的(1+2+6)倍为 方,故甲挖 (1+2+6)=221方, 可解。 方程解法:设甲、乙、丙所挖土方量分别为x、y、z, 则 , 把第二、三两个方程代入第一个方程消去y和z,即得 即 同综合算式一样。 例2、甲、乙、丙三台挖土机共完成1995方挖土任务,已知乙比甲所挖的2倍还多2方,丙所挖比乙的3倍少2方。问甲、乙、丙各挖土多少方? • 算术方法难在消元时需要一点“化零为整” 的技巧——从总量中减去零头,这在方程解法中不过就是最基本、最简单的“移项”而已; • “列方程组”和“解方程组”是完全可以分开的,消元时不涉及x、y、z的具体含义;算术方法“列综合算式”则往往必须包含“解”的过程。

  9. 假设兔都身子直立, 举起两只前脚,这时应 有脚 只,比实际 少了 只, 原因在于每只兔子都少算了 2只前脚,故实际 有兔子 只, 有鸡 只。 设有鸡x只, 有兔y只,则 第一个方程两边 同乘以2,得 再对应去减第二个方程的 两边,得 , 代入第一个方程得 。 2、加减法消元 例3、鸡兔同笼,头数72,数脚224,问鸡兔各几只? • “假设比较法”正是“加减消元法”的算术解释,或者说方程的加减运算很抽象,但算术解法可以赋予它具体意义。

  10. 2、加减法消元 设有鸡x只,兔y只,则 例3、鸡兔同笼,头数72,数脚224,问鸡兔各几只? 算术法一:假设兔子高举前脚,后腿直立…… 消元法一:②-①×2,得 算术法二:假设鸡的双翅算作两只脚…… 消元法二:①×4-②,得 算术法三:假设鸡都抬起一脚,“金鸡独立”,兔都举起前脚,后腿直立…… 消元法三:②÷2-①,得 • 算术方法与方程解法之间一定具有对应关系吗?

  11. 例4、鸡兔同笼,鸡比兔多15只,兔脚比鸡脚少22只,问鸡兔各几只?例4、鸡兔同笼,鸡比兔多15只,兔脚比鸡脚少22只,问鸡兔各几只? 方程组法: 设有鸡x只, 有兔y只,则 算术法一:假设不算15只鸡,使鸡兔刚好配对,则兔脚反比鸡脚多8只…… 消元法一:②-①×2,得 算术法二:假设增加15只兔,使鸡兔刚好配对,则兔脚比鸡脚多38只…… 消元法二:①×4-②,得 消元法三:②÷2-①,得 算术法三:…… 消元法四:……

  12. 能用算术方法解的题目,一定也可用方程办法解决;能用算术方法解的题目,一定也可用方程办法解决; • 反之则不然,因为虽然二者思维的本质是一致的,但方程组一旦列出来,其解法就脱离了具体问题,变为纯粹的代数运算;算术方法则因具体题目不同而需要不同的技巧。 • 方程办法是从具体问题中抽象出数量关系,解的时候就不再依赖具体问题,因而具有一般性和通用性,是较高级的思维方式,学会了就发现它比较简单;算术方法则依赖具体问题和特定情景,往往“就事论事”,找不到一把“万能钥匙”,属于比较低级的思维方式,因而显得难。

  13. 算术方法:把一头牛一周所吃的草看作1个单位,那么算术方法:把一头牛一周所吃的草看作1个单位,那么 27头牛6星期吃草162单位, 23头牛9星期吃草207单位, 二者比较,后者多3周时间, 多吃草 单位, 说明该牧场每周新长出的草 为 个单位,故牧场 原有草 单位。 方程组法:设 牧场原有草x单位, 每周新长草y单位, 用第二方程减第一方程 即得 ,可解。 第二步设可供21头牛吃z周, 则 , 即 , 。 例5、某一牧场的草,27头牛6星期刚好吃完,或23头牛9星期刚好吃完,如果是21头牛,几周可以吃完(假设每头牛每周所吃草量和牧场每天生长出的草都是固定的)? 若是21头牛,因为牧场每周新长出的草可供15头牛吃,原有的72单位供其他6头牛吃,刚好可吃个12个月。 深入情境,理解题目中的数量关系,才是解决问题的关键;方法的选择尚在其次。

  14. 总结:算术方法与方程的比较 一、算术方法相对较难,原因有二: 1、思考量集中,列式的过程往往包括解、消元的步骤; 2、对具体问题、特殊技巧的依赖性大,通用性差。 方程法相对简单,原因在于: 1、列式时思考量分担在等号两边,各部分的难度相对较小; 2、“列方程”与“解方程”可独立进行,解方程(组)的程序已经一般化。 二、算术方法巧妙多变,生动具体,符合小学生思维特点; 方程思想简洁统一,抽象性强,适合中学生。 三、算术方法与方程解法往往具有一定的对应关系。 四、算术方法可以看作方程的特殊情况,但其思维相对“低级”,一般只能解决“低次少元”的问题,对于二次以上的问题往往无能为力;方程是数学中的重要思想,是“代数”部分的重要内容,它与不等式、函数有紧密联系,方程理论是数学中的成熟理论,从低次到高次,从一元到多元,从普通方程到不定方程、微积分方程,都已经有完善的研究成果,它的用途非常广泛。