مثالهای از شبیه سازی

1. مثالهای از شبیه سازی تهيه و تنظيم: رعايت پناه

2. 1 ‌ براي‌ تشريح‌ مفهوم‌شبيه‌ سازي‌ به‌ مثال‌ ساده‌اي‌ توجه‌ كنيم‌ • سيستم‌ باجه‌ پرداخت‌ پول‌ يك‌ بانك‌ را در نظر بگيرد . فرض‌ كنيد كه‌يك‌ نفر در قسمت‌ پرداخت‌ پول‌ كار مي‌كند . • فرض‌ كنيد كه‌ زمان‌ بين‌ ورود مشتريان‌ روي‌ 1 تا 10دقيقه‌ بطور يكنواخت‌ توزيع‌ شده‌ باشد (براي‌ سادگي‌ ، اندازة‌ تمام‌ زمانها را به‌ نزديكترين‌ عدد صحيح‌ گردمي‌كنيم‌). • همچنين‌ فرض‌ كنيد كه‌ زمان‌ لازم‌ براي‌ خدمت‌ به‌ هر مشتري‌ روي‌ 1 تا 6 دقيقه‌ به‌ طور يكنواخت‌توزيع‌ شده‌ است‌ . تهيه و تنظيم: رعايت پناه

3. مي‌خواهيم‌ متوسط‌ مدت‌ زماني‌ را كه‌ مشتري‌ در سيستم‌ صرف‌ مي‌كند، اعم‌ از زمان‌ انتظارمشتري‌ و زمان‌ خدمت‌ و درصد مدت‌ زماني‌ را كه‌ صندوقدار مشغول‌ به‌ كار نيست‌ محاسبه‌ كنيم‌ . • سوال:در اين سيستم پيش آمد و متغيرهاي وضعيت کدامند؟ • براي‌ شبيه‌سازي‌ كردن‌ اين‌ سيستم‌ نياز داريم‌ آزمايشي‌ ساختگي‌ كه‌ معرف‌ وضعيت‌ بالا باشد ، بوجود آوريم‌ . بدين‌منظور بايد روشي‌ براي‌ توليد مراجعة‌ ساختگي‌ گروهي‌ از مشتريان‌ و زمان‌ لازم‌ براي‌ خدمت‌ به‌ هر يك‌ از آنهارا ايجاد كنيم‌ . در يكي‌ از روشهايي‌ كه‌ مي‌تواند مورد استفاده‌ قرار گيرد كار را با 10 مهره‌ و يك‌ تاس‌ آغازمي‌كنيم‌ . سپس‌ مهره‌ ها را از يك‌ تا ده‌ شماره‌ گذاري‌ كرده‌ ، آنها را داخل‌ ظرفي‌ مي‌گذاريم‌ و با تكان‌ دادن‌ ظرف‌آنها را قاطي‌ مي‌كنيم‌ . با استخراج‌ يك‌ مهره‌ از داخل‌ ظرف‌ و خواندن‌ عدد روي‌ آن‌ مي‌توان‌ زمان‌ بين‌ ورودي‌مشتري‌ فعلي‌ و قبلي‌ را مشخص‌ كرد. زمان‌ خدمت‌ به‌ اين‌ مشتري‌ را نيز مي‌توان‌ با پرتاب‌ تاس‌ و خواندن‌ تعدادنقطه‌هاي‌ روي‌ وجه‌ فوقاني‌ آن‌ به‌ دست‌ آورد . با تكرار اين‌ عمليات‌ (با جايگذاري‌ مهره‌ ها در داخل‌ ظرف‌ وتكان‌ دادن‌ آن‌ بعد از هر بار استخراج‌) ما ورود و زمانهاي‌ خدمت‌ يك‌ گروه‌ از مشتريان‌ فرضي‌ را توليد كرده‌ايم‌ .جدول‌ زير نشان‌ مي‌دهد كه‌ نمونه‌اي‌ با 15 مشتري‌ چه‌ شكلي‌ خواهد داشت‌ . تهيه و تنظيم: رعايت پناه

4. 1 ــ 1 0 01 1 0 • 2 3 4 337 4 2 • 3 7 4 101014 4 3 • 4 3 2 131416 3 0 • 5 9 1 222223 1 6 • 6 10 5 323237 5 9 • 7 6 4 383842 4 1 • 8 8 6 464652 6 4 • 9 8 1 545455 1 2 • 10 8 3 626265 3 7 تهيه و تنظيم: رعايت پناه

5. تهيه و تنظيم: رعايت پناه

6. برخي از نتايج شبيه سازي: = متوسط مدت انتظارهر مشتري در صف 5/15 = مجموع مدت انتظارمشتريان در صف مجموع تعداد مشتريان = احتمال انتظارهرمشتري در صف 3/15 = تعداد مشتريان که درانتظارمي مانند مجموع تعداد مشتريان = احتمال بيکاري خدمت دهنده 40/91 = مجموع مدت بيکاري خدمت دهنده کل زمان شبيه سازي = متوسط مدت خدمتدهي هر مشتري 51/15= مجموع مدت خدمت دهی مجموع تعداد مشتريان تهيه و تنظيم: رعايت پناه

7. برخي از نتايج شبيه سازي: • = متوسط مدتبين دو ورود مجموع تمام مدتهاي بين دو ورود 88/14 =تعداد ورودها منهاي يک • = متوسط مدت انتظارهر مشتري در سيستم 56/15 = مجموع مدت انتظارمشتريان در سيستم مجموع تعداد مشتريان • = متوسط مدت انتظارهر مشتري در سيستم + متوسط مدت انتظارهر مشتري در صف 56/15= 5/15+ 51/15= متوسط مدت خدمتدهي هر مشتري • طريقه محاسبه متوسط مدت انتظارهر مشتري در صف با استفاده از تغيرات طول صف تهيه و تنظيم: رعايت پناه

8. مسلماً براي‌ اينكه‌ مثال‌ بالا از لحاظ‌ آماري‌ معني‌ دار باشد مجبوريم‌ از نمونه‌اي‌ با حجم‌ بزرگتر استفاده‌كنيم‌. لازم‌ به‌ تذكر است‌ كه‌ در اين‌ مثال‌ چندين‌ مطلب‌ مهم‌ از قبيل‌ شرايط‌ شروع‌ ، كه‌ بعداً مورد بحث‌ قرارخواهد گرفت‌ ، ناديده‌ گرفته‌ شده‌ است‌ . نكته‌ مهم‌ در اينجا اين‌ است‌ كه‌ با استفاده‌ از دو وسيله‌ براي‌ توليداعداد تصادفي‌ (مهره‌هاي‌ شماره‌ گذاري‌ شده‌ و تاس‌) آزمايش‌ ساختگي‌ (شبيه‌ سازي‌ شده‌) براي‌ سيستمي‌ كه‌بتوانيم‌ بعضي‌ از مشخصات‌ رفتاري‌ آن‌ را مورد بررسي‌ قرار دهيم‌ ايجاد كرده‌ايم‌ . تهيه و تنظيم: رعايت پناه

9. مثال 2-1 صف تك مجرايي

10. يك فروشگاه مواد غذايي تنها يك باجه ي صندوق دارد . مشتري ها به طور تصادفي با فواصل زماني يك تا 8 دقيقه به صندوق مراجعه مي كنند . همان طور كه جدول 2-6 ننشان مي دهد هر مقدار ممكن براي مدت ورود احتمالي يكسان براي رخ دادن دارد.مدت هاي خدمت دهي از يك تا 6 دقيقه و طبق احتمالات نشان داده شده در جدول 2-7 تغيير مي كند . مساله ناظر به تحليل سيستم از طريق شبيه سازي ورود 20 مشتري و خدمت دهي به آن ها است.

11. جدول 2-6 توزيع مدتهاي بين دو ورود

12. جدول 2-6 توزيع مدتهاي بين دو ورود

13. جدول 2-7 توزيع مدتهاي خدمتدهي

14. جدول2-9 مدتهاي توليد شده برايخدمتدهي

15. جدول2-9 مدتهاي توليد شده برايخدمتدهي

16. جدول2-8 تعيين مدتهاي بين دو ورود

17. جدول2-8 تعيين مدتهاي بين دو ورود

18. جدول 2- 10 جدول شبيه سازي براي مساله ي صف

20. 1.متوسط مدت انتظار هر مشتري 2.8 دقيقه است.اين نتيجه به طريق زير تعيين مي شود: 56 مجموع مدت انتظار مشتريان در صف(دقيقه) 2.8 = = = متوسط مدت انتظار (دقيقه) 20 مجموع تعداد مشتريان

21. 2. احتمال مجبور شدن هر مشتري به انتظار كشيدن در صف 0.56 است.اين نتيجه به طريق زير تعيين مي شود: 13 تعداد مشترياني كه در انتظار مي مانند 0.65 = = =احتمال (انتظار) 20 مجموع تعداد مشتريان

22. 3. نسبت مدت بيكاري خدمت دهنده 0.21 است.اين نتيجه به طريق زير تعيين مي شود: 18 مجموع مدت بيكاري خدمت دهنده (دقيقه) 0.21= = =احتمال بيكاري خدمت دهنده 86 مجموع مدت اجراي شبيه سازي (دقيقه) احتمال مشغول بودن خدمت دهنده مكمل 0.21 يا 0.79 است.

23. 4. متوسط مدت خدمت دهي 3.4 دقيقه است.نتيجه به طريق زير تعيين مي شود: 68 مجموع مدت خدمت دهي (دقيقه) دقيقه 3.4= = = متوسط مدت خدمت دهي 20 مجموع تعداد مشتريان ميتوان اين نتيجه را با يافتن ميانگين توزيع مدت خدمت دهي با به كارگيري معادله ي E(S)=∑sp (s) با اميد رياضي مدت خدمت دهي مقايسه كرد.با

24. با به كار گيري معادله ي اميد رياضي در مورد توزيع مندرج در جدول 2-7 به نتيجه ي زير مي رسيم. (0.30)3+ (0.20)2+(0.10)1= اميد رياضي مدت خدمتدهي (0.05)6+(0.10)5+(0.25)4+ دقيقه 3.2= اميد رياضي مدت خدمت دهي اندكي كمتر از متوسط مدت خدمت دهي در شبيه سازي است. هر جه شبيه سازي طولاني تر باشد،اين متوسط به E(s) نزديكتر مي شود.

25. 5. متوسط مدت بين دو ورود 4.3 دقيقه است. اين نتيجه به طريق زير تعيين مي شود: 82 جمع تمام مدت هاي بين دو ورود (دقيقه) دقيقه 4.3= = = متوسط مدت بين دو ورود 19 تعداد ورود ها منهاي يك يك را از مخرج كم مي كنيم ،زيرا فرض بر اين است كه اولين ورود در زمان صفر روي مي دهد ميتوان اين نتيجه را با يافتن ميانگين توزيع يكنواخت گسسته اي كه نقاط شروع و پايان آن a=1 و b=8 است ، مقايسه كرد. ميانگين از رابطه ي 8+1 a+b دقيقه 4.5 = = = E(A) 2 2 بدست مي آيد. اميد رياضي مدت بين ورود ها كمي بيش از مقدار متوسط است.اما در شبيه سازي هاي طولاني تر مقدار متوسط بين ورودها بايد به ميانگين تئوريك ،E(A)‌، ميل كند.

26. 6. متوسط مدت انتظار آنهايي كه به انتظار مي مانند 4.3 دقيقه است. اين ،به طريق زير تعيين مي شود: مجموع مدتي كه مشتريان در صف به انتظار مي مانند(دقيقه) = = متوسط مدت انتظار آنهايي كه مجموع تعداد مشترياني كه در صف به انتظار مي مانند به انتظارمي مانند (دقيقه) 56 دقيقه 4.3 = = 13

27. 7. متوسط مدتي كه هر مشتري در سيستم مي گذراند 6.2 دقيقه است. اين نتيجه را مي توان از دو طريق به دست اورد.اول اينكه محاسبه را مي توتن با استفاده از رابطه ي زير انجام داد 124 مجموع مدت ماندن مشتريان در سيستم دقيقه 6.2= = = متوسط مدت ماندن مشتري درسيستم 20 مجموع تعداد مشتريان

28. راه دوم محاسبه ي همين نتيجه ،تشخيص اين مطلب است كه رابطه ي زير بايد برقرار باشد: متوسط مدتي كه مشتري براي + متوسط مدتي كه مشتري در صف = متوسط مدتي كه مشتري خدمتگيري صرف مي كند(دقيقه) به انتظار مي ماند (دقيقه) درسيستم مي ماند(دقيقه) يافته هاي 1 و4 فهرست بالا داده هاي لازم براي سمت راست اين معادله فراهم مي آورند تا نتيجه دقيقه 6.2 = 3.4+2.8 = متوسط مدتي كه مشتري در سيستم مي ماند (دقيقه) بدست مي آيد.

29. Time Advance Mechanism تهيه و تنظيم: رعايت پناه

30. Simulation clock: • Variable that keeps the current value of (simulated) time in the model • – Usually no relation between simulated time and (real) time needed to run a model on a computer تهيه و تنظيم: رعايت پناه

31. Two approaches for time advance: • افزایش با طول گام ثابت • افزایش با طول گام متغیر تهيه و تنظيم: رعايت پناه

32. Fixed-Increment Time Advance • در ابتدا افزایش با طول گام ثابت را با مثال توضیح می دهیم. 0 Time پایان شبیه سازی e1 e4 e0 e5 e2 e3 تهيه و تنظيم: رعايت پناه

33. Simple to implement, but not an accurate realization ofoccurrence of events • Choice of the length of time step is important • Too short –too many steps • Too long –too many events within a step • Useful to model system in which events occur only at intervals of some fixedlength تهيه و تنظيم: رعايت پناه

34. افزایش با طول گام متغیر • گامها در این روش عبارتند از: • Initialize simulation clock to 0 • Determine times of occurrence of future events – event list • Clock advances to next (most imminent) event, which isexecuted • Event execution may involve updating event list • Continue until stopping rule is satisfied (must be explicitlystated) تهيه و تنظيم: رعايت پناه

35. مثالی برای افزایش زمان با طول گام متغیر e4 0 e2 e1 e5 e0 e3 Time پایان شبیه سازی تهيه و تنظيم: رعايت پناه

36. Components of a DES Program • Simulation clock – current value of simulated time • System state – variables to describe stateServer status, number in queue, arrival times, etc • Event list – times of future events for each event type • Statistical counters – to accumulate performance measures • – Waiting time in queue, server utilization, تهيه و تنظيم: رعايت پناه

37. Notation • tiTime of arrival of ith customer (t0= 0) • Ai= ti–ti- 1 Inter-arrival time between (i–1)st and ith customers • Si Time that the server spends serving ith customer • Di Delay in queue of ith customer • ci= ti+Di+Si Time in system for ith customer • ei Time of occurrence of ith event تهيه و تنظيم: رعايت پناه

38. Hand Simulation of a Single Server service • Initialization, t=0 • System is empty and idle • No customers • Server waiting for work • Corresponding state variables and statistical counters set to zero • The first item of the event list is created • Only customer arrival is possible • The arrival is scheduled by sampling from arrival time distribution تهيه و تنظيم: رعايت پناه

39. Interarrival times (all times are in minutes): • 0.4, 1.2, 0.5, 1.7, 0.2, 1.6, 0.2, 1.4, 1.9, … • service times: 2.0, 0.7, 0.2, 1.1, 3.7, 0.6, … تهيه و تنظيم: رعايت پناه

40. Time = 0 • Aزمان ورود • Dزمان پایان سرویس تهيه و تنظيم: رعايت پناه

41. Time = 0.4 تهيه و تنظيم: رعايت پناه

42. Time = 1.6 تهيه و تنظيم: رعايت پناه

43. Time = 2.1 تهيه و تنظيم: رعايت پناه

44. شبیه سازی سیستم تک صف ، تک سرویس دهنده • پیش آمد • زمان ورود مشتری • زمان پایان سرویس • جدول زمانبندی پیش امد • این جدول به تعداد پیش امدها ستون دارد. • این جدول دارای غالبا دارای یک سطر برای نمایش زمان وقوع پیش امدهااست. • بنابراین برای سیستم تک صف ، تک سرویس دهنده جدول زیر را داریم: تهيه و تنظيم: رعايت پناه

45. برای تشخیص نوع پیش امد در برنامه به هر ستون یک کد اختصاص می دهند. • در اینجا کد 1 معرف پیش امد زمان ورود مشتری و کد 2 معرف پیش امد زمان پایان سرویس است تهيه و تنظيم: رعايت پناه

46. مقادیر اولیه: • ST زمان پایان شبیه سازی • T زمان جاری شبیه سازی • S نشاندهنده وضعیت سرویس دهنده • اکر S=0یعنی سرویس دهنده بیکار است. • اکر S=1یعنی سرویس دهنده مشغول است. • Q معرف طول صف است. • Ev معرف جدول زمانبندی پیش امد است. • Ev(1) معرف پیش امد زمان ورود • Ev(2) معرف پیش امد زمان پایان سرویس تهيه و تنظيم: رعايت پناه

47. فلوچارت اصلی : شروع Min{Ev(1),Ev(2)} مقذار اولیه تعین زمان وقوع اولین پیش امد و تعین کد پیش امد افزایش زمان شبیه سازی پیش آمد زمان پایان سرویس 2 ST>T تعین کد پیش آمدزمان ورود مشتری پایان بلی 1 خیر تهيه و تنظيم: رعايت پناه

48. حات فلوچارت پیش آمدزمان ورود مشتری و زمان پایان سرویس را بیان می کنیم. • پیش آمد زمان ورود مشتری • فرض می کنیم که F تولید کننده زمان بین ورودها • فرض می کنیم که G تولید کننده زمان پایان سرویس باشد. تهيه و تنظيم: رعايت پناه

49. پیش آمد زمان ورود مشتری تعین زمان ورود مشتری بعدی EV(1)=T+F مشغول کردن سرور s=1 تعین زمان پایان سرویس: EV(2)=T+G بلی S=0 پایان خیر پیوسن به صف Q=Q+1 تهيه و تنظيم: رعايت پناه

50. پیش آمد زمان پایان سرویس بیکار کردن سرور s=0 تعین زمان پایان سرویس: EV(2)=inf OR ST+1 بلی Q=0 پایان خارج شدن از صف Q=Q-1 تعین زمان پایان سرویس: EV(2)=T+G خیر تهيه و تنظيم: رعايت پناه