stabile hochzeiten zuweisungsspiele und beides gleichzeitig n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Stabile Hochzeiten, Zuweisungsspiele und beides gleichzeitig PowerPoint Presentation
Download Presentation
Stabile Hochzeiten, Zuweisungsspiele und beides gleichzeitig

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 21

Stabile Hochzeiten, Zuweisungsspiele und beides gleichzeitig - PowerPoint PPT Presentation


  • 96 Views
  • Uploaded on

Stabile Hochzeiten, Zuweisungsspiele und beides gleichzeitig. Oder: Tarifverträge vs. Kapitalismus pur. Winfried Hochstättler. Hui Jin. Robert Nickel. Übersicht. Stabile Hochzeiten Männer machen Angebot – Frauen lehnen ab Zuweisungsspiele Die Ungarische Methode Beides gleichzeitig

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Stabile Hochzeiten, Zuweisungsspiele und beides gleichzeitig' - keefe


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
stabile hochzeiten zuweisungsspiele und beides gleichzeitig

Stabile Hochzeiten, Zuweisungsspiele und beides gleichzeitig

Oder: Tarifverträge vs. Kapitalismus pur

Winfried Hochstättler

Hui Jin

Robert Nickel

bersicht
Übersicht
  • Stabile Hochzeiten
    • Männer machen Angebot – Frauen lehnen ab
  • Zuweisungsspiele
    • Die Ungarische Methode
  • Beides gleichzeitig
    • Zwei Algorithmen
bersicht1
Übersicht
  • Stabile Hochzeiten
    • Männer machen Angebot – Frauen lehnen ab
  • Zuweisungsspiele
    • Die Ungarische Methode
  • Beides gleichzeitig
    • Zwei Algorithmen
stabile hochzeiten
Stabile Hochzeiten
  • In einem Dorf sollen n Männer mit n Frauen verheiratet werden
  • Jeder Mann i bewertet jede Frau j mit einer Zahl aij.
  • Jede Frau j bewertet jeden Mann i mit einer Zahl bij .
  • Präferenzlisten
  • Im Falle einer Heirat von erhält i den Payoff und j den Payoff

Männer

Frauen

Wenn jeder einen Partner gefunden hat, dann findet die Hochzeit statt

stabile hochzeiten1
Stabile Hochzeiten
  • Eine Hochzeit ist instabil, wenn es ein Paar gibt, so dass

i und j lieber miteinander verheiratet wären, als mit ihren momentanen Partnern.

  • Für das Paar gilt:

und

  • Ein Paar heißt blockierend, wenn gilt und
  • Eine Hochzeit ohne blockierende Paare ist stabil.
men propose women dispose
Men Propose – Women Dispose
  • Algorithmus von Gale und Shapley (1962):
    • Männer freien die beste Frau, die sie noch nicht abgelehnt hat.
    • Jede Frau sucht sich den besten Freier aus und lehnt die anderen ab.
    • Wenn jede Frau nur noch einen Antrag hat, wird geheiratet.
bersicht2
Übersicht
  • Stabile Hochzeiten
    • Männer machen Angebot – Frauen lehnen ab
  • Zuweisungsspiele
    • Die Ungarische Methode
  • Beides gleichzeitig
    • Zwei Algorithmen
zuweisungsspiele
Zuweisungsspiele
  • Wir wollen zwischen n Firmen und n Arbeitern vermitteln.
  • Aus einer Kooperation zwischen einer Firma und einem Arbeiter entsteht ein Gewinn (Mehrwert)
  • Suche ein perfektes Matching, das den Gesamtmehrwert maximiert
  • Spalte den Mehrwert einer Kante auf in
  • Ähnliche Daten wie in Stabile Hochzeiten

Firmen

Arbeiter

gewichtetes bipartites matching
Gewichtetes Bipartites Matching
  • Im Falle einer Matching-Kante gilt Gleichheit in (D)
  • u und v sind die Payoffs der Firmen bzw. Arbeiter
  • Der Mehrwert durch eine Kooperation kann beliebig unter den Partnern aufgeteilt werden.
  • In einem gegebenen perfekten Matching kann Payoff zwischen u und v hin und her geschoben werden
blockierende paare und stabile outcomes
Blockierende Paare und stabile Outcomes
  • Interpretation von :
    • i und j verdienen im Moment zusammen weniger als sie es in einer Partnerschaft tun würden (z.B. das Paar )
  • Ein solches Paar heißt blockierend
  • Gibt es keine blockierenden Paare

in und ist M ein dazu

„passendes“ Matching, dann heißt

stabiles Outcome.

4

3

4

die ungarische methode
Die Ungarische Methode
  • Starte mit leerem Matching und dual zulässigem Payoff:
  • Digraph G der dichten Kanten bzgl. :

Ein Pfad von einer ungematchten Firma zu einem ungematchten Arbeiter heißt augmentierend.

ungarische methode ii
Ungarische Methode II
  • Wenn es keinen augmentierenden Pfad gibt:
  • Betrachte die Komponente zu einer ungematchten Firma
  • Setze
  • Verringere Firmenpayoffs und

vergrößere Arbeiterpayoffs in C um 

bis neue Kante im dichten Graphen erscheint

etwas literatur
Etwas Literatur
  • Gale und Shapley (1962)
    • Algorithmus für Stabile Hochzeiten (Men Propose – Women Dispose)
  • Kuhn (1955)
    • Ungarische Methode für das Bipartite Matching
  • Shapley und Shubik (1972)
    • Das Zuweisungsspiel
    • Existenz von stabilen Outcomes (lineare Programmierung)
  • Roth und Sotomayor (1991)
    • Frage nach verallgemeinertem Modell, das die obigen als Spezialfall enthält
  • Eriksson und Karlander (2000)
    • Vorstellung eines Modells
    • Pseudopolynomieller Algorithmus zur Berechnung eines stabilen Outcomes
  • Sotomayor (2000)
    • „Nicht-konstruktiver“ Beweis für Existenz von stabilen Outcomes
bersicht3
Übersicht
  • Stabile Hochzeiten
    • Männer machen Angebot – Frauen lehnen ab
  • Zuweisungsspiele
    • Die Ungarische Methode
  • Beides gleichzeitig
    • Zwei Algorithmen
das modell
Das Modell
  • Firmen und Arbeiter sind entweder
    • flexibel (Gehalt kann ausgehandelt werden)
    • oder arbeiten nach Tarif (festes Gehalt)
  • Der Graph enthält flexible Kanten (beide Partner flexibel)und Tarifkanten (mindestens einer ist tariflich gebunden)
  • Aufteilung der Produktivität in einerflexiblen Partnerschaft:

Tarifpartnerschaft:

stabile outcomes
Stabile Outcomes
  • Ein Outcome heißt zulässig, wenn
    • werden aus finanziert
  • Eine Kante heißt blockierendes Paar in wenn Tarifkante ist mit und oder flexibel ist und
  • D.h. i und j verbessern sich, wenn sie kooperieren.
  • Es existiert immer ein Outcome ohne blockierende Paare (stabiles Outcome) – EriksKarl2000,Soto2000
ein algorithmus
Ein Algorithmus
  • Augmentierungs-Digraph :

Matching-Kanten

favorite blocking pairs

Dichte freie Kanten:

Tarifkanten mit

  • Algorithmus:
    • Suche Weg von ungematchter Firma zu

- ungematchtem Arbeiter

- Spieler aus R

- Firma mit Payoff 0

    • Wenn das nicht geht:

- ungarisches Payoff-Update

eigenschaften
Eigenschaften
  • Invarianten des Algorithmus:
    • Gematchte Firmen haben keine blockierenden Partner
    • ist zulässiges Outcome
    • Stabiler virtueller Payoff
    • sinkt monoton
    • wächst monoton
  • Komplexität:
    • wächst monoton
    • Eine Firma mit Payoff Null ist aus dem Rennen
    • Jede Tarifkante wird höchstens einmal Matchingkante
ein anderer algorithmus
Ein anderer Algorithmus
  • Augmentierungs-Digraph :
    • favorite partners: Kanten, die

bzw. maximieren

    • Abbildung bildet immer eine Firma auf einen ihrer Lieblingspartner ab
  • Algorithmus:
    • Arbeiter mit mehreren Tarifangeboten lehnen alle außer dem besten ab
    • Suche Pfad von mehrfach gemapptem Arbeiter

- zu ungemapptem Arbeiter oder

- Arbeiter mit Tarifangebot

    • Wenn das nicht mehr geht:

- ungarisches Payoff-Update

eigenschaften1
Eigenschaften
  • Invarianten des Algorithmus:
    • Jede Firma macht immer genau ein Angebot
    • Firmenpayoffs können anhand der -Kanten berechnet werden
    • sinkt monoton
    • wächst monoton
  • Komplexität:
    • wächst monoton
    • Jede Tarifkante wird höchstens einmal Matchingkante
  • Andere Eigenschaften
    • Benutzt gleichen Graphen wie erster Algorithmus, aber mit anderer Orientierung
    • Liefert anderen Ansatz für Kardinalitätsmatching
vielen dank f r die aufmerksamkeit

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit

Und noch viel mehr Dank für eventuelle Fragen