ПРАВИЛЬНЫЕ И ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

1. ПРАВИЛЬНЫЕ И ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

2. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

3. Заполните таблицу:

4. ПРОВЕРЬТЕ!

5. В соответствии с этими данными и были названы правильные многогранники: • тетраэдр(от греческих слов «тетра» — четыре и (h)edra — грань); • гексаэдр(«гекса» — шесть); • октаэдр(«окто» — восемь); • додекаэдр(«додека» — двенадцать); • икосаэдр («икоси» — двадцать).

6. Это интересно! • Леонард Эйлер доказал теорему о связи количества граней, вершин и рёбер правильного многогранника: Г + В = Р + 2. • А позднее он показал, что эта теорема выполняется для любого выпуклого многогранника. • ПРОВЕРЬТЕ!

7. Немного истории… • Правильные многогранники были известны еще в Древней Греции. • Придумать правильные многогранники, по-видимому, было нетрудно: это формы природных кристаллов. • Например, монокристалл поваренной соли (NaCl) — это куб. Существует предположение, что додекаэдр древние греки увидели, рассматривая кристаллы пирита (серного колчедана FeS). Имея додекаэдр, несложно получить икосаэдр: его вершинами являются центры граней додекаэдра. • У древнегреческого мыслителя Платона четыре многогранника олицетворяли четыре стихии: • тетраэдр — огонь, • куб — землю, • октаэдр — воздух, • икосаэдр — воду, • Адодекаэдролицетворял ВСЁ МИРОЗДАНИЕ.

8. Учение о правильных многогранниках, содержащееся в последней XIII книге Евклида, является венцом его «Начал». Сначала Евклид устанавливает существование этих многогранников, показывает как вписать их в сферу. После этого Евклид доказывает в 18-м, последнем предложении XIIIкниги, что, кроме упомянутых пяти тел, нет других правильных многогранников. • Некоторыми сведениями о многогранниках обладали еще древние египтяне. Древнегреческий математик Прокл (V в.) приписывает построение пяти правильных многогранников Пифагору, однако, как было установлено позже, Пифагор мог знать, самое большее, гексаэдр (куб), тетраэдр и додекаэдр, в то время как октаэдр и икосаэдр были, вероятно, открыты лишь Теэтетом Афинским в IV в. до н. э. Последнего считают также автором X и XIII книг «Начал» Евклида.

9. Пифагорейцы уделяли в своих космологических теориях особенно важное место правильным многогранникам, неоценимое превосходство которых над всеми другими телами они усмотрели в том, что их только пять. Этим объясняются такие названия, которые получили правильные многогранники: «космические фигуры», «идеальные фигуры», «платоновы тела». Правильными многогранниками занимался, по свидетельству Паппа Александрийского (которому, впрочем, принадлежит отличное от евклидова построение пяти правильных многогранников), и Архимед, однако и эти работы до нас не дошли. • Архимеду принадлежит открытие тринадцати так называемых полуправильных многогранников(«архимедовых тел»).

10. «Архимедовы тела»: • усечённый тетраэдр • усечённый куб • усечённый октаэдр • усечённый додекаэдр • усечённый икосаэдр • дважды усечённый куб • дважды усечённый додекаэдр • икосододекаэдр • усечённый икосододекаэдр • ромбоикосододекаэдр • кубооктаэдр • усечённый кубооктаэдр • ромбокубооктаэдр

11. Многогранник называется полуправильным,если он ограничен неодноименными правильными многоугольниками, в нём равны многогранные углы и одноименные многоугольники, причем в каждой вершине сходится одно и то же число одинаковых граней в одинаковом порядке. Каждое из этих тел может быть вписано в сферу. ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

12. Существование нового «архимедова тела» - псевдоромбокубооктаэдра, который получается из ромбокубооктаэдра поворотом его верхней восьмиугольной «крышки» на 45 градусов по оси – открыл Миллер в 1930 г. и независимо от него В. Г. Ашкинузе и Л. Есаулова. Оба советских математика получили свои результаты независимо друг от друга и от Миллера.

13. Кроме «архимедовых тел» к полуправильным многогранникам относятся все правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны. • К полуправильным многогранникам относятся также все так называемые антипризмы.

14. Полуправильные многогранники, нарисованные Леонардо да Винчи для книги Пачоли «О божественной пропорции» Интерес к правильным многогранникам возродился в эпоху Ренессанса, в частности, в кругах архитекторов и художников. Лука Пачоли под влиянием своего друга Леонардо да Винчи написал сочинение «О божественной пропорции» (1509), в котором рассматривает «золотое сечение» и «архимедовы тела». И ещё немного истории…

15. Альбрехт Дюрер (1471-1528), занимаясь многогранниками, показал, как можно построить из бумаги правильный и полуправильный многогранник, вырезав его развертку поверхности и затем сложив ее по соответствующим ребрам. • РАЗВЁРТКА ДОДЕКАЭДРА

16. Иоганн Кеплер (1571-1630), для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, в своем первом его крупном сочинении «Mysterium Cosmographicum» — «Космографическая тайна» (1596) развил учение о двух видах выпуклых звездчатых многогранников (которые получаются из правильных многогранников продолжением граней или рёбер) и обстоятельно изложил теорию архимедовых тел. В начале прошлого столетия французский математик и механик Л. Пуансо (1777—1859), геометрические работы которого относятся к звездчатым многогранникам, открыл существование еще двух видов правильных невыпуклых многогранников. Таким образом, стали известны четыре типа подобных тел. В 1812 г. О. Коши доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.

17. Итак, существует • 5 типовправильных выпуклых многогранников («платоновых тел»); • Бесконечное множество полуправильных многогранников (из них – 14 «архимедовых тел»); • 4 типаправильных звездчатых многогранников.

18. А также великое множество других замечательных многогранников…

19. МАТЕМАТИКА ВЛАДЕЕТНЕ ТОЛЬКО ИСТИНОЙ, НО ИВЫСШЕЙ КРАСОТОЙ - КРАСОТОЙ ОТТОЧЕННОЙ И СТРОГОЙ, ВОЗВЫШЕННО ЧИСТОЙ И СТРЕМЯЩЕЙСЯ К ПОДЛИННОМУ СОВЕРШЕНСТВУ, КОТОРОЕ СВОЙСТВЕННО ЛИШЬ ВЕЛИЧАЙШИМ ОБРАЗЦАМ ИСКУССТВА. • Бертран Рассел

20. А теперь – приступаем к ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ! УРА?

21. Презентация подготовлена: учителем математики МОУ «СОШ № 2 города Билибино Чукотского АО» Шрамковой Ольгой Геннадиевной Список использованной литературы: • Г.И.Глейзер. История математики в школе. IX-X классы. – М.: Просвещение, 1983. • М. Веннинджер. Модели многогранников. – М.: Мир, 1974. • И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. Геометрия на профильном уровне. – М.: ПУ «Первое сентября», 2006.