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第十三章. 變異數分析. 13.1 平方和的計算. 13.2 ANOVA 表及 F 檢定. 13.3 使用 EXCEL 作變異數分析. 我們常常需要做比較 : 有 四種減肥餐的效果是不是一樣 ? 三 種降 血壓方式 的效果是否差不多 ? 某 超市共有五家分店,經營者很注重對顧客的 服務 ,在規定隊伍長度超過某個數字就要新開一個結帳櫃台之後,經營者想 要知道各分店在尖峰時段的平均結帳時間 ( 從開始排隊到結完帳 ) 是否 相同 。.

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Presentation Transcript
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第十三章

變異數分析

slide2

13.1 平方和的計算

13.2 ANOVA 表及F檢定

13.3 使用EXCEL作變異數分析

slide3

我們常常需要做比較:

有四種減肥餐的效果是不是一樣?

三種降血壓方式的效果是否差不多?

某超市共有五家分店,經營者很注重對顧客的服務,在規定隊伍長度超過某個數字就要新開一個結帳櫃台之後,經營者想 要知道各分店在尖峰時段的平均結帳時間 ( 從開始排隊到結完帳 ) 是否相同。

以上問題都可以歸類為母體平均數的比較,第九章的頭兩節也是在處 理類似問題,但是只比較兩個母體而已,現在我們卻想要同時比較至少三個母體。

能不能只做 一個檢定,就判斷出各個母體平均數是否都相同呢?可以的,這個方法叫 做變異數分析,就是本章的內容。當然變異數分析還可以處理許多其他更複雜類型的問題,但不在本書討論範圍內。

1 3 1
13.1 平方和的計算

在處理變異數分析問題時,需要做不少計算,主要是必須算幾種不同的平方和。

需要計算的平方和有三種:

1 3 12
13.1 平方和的計算

例13.1-1 解

組內平方和是把樣本裡的數字減掉該組平均,然後平方再加總:

檢視 SSW 的前 4 項:

1 3 13
13.1 平方和的計算

例13.1-1 解

這幾項的和如果再除以 3,就是第一組樣本的變異數了;組內平方和的大小,其實提供了組內變異大小的資訊。

組間平方和的計算方式是把每組平均減去總平均之後平方,乘以 該組樣本大小之後再加總:

首先,需要算出總平均 (grand mean):

1 3 14
13.1 平方和的計算

例13.1-1 解

因為每一組的樣本大小相同 ( 都是 4),在這種情況下,總平均有一個更方便的計算法,就是全部樣本平均的平均:

請注意分母的 4 是組數,不是樣本大小

1 3 15
13.1 平方和的計算

例13.1-1 解

有了總平均,組間平方和的計算方式如下:

1 3 16
13.1 平方和的計算

三個平方和之間其實有一個關係式,就是

SST = SSW + SSB(13.1-1)

1 3 18
13.1 平方和的計算

例13.1-2 解

先計算四個樣本平均得到:

因此可得

1 3 19
13.1 平方和的計算

例13.1-2 解

總平方和

而組內平方和 SSW = SST - SSB = 154 - 102 = 52

1 3 2 anova f
13.2 ANOVA表及F檢定

假設我們要比較 k 個母體的平均數是否相等,這 k 個母體都至少接近 常態分布而且變異數都相等。要檢定的原始假設和對立假設可以表示如下:

1 3 2 anova f2
13.2 ANOVA表及F檢定

三種平方和,寫成公式如下:

1 3 2 anova f3
13.2 ANOVA表及F檢定

每一項平方和都對應一個叫做自由度(degrees of freedom, 簡寫 d.f.)的數字,組間平方和的自由度是 k - 1,組內平方和的自由度是 N - k,而總平方和的自由度則是 N - 1。平方和除以對應的自由度之後就得到均方和,定義如下:

1 3 2 anova f4
13.2 ANOVA表及F檢定

有了以上兩項均方和,就很容易定義 F 檢定統計量了,通常我們會把以上相關資訊整理在一個表裡面,叫做 ANOVA 表:

檢定規則是:F 太大時,否定 H0

1 3 2 anova f6
13.2 ANOVA表及F檢定

例13.2-1

假設某減肥中心設計了 4 種減肥餐並同時搭配運動,幫助參加的會員 減肥。為了比較 4 種減肥餐的效果是否有差異,從會員中選出身高及 體重接近的 16 人,再隨機分到四組,每組 4 人。一段時間之後,測 量每人所減體重,得到以下結果 ( 單位:公斤 ):

1 3 2 anova f7
13.2 ANOVA表及F檢定

例13.2-1 解

這題的樣本數據和例 13.1-1 的一模一樣,根據例 13.1-1 的計算結果,各平方和如下:

而 k - 1 = 4 - 1 = 3、N - k = 16 - 4 = 12,可得ANOVA 表如下:

1 3 2 anova f9
13.2 ANOVA表及F檢定

例13.2-2

成年人許多有高血壓的問題,醫師建議的降血壓方法通常包括藥物、 飲食和運動等。某位醫師想要了解只用藥物治療、只用運動治療,以 及藥物搭配運動這三種方式的降血壓效果是否差不多,於是將參加實驗的高血壓病人隨機分成三組,A 組只用藥物治療、B 組只用運動治 療、C 組則是用藥物搭配運動治療,一段時間之後,記錄每個人血壓降低多少,數據如下:

1 3 2 anova f10
13.2 ANOVA表及F檢定

例13.2-2 解

首先,計算出三組各自的平均以及總平均:

1 3 2 anova f11
13.2 ANOVA表及F檢定

例13.2-2 解

然後計算平方和:

組間平方和

組內平方和

1 3 2 anova f12
13.2 ANOVA表及F檢定

例13.2-2 解

總平方和

驗證一下:

276 + 74 = 350

符合 SST = SSW + SSB 的關係式

1 3 2 anova f13
13.2 ANOVA表及F檢定

例13.2-2 解

因為 k = 3、N = 12,可得 ANOVA 表:

1 3 2 anova f14
13.2 ANOVA表及F檢定

例13.2-2 解

所以結論是 ( 可以很大聲說 ):

3 種降血壓方法的效果不一樣!