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유클리드 호제법에 대하여

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유클리드 호제법에 대하여 - PowerPoint PPT Presentation


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유클리드 호제법에 대하여. 과 목 명 : 수학사 발 표 자 : 수학과 4 학년 김은미. 유클리드 호제법이란 ? 주어진 두 개의 정수 a, b 에 대하여 a, b 의 최대공약수를 찾는 방법 을 말한다 . 소인수분해가 쉽지 않은 두 양의 정수나 인수 분해가 쉽지않은 두 다항식의 최대공약수는 유클리드의 호제법을 이용해서 계산하면 쉽게 계산할 수 있다 . . 유클리드 호제법의 원리 를 간단히 설명하면 두 수 가 있을 때 한 수를 다른 수로 나누었을 때의

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Presentation Transcript
slide1

유클리드 호제법에 대하여

과 목 명 : 수학사

발 표 자 : 수학과 4학년

김은미

slide2

유클리드 호제법이란?

주어진 두 개의 정수 a, b 에 대하여

a, b 의 최대공약수를 찾는 방법을 말한다.

소인수분해가 쉽지 않은 두 양의 정수나 인수

분해가 쉽지않은 두 다항식의 최대공약수는

유클리드의 호제법을 이용해서 계산하면 쉽게

계산할 수 있다.

slide3

유클리드 호제법의 원리를 간단히 설명하면

두 수가 있을 때 한 수를 다른 수로 나누었을 때의

검산식을 생각해 보자.

예를 들어 a 를 b 로 나누었더니 몫이 q 이고 나머지가

r 이 되었다면 a = bq + r의 식이 성립한다.

이 때, a 와 b 의 최대공약수는 b 와 r 의 최대 공약수와

같다 (r이 0인 경우에 a 와 b 의 최대공약수는 b가 된다)

라는 것이 유클리드 호제법의 원리이다.

증명을 하기 전에 간단한 예제를 통해 알아보기로 하자...

slide4

EX) (33, 18)의 공약수를 구하라.

33, 18 의 최대공약수를 d 라고 하면,

33 = 18×1 + 15 이므로 18, 15 의 최대공약수도 d 이다.

18 = 15×1 + 3 이므로15, 3 의 최대공약수도 d 이다.

15, 3 의 최대공약수는 3 이므로,

d = 3 임을 쉽게 알 수 있다.

이 방법을 우리가 흔히 사용하는 방법으로 구해보면…

33 18

33을 18로 나눈다.(몫1,나머지15)

18을 15로 나눈다.(몫1, 나머지3)

15를 3으로 나눈다.(나누어 떨어짐)

마지막 나눗셈의 제수(나누는 수)가

최대공약수 즉, (33, 18)=3

1

1

18

15

15

3

5

15

0

slide5

유클리드 호제법을 증명해보자.

a = qb + r ( a,b,q,r은 임의의 정수)

a 와 b 의 최대공약수는 b 와 r 의 최대 공약수와 같다

(증명)

우리는 gcd(a,b)=gcd(a-qb,b)임을 보이면 충분하다.

gcd(a,b)=d , gcd(a-qb,b)=s라고 하자

1) d ≤ s임을 보일것이다.

d I a & d I b & d l qb => d I a-qb

따라서 d는 b와 a-qb의 공약수

S는 a-qb와 b의 최대공약수이므로 d≤s임을 알 수 있다.

slide6

2) d ≥ s 임을 보일것이다

s I a-qb & s I b & s I qb => s I (a-qb)+qb=a

따라서 s는 a와 b의 공약수이다.

d는 a와 b의 최대공약수이므로

d ≥ s 임을 알 수 있다.

1), 2)에 의해서 d ≤ s , d ≥ s 이므로

d=s

slide7

유클리드 호제법 gcd(a,b)=gcd(a-qb,b)을 이용하여

gcd(2424869,9509)를 계산해보기로 하자..

gcd( 2424869, 9509)

= gcd( 2424869-255 ×9509, 9509)

= gcd ( 74, 9509)

= gcd (74 , 9509-128×74 )

= gcd (74, 37)

= gcd (74-2×37, 37)

= gcd(0 , 37)

= 37

따라서 gcd(2424869,9509)=37 임을 구할 수 있다.

slide8

흔히 사용하는 방법을 써 보자

200

24248699509

100

-1901800

-7400

50

523069

2109

20

-475450

-1480

5

47619

629

8

-47545

-592

2

74

37

최대 공약수

-74

0

slide9

참고문헌

www.banyo.ms.kr/no1122/number/uclid.htm

<수학의 천재들>, 오승재, 경문사

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