微積分 [ 第九版 ]

微積分[第九版] 3.7 隱微分

3.7 隱微分 學習目標 • 以公式求導數。 • 以隱含函數求導數。 • 用導數求解現實生活問題。第三章　微分 P.3-60

明確和隱含的函數 • 本書到目前為止，兩個變數的函數都是表示成明確型(explicit form) y ＝ f(x)，也就是其中一個變數明確地依另一個來給定。例如，在方程式 y ＝ 3x － 5 明確型中，變數 y 明確地寫成 x 的函數。然而，有些函數並非明確地定義，而僅是用一個方程式來隱含，如範例 1 所示。第三章　微分 P.3-60

範例1　明確地求導數 • 對方程式 xy ＝ 1 求 dy/dx 。第三章　微分 P.3-60

在這個方程式，y 可隱含地(implicitly) 定義成 x 的函數。求 dy/dx 的一種方法就是先對方程式解出 y，然後像往常一樣微分。範例1　明確地求導數（解）第三章　微分 P.3-60

檢查站 1 • 對方程式 x2y ＝ 1 求 dy/dx。第三章　微分 P.3-60

明確和隱含的函數 • 只要能容易明確地寫出給定的函數，範例 1 的方法是很有用的，但若是不能解出 y 為 x 的函數時就不管用。例如，對方程式 x2－ 2y3＋ 4y ＝ 2　與　 x2＋ 2xy3－y3＝ 5 　求 dy/dx 時，因為很難明確地將 y 表為 x 的函數，此時如何求 dy/dx？處理這個問題可用稱為隱微分(implicit differentiation) 的技巧。第三章　微分 P.3-60

隱微分 • 要了解如何隱含地求 dy/dx，必須了解微分是對 x 來運算。所以當微分只有含 x 的項時，就可以像往常一樣地微分。但是微分含 y 的項時就必須用到連鎖律，因為我們假設 y 被隱含地定義為 x 的可微函數。仔細研讀下一個範例，尤其是在範例 2(b) 和 2(d) 中用連鎖律導出 dy/dx 的技巧。第三章　微分 P.3-61

範例2　應用連鎖律 • 將以下式子對 x 微分。 a. 3x2 b. 2y3 c. x + 3y d. xy2 第三章　微分 P.3-61

a. 在這個式子唯一的變數是 x，所以只要使用基本乘冪律以及常數倍數律對 x 微分，就可得範例2　應用連鎖律（解）第三章　微分 P.3-61

範例2　應用連鎖律（解） b. 這個問題不一樣，因為式子的變數是 y，但要對 x 微分，所以必須假設 y 是 x 的可微函數再使用連鎖律。第三章　微分 P.3-61

c. 這個式子包含 x 和 y，由和律和常數倍數律，可得範例2　應用連鎖律（解）第三章　微分 P.3-61

d. 由乘積律和連鎖律，得到 範例2　應用連鎖律（解）第三章　微分 P.3-61

檢查站 2 • 將以下式子對 x 微分。 a. 4x3 b. 3y2 c. x ＋ 5y d. xy3 第三章　微分 P.3-61

隱微分 • 在範例 3 中，注意由隱微分得到的 dy/dx 可能包含 x 和 y 。第三章　微分 P.3-62

範例3　使用隱微分 • 對方程式 y3＋ y2－ 5y － x2＝－4 ，求 dy/dx。第三章　微分 P.3-62

範例3　使用隱微分（解） • 1.等號兩邊分別對 x微分。 • 2.將 dy/dx的項集中在等號左邊，其他的項移到等號右邊。第三章　微分 P.3-62

範例3　使用隱微分（解） • 3. 將等號左邊的 dy/dx提出 • 4. 由除 (3y2＋2y－5)，解出 dy/dx。第三章　微分 P.3-62

檢查站 3 • 對方程式 y2＋ x2－ 2y － 4x ＝ 4 求 dy/dx。第三章　微分 P.3-62

隱微分 • 要了解如何應用隱含的導數，可看在圖 3.34 中的圖形。在範例 3 中所求得的導數提供經過此圖形中一個點的切線斜率的公式。例如，在點(1,－3)的斜率為第三章　微分 P.3-62

隱微分 第三章　微分 P.3-62 圖3.34

範例4　以隱微分求圖形的斜率 • 求橢圓 x2＋ 4y2＝ 4 在點的切線斜率，如圖 3.35 所示。第三章　微分 P.3-63 圖3.35

範例4　以隱微分求圖形的斜率（解） 第三章　微分 P.3-63

將以及 代入上面的導數中，就可求得在給定點的斜率，如下所示。範例4　以隱微分求圖形的斜率（解）第三章　微分 P.3-63

要了解隱微分的好處，試著用明確函數 此函數圖形是橢圓的下半部。學習提示第三章　微分 P.3-63

檢查站 4 • 求圓 x2＋ y2＝ 25 在點 (3, －4)的切線斜率。第三章　微分 P.3-63

範例5　以隱微分求圖形的斜率 • 求 2x2－ y2＝1 的圖形在點 (1, 1) 的斜率。第三章　微分 P.3-63

首先以隱微分求 dy/dx 圖形在點 (1, 1) 的斜率是範例5　以隱微分求圖形的斜率（解）第三章　微分 P.3-63~3-64

範例5　以隱微分求圖形的斜率（解） • 如圖 3.36 所示，此圖形稱為雙曲線(hyperbola)。第三章　微分 P.3-64 圖3.36

檢查站 5 • 求 x2－ 9y2＝ 16 的圖形在點(5, 1) 的斜率。第三章　微分 P.3-63

某產品的需求函數以 做為模型，其中 p 為價格 (美元)，x 為數量 (千單位)，如圖 3.37 所示。求當 x ＝ 100 時，需求 x 對價格 p 的變化率。應用　範例6　使用需求函數第三章　微分 P.3-64

範例6　使用需求函數 第三章　微分 P.3-64 圖3.37

為了化簡微分的運算，先改寫函數，然後對 p 微分。範例6　使用需求函數（解）第三章　微分 P.3-64

當 x ＝ 100 時，價格是 所以當 x ＝ 100 以及 p ＝ 1 時，需求對價格的變化率是這意味著當 x ＝ 100 時，價格每調高 1 美元，需求就下降 75 千單位。範例6　使用需求函數（解）第三章　微分 P.3-64

某產品的需求函數為 以隱微分求 dx/dp。檢查站 6 第三章　微分 P.3-64

總結（3.7節） • 說明如何使用隱微分，參考範例 2、3、4 和 5。 • 一個如何用隱微分分析產品需求變化率的實例 (範例 6)。第三章　微分 P.3-64

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