Пирамида

1. Пирамида Урок геометрии в 10 классе Учитель: Мигунова Л.В.

2. Определение пирамиды Многогранник, составленный из n-угольника А1А2…Аnи n треугольников, называется пирамидой

3. p a An H A1 A3 A2 Элементы пирамиды • Многоугольник А1А2...Аn - основание. • Треугольники - боковые грани • Точка Р – вершина пирамиды • Отрезки РА1, РА2,…РАn – боковые ребра пирамиды • Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к основанию, называется высотой пирамиды

4. Правильная пирамида Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезокPO, соединяющий вершину пирамиды Pс центром основания, является ее высотой p центр основания h An Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершиныР, называется апофемойРЕ O O основание – правильный многоугольник A1 Е A2

5. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды • Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофемуРЕ Р h An O A1 Е A2

6. Р Дано: PA1A2…An-правильная пирамида Доказать: Sбок=½Pocн·PE h An O A1 Е A2 Доказательство: Sбок= n·Sтр=n·½AnA1·PE=½(n·AnA1) ·PE=½Pосн ·PE

7. Площадь полной поверхности пирамиды Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней (т. е. основания и боковых граней) , а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей граней S полн=Sбок+ Sосн

8. Решение задач Задача 1. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5м и 4м и меньшей диагональю 3м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна2м. Найдите площадь поверхности пирамиды. M D С O А K F В

9. Решение: Треугольник ABD –прямоугольный (42+32=52) Угол ADB равен 900. M 1) AD и DO перпендикулярны, следовательно AD и MD перпендикулярны ( по теореме о трех перпендикулярах) Следовательно MD высота∆MAD. С D 2) ∆MDO: MD=√22+1,52=2,5 O 3)∆ADB: DK и AB перпендикулярны AB·DK=AD·BD,DK=2,4м ∆MOF: OF║DK, OF= ½DK, OF= 1,2. MF=√MO2+OF2= 0,4√34 . А K F В Sбок= 2SAMD+2SAMB=4·2,5+5·0,4·√34=10+2 √34 Sосн=4·3=12 Sпир=(22+2 √34)м2.

10. Задача 2. Основанием пирамиды DABC является ∆АВС, у которого АВ=АС=13см, ВС=10см. РеброАD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды. D С А В

11. Решение: 1) Проведем АК перпендикулярно ВС D ВС и DK перпендикулярны (по теореме о трех перпендикулярах) DK – высота ∆DBC. 2) ∆АВК: АК = √АВ2-BK2=√144=12см 3) ∆DAK: DK=15см 4) ∆ADB = ADC (по двум катетам) Sбок= 2SADB+SBDC Sбок=2·½·13·9+½·10 ·15 = 192см2. С А К В

12. Задача 3. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона ее основания равна а, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведенного через вершину пирамиды и большую диагональ основания M D E F C O a B A K

13. Решение: M D E F C O a B A K