Upgrading Cubic A-spline scheme

1. UpgradingCubic A-spline scheme Sofía Behar JequínWilfredo Morales Lezca Jorge Estrada Sarlabous Javier Moreno Alemán Facultad de Matemática y Computación, UH ICIMAF

2. A-spline • ElA-spline A esunasecuencia de seccionesAi • CadasecciónAies la solución de unaecuacióndefinidapor un polinomio de grado3 en la forma de Bernstein-Bezier • CadasecciónAiesconvexa, conexa, no singular y • ε-controlable.

3. Ventajas • Interpolación de puntos con vectores tangentes y valores de curvatura prescritos, sin imponer restricciones como las que aparecen en trabajos anteriores ( (Baj01), (Meek03), etc.)

4. Ventajas • Cada sección del A-spline cuenta con un parámetro libre empleado para interpolar un punto adicional oparacontrolar la distancia de la sección del • A-spline al segmento que une sus puntos extremos.

5. Ventajas • Control local del cálculo de los parámetros que determinan cada sección del A-spline lo que aporta una gran flexibilidad para cambiar los datos de entrada y, consecuentemente, actualizar la curva A-spline . • FLEXIBILIDAD PARA EL DISEÑO INTERACTIVO CON CURVAS A-SPLINES • SOLUCIÓN DEL PROBLEMA Y GRAFICACIÓNDE LA CURVA A- SPLINE SECUENCIALMENTE EN TIEMPO REAL.

6. Control local Cambiando la posición de un punto de interpolación:

7. Control local Cambiandoelvector tangenteasociado a un punto de interpolación:

8. Control local Variación de la distancia entre la curva en el interior de la sección del A-spline y el ejequeune los dos nodos:

9. Control local Modificando la simetría de unasección:

10. Resultados recientes • Elaboración de algoritmos apropiados para el ploteo de • curvaturas de las curvas A-spline. • Cálculo de las curvas d-offset asociadas al A-spline. • Estudio del “fairness”.

11. Invarianza Teorema La relación de paralelismo entre dos rectas que pasan por puntos interiores de un triángulo es invariante al cambio de coordenadas baricéntricas uv (respecto al triángulo) a coordenadasrealesxy y viceversa. Dada una curva cúbica y un punto sobre la curva, expresados ambos en coordenadas baricéntricas, la recta tangente a la curva en el punto en este sistema de coordenadas tiene como imagen la recta tangente a la curva en el punto, expresados ahora ambos en coordenadas reales.

12. Generación jerárquica de puntos • Inserción de un nuevo punto entre dos puntos consecutivos

13. Generación jerárquica de puntos • Inserción de un nuevo punto entre dos puntos consecutivos

14. Generación jerárquica de puntos Proposición

15. Generación jerárquica de puntos

16. Generación jerárquica de puntos

17. Generación jerárquica de puntos Blossom Jerárquico Triángulos7701 Puntos3879 Triángulos1276 Puntos 93

18. Generación jerárquica de puntos

19. Curva d-offset • Dado un punto de la curva, calcular puntos sobre la curva d-offset. } }

20. Curvatura • Dado un punto sobre la curva, calcular la curvatura en dicho punto.

21. A-spline Fair? • [Lev09]Interpolating Splines: Which is the fairest of them all? RaphLevienand Carlo H. Séquin • Extensionalidad (al adicionar puntos intermedios, la forma de la curva no cambia) • Redondez(reproducción de arcos de círculos) • Curvatura monótona • Grado alto de continuidad

22. A-spline Fair? En estesentidonuestroalgoritmo de generaciónjerárquicapermite sin mucho costocalcularunabuenaaproximación de la energíaelástica. Unabuenaaproximaciónsería

23. Aplicaciones:Diseñolibre de curvas A-spline Default: primeraaproximacióna la curvadeseada Las seccionesqueconforman el A-spline default puedensermodificadasinteractivamente Los grados de libertaddisponiblesproveen al diseñador de un control muyintuitivo y directo de la geometría de cadasección.

24. Aplicaciones:Ajuste del contorno de una imagen digitalizada

25. Aplicaciones: Diseño de trayectorias con restricciones

26. Problemas actuales: • Problema 1: Estudiar cómo variar los parámetros del A-spline cúbico de forma que, interpolando dos puntos consecutivos del polígono de control, sus vectores tangentes y valores de curvatura, se pueda interpolar también el punto adicional P con una tangente inicial asignada.

27. Problemas actuales: • Interpolación de un punto interior adicional con tangente prefijada • ¿Pueden sacrificarse los valores de curvatura en los nodos (conservarndo la G2 continuidad ) ? NO SÍ Inserción de un nuevo nodo del A-spline con vector tangente deseado + nuevo valor de curvatura asociado a dicho nodo Perturbación de la curva original

28. Problemas actuales: • Problema 2 (Dual de Problema 1): Con las mismas hipótesis que el anterior, al seleccionar una recta R que corta la región de interés, estudiar cómo deben variar los parámetros del A-spline cúbico de forma que la sección de la curva A-spline contacte a R en algún punto de dicha región.

29. Problemas actuales: • Problema 3:Con las mismas hipótesis que en el Problema 2, estudiar cómo variar los parámetros del A-spline cúbico, de forma tal que la curvatura de los puntos pertenecientes a la sección de la curva A-spline no tenga ni muchas oscilaciones ni grandes. • .

30. Referencias [Alb08] Albrecht, G., Becar, J.-P., Farin, G., Hansford, D., Ontheapproximation orderof tangentestimators., ComputerAidedGeometricDesign 25, 2008 [Baj01] Bajaj, C., Xu, G. (2001), Regular algebraic curve sections (III)-Applications in interactivedesign and data fitting. ComputerAidedGeometricDesing, 18: 149-173. [Beh05] Behar, S., Estrada Sarlabous, J., Hernandez, V., Leon, D. Smoothing of PolygonalChainsfor 2D ShapeRepresentationUsing a G2-Continuous A-Spline, in: Proceedings CIARP 2005, M. Lazo, A. Sanfeliu (eds.), 2005, 42-50,Springer Lecture Notes in ComputerSciences 3773. [Beh09] Behar, S., Construccion de una familia de A-splines cúbicos G2-continuos para la solución de diversos problemas de CAGD. Tesis presentada en opción del grado de Doctor en Ciencias Matemáticas, La Habana, 2009. [Bir33] Birkhoff, G., AestheticMeasure. Harvard UniversityPress, 1933. [Boor78] De Boor, C., A practical guide tosplines. Springer-Verlag, New York, 1978. [Brie86] Brieskorn E. y Knorrer H. Planealgebraic curves, BirkhauserVerlag . (1986) , pag. 232. [Chan88] Chandler, R. E., A tracking algorithmforimplicitly de ned curves, IEEE ComputerGraphics and Applications, 1988.

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33. FIN Gracias!