q u o dif cil comunicar n.
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Q uão difícil é comunicar?. Andreia Teixeira 27 de Maio. Complexidade de Comunicação. x. y. f ( x,y )=?. Um Protocolo Simples. x. f(x,y) = z. Quantos bits são necessários para esta comunicação?. log |X| + log |Z| bits. Complexidade de Comunicação. f: X  Y → {0,1}

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Presentation Transcript
q u o dif cil comunicar

Quão difícil é comunicar?

Andreia Teixeira

27 de Maio

um protocolo simples
Um Protocolo Simples

x

f(x,y) = z

Quantos bits são necessários para esta comunicação?

log |X| + log |Z| bits

complexidade de comunica o1
Complexidade de Comunicação

f: X  Y → {0,1}

Um protocolo P de domínio X  Y e contra-domínio {0,1} é uma

árvore binária, onde cada nó é etiquetado por uma função

av : X → {0,1} ou por uma função bv : Y → {0,1} e cada folha é

etiquetada com um elemento z  {0,1}.

Exemplo:

X = {x, x’, x’’, x’’’}

Y = {y, y’, y’’, y’’’}

slide5

O Protocolo

a1(x)=0

a1(x’)=0

a1(x’’)=1

a1(x’’’)=1

0

1

b2(y)=0

b2(y’)=0

b2(y’’)=0

b2(y’’’)=1

b3(y)=1

b3(y’)=0

b3(y’’)=0

b3(y’’’)=0

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O

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a4(x)=0

a4(x’)=0

a4(x’’)=0

a4(x’’’)=1

0

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O

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O Protocolo

a1(x)=0

a1(x’)=0

a1(x’’)=1

a1(x’’’)=1

0

1

b2(y)=0

b2(y’)=0

b2(y’’)=0

b2(y’’’)=1

b3(y)=1

b3(y’)=0

b3(y’’)=0

b3(y’’’)=0

0

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0

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1

a4(x)=0

a4(x’)=0

a4(x’’)=0

a4(x’’’)=1

0

1

1

O

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O Protocolo

a1(x)=0

a1(x’)=0

a1(x’’)=1

a1(x’’’)=1

0

1

b2(y)=0

b2(y’)=0

b2(y’’)=0

b2(y’’’)=1

b3(y)=1

b3(y’)=0

b3(y’’)=0

b3(y’’’)=0

0

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O

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a4(x)=0

a4(x’)=0

a4(x’’)=0

a4(x’’’)=1

0

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1

O

O

slide8

O Protocolo

a1(x)=0

a1(x’)=0

a1(x’’)=1

a1(x’’’)=1

0

1

b2(y)=0

b2(y’)=0

b2(y’’)=0

b2(y’’’)=1

b3(y)=1

b3(y’)=0

b3(y’’)=0

b3(y’’’)=0

0

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0

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O

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1

a4(x)=0

a4(x’)=0

a4(x’’)=0

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O

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O Protocolo

a1(x)=0

a1(x’)=0

a1(x’’)=1

a1(x’’’)=1

0

1

b2(y)=0

b2(y’)=0

b2(y’’)=0

b2(y’’’)=1

b3(y)=1

b3(y’)=0

b3(y’’)=0

b3(y’’’)=0

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O

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a4(x)=0

a4(x’)=0

a4(x’’)=0

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O

O

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O Protocolo

a1(x)=0

a1(x’)=0

a1(x’’)=1

a1(x’’’)=1

0

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b2(y)=0

b2(y’)=0

b2(y’’)=0

b2(y’’’)=1

b3(y)=1

b3(y’)=0

b3(y’’)=0

b3(y’’’)=0

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O

O

1

a4(x)=0

a4(x’)=0

a4(x’’)=0

a4(x’’’)=1

0

1

O custo do Protocolo para o input (x’’,y) é o tamanho do caminho percorrido: 2.

1

O

O

complexidade de comunica o2
Complexidade de Comunicação

O custo de um protocolo P , DP f, corresponde à altura da árvore

binária associada ao protocolo.

Para uma função f: X  Y  {0,1}, a complexidade de comunicação, D(f),

(determinística) de f é o min {DP f : P é um protocolo para f}.

Para toda a função f: X  Y  {0,1}, D(f) ≤ log |X| + 1.

rect ngulos combinat rios
Rectângulos Combinatórios

Dado um conjunto finito R, um rectângulo combinatório é um conjunto

A  B, onde A e B são subconjuntos de R.

Um rectângulo combinatório A  B é denominado z-monocromático se tem o mesmo valor z (0 ou 1) para todo o a  A e b  B.

rect ngulos combinat rios1
Rectângulos Combinatórios

Qualquer protocolo P para uma função f induz uma partição de

X  Y em rectângulos z-monocromáticos (z  {0,1}). O número destes rectângulos é igual ao número de folhas de P.

slide14

O Protocolo

a1(x)=0

a1(x’)=0

a1(x’’)=1

a1(x’’’)=1

0

1

b2(y)=0

b2(y’)=0

b2(y’’)=0

b2(y’’’)=1

b3(y)=1

b3(y’)=0

b3(y’’)=0

b3(y’’’)=0

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0

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O

O

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a4(x)=0

a4(x’)=0

a4(x’’)=0

a4(x’’’)=1

0

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1

O

O

slide15

O Protocolo

a1(x)=0

a1(x’)=0

a1(x’’)=1

a1(x’’’)=1

0

1

b2(y)=0

b2(y’)=0

b2(y’’)=0

b2(y’’’)=1

b3(y)=1

b3(y’)=0

b3(y’’)=0

b3(y’’’)=0

0

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0

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O

O

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a4(x)=0

a4(x’)=0

a4(x’’)=0

a4(x’’’)=1

0

1

1

O

O

slide16

O Protocolo

a1(x)=0

a1(x’)=0

a1(x’’)=1

a1(x’’’)=1

0

1

b2(y)=0

b2(y’)=0

b2(y’’)=0

b2(y’’’)=1

b3(y)=1

b3(y’)=0

b3(y’’)=0

b3(y’’’)=0

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O

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a4(x)=0

a4(x’)=0

a4(x’’)=0

a4(x’’’)=1

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O

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O Protocolo

a1(x)=0

a1(x’)=0

a1(x’’)=1

a1(x’’’)=1

0

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b2(y)=0

b2(y’)=0

b2(y’’)=0

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b3(y’)=0

b3(y’’)=0

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a4(x)=0

a4(x’)=0

a4(x’’)=0

a4(x’’’)=1

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O

O

slide18

O Protocolo

a1(x)=0

a1(x’)=0

a1(x’’)=1

a1(x’’’)=1

0

1

b2(y)=0

b2(y’)=0

b2(y’’)=0

b2(y’’’)=1

b3(y)=1

b3(y’)=0

b3(y’’)=0

b3(y’’’)=0

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O

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a4(x)=0

a4(x’)=0

a4(x’’)=0

a4(x’’’)=1

0

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O

O

slide19

O Protocolo

a1(x)=0

a1(x’)=0

a1(x’’)=1

a1(x’’’)=1

0

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b2(y)=0

b2(y’)=0

b2(y’’)=0

b2(y’’’)=1

b3(y)=1

b3(y’)=0

b3(y’’)=0

b3(y’’’)=0

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O

O

1

a4(x)=0

a4(x’)=0

a4(x’’)=0

a4(x’’’)=1

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1

O

O

slide20

O Protocolo

a1(x)=0

a1(x’)=0

a1(x’’)=1

a1(x’’’)=1

0

1

b2(y)=0

b2(y’)=0

b2(y’’)=0

b2(y’’’)=1

b3(y)=1

b3(y’)=0

b3(y’’)=0

b3(y’’’)=0

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O

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a4(x)=0

a4(x’)=0

a4(x’’)=0

a4(x’’’)=1

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O

O

slide21

O Protocolo

a1(x)=0

a1(x’)=0

a1(x’’)=1

a1(x’’’)=1

0

1

b2(y)=0

b2(y’)=0

b2(y’’)=0

b2(y’’’)=1

b3(y)=1

b3(y’)=0

b3(y’’)=0

b3(y’’’)=0

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O

O

1

a4(x)=0

a4(x’)=0

a4(x’’)=0

a4(x’’’)=1

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O

O

slide22

O Protocolo

a1(x)=0

a1(x’)=0

a1(x’’)=1

a1(x’’’)=1

0

1

b2(y)=0

b2(y’)=0

b2(y’’)=0

b2(y’’’)=1

b3(y)=1

b3(y’)=0

b3(y’’)=0

b3(y’’’)=0

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O

O

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a4(x)=0

a4(x’)=0

a4(x’’)=0

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O Protocolo

a1(x)=0

a1(x’)=0

a1(x’’)=1

a1(x’’’)=1

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b2(y)=0

b2(y’)=0

b2(y’’)=0

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b3(y’’’)=0

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O

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a4(x)=0

a4(x’)=0

a4(x’’)=0

a4(x’’’)=1

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O

O

slide24

O Protocolo

a1(x)=0

a1(x’)=0

a1(x’’)=1

a1(x’’’)=1

0

1

b2(y)=0

b2(y’)=0

b2(y’’)=0

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b3(y)=1

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O

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a4(x)=0

a4(x’)=0

a4(x’’)=0

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slide25

Exemplo

a1(x)=0

a1(x’)=0

a1(x’’)=0

a1(x’’’)=1

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b2(y)=0

b2(y’)=1

b2(y’’)=0

b2(y’’’)=0

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b3(y’)=0

b3(y’’)=1

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a4(x)=0

a4(x’)=0

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a4(x’’’)=1

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O

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O

propriedades
Propriedades

Seja P um protocolo e v um nó da árvore associada ao protocolo. Rv é o conjunto

dos inputs (x,y) que alcançam o nó v.

Se L é o conjunto das folhas de um protocolo P, então {Rl}lЄL é uma partição de X  Y.

R ⊆ X  Y é um rectângulo se e só se

(x1,y1)  R e (x2,y2)  R ⇒ (x1,y2)  R

propriedades1
Propriedades

Seja P um protocolo e v um nó da árvore associada ao protocolo. Rv é o conjunto

dos inputs (x,y) que alcançam o nó v.

Se L é o conjunto das folhas de um protocolo P, então {Rl}lЄL é uma partição de X  Y.

R ⊆ X  Y é um rectângulo se e só se

(x1,y1)  R e (x2,y2)  R ⇒ (x1,y2)  R

minorante da d f
Minorante da D(f)

Se qualquer partição de X  Y em rectângulos monocromáticos

necessita de pelo menos t rectângulos então D(f) ≥ ⌈log t⌉.

t cnicas
Técnicas
  • Conjuntos Enganadores
  • Tamanho dos Rectângulos
  • Característica da Matriz
conjuntos enganadores
Conjuntos Enganadores

Seja f: X  Y → {0,1}. Um conjunto S ⊂ X  Y é denominado de conjunto enganador

(para f) se existe um valor z {0,1} tal que

  • Para todo (x,y)  S, f(x,y) = z.
  • Para dois quaisquer pares distintos (x1,y1) e (x2,y2) em S,

f(x1,y2) ≠ z ou f(x2,y1) ≠ z.

Se f tem um conjunto enganador S de tamanho t, então D(f) ≥ log t.

conjuntos enganadores1
Conjuntos Enganadores

Seja f: X  Y → {0,1}. Um conjunto S ⊂ X  Y é denominado de conjunto enganador

(para f) se existe um valor z {0,1} tal que

  • Para todo (x,y)  S, f(x,y) = z.
  • Para dois quaisquer pares distintos (x1,y1) e (x2,y2) em S,

f(x1,y2) ≠ z ou f(x2,y1) ≠ z.

Se f tem um conjunto enganador S de tamanho t, então D(f) ≥ log t.

conjuntos enganadores2
Conjuntos Enganadores

Exemplo: x, y {0,1}n

EQ(x,y) =

  • se x = y
  • 0 caso contrário

Um conjunto enganador de tamanho 2n é

S1={(α, α) : α{0,1}n }

D(EQ) ≥ n.

Considerando os 0-rectângulos monocromáticos,

concluímos que D(EQ) ≥ n+1.

Como D(EQ) ≤ n+1, temos que D(EQ) = n+1.

tamanho dos rect ngulos
Tamanho dos Rectângulos

Seja μ uma distribuição de probabilidade de X  Y. Se qualquer rectângulo R

z-monocromático (z  {0,1}) tem medida μ(R) ≤ δ, então D(f) ≥ log 1/δ.

Exemplo: x, y {0,1}n

EQ(x,y) =

1 se x = y

0 caso contrário

tamanho dos rect ngulos1
Tamanho dos Rectângulos

Seja μ uma distribuição de probabilidade de X  Y. Se qualquer rectângulo R

z-monocromático (z  {0,1}) tem medida μ(R) ≤ δ, então D(f) ≥ log 1/δ.

Exemplo: x, y {0,1}n

EQ(x,y) =

1 se x = y

0 caso contrário

Como cada rectângulo R 1-monocromático tem dimensões 1 x 1, temos que μ(R) ≤ 1/2n . Como existe, pelo menos um rectângulo 0-monocromático, D(EQ) ≥ log 2n +1 = n + 1.

Como D(EQ) ≤ n+1, temos que D(EQ) = n+1.

caracter stica
Característica

Para qualquer função f:X  Y → {0,1}, D(f) ≥ log car(Mf) , onde Mf é a matriz

associada à função f.

Exemplo: x, y {0,1}n

1 se x = y

0 caso contrário

EQ(x,y) =

M(EQ)=

Como M(EQ) = 2n , temos que D(EQ) ≥ n.

caracter stica1
Característica

Para qualquer função f: X  Y → {0,1}, D(f) ≥ log car(f) , onde car(f) é a característica

da matriz associada à função f.

Exemplo: x, y {0,1}n

1 se x = y

0 caso contrário

EQ(x,y) =

M(EQ)=

Como M(EQ) = 2n , temos que D(EQ) ≥ n.

complexidade de comunica o3
Complexidade de Comunicação

O custo de um protocolo P , DP f, corresponde à altura da árvore

binária associada ao protocolo.

Para uma função f: X  Y  {0,1}, a complexidade de comunicação, D(f),

(determinística) de f é o min {DP f : P é um protocolo para f}.

Para toda a função f: X  Y  {0,1}, D(f) ≤ log |x| + log |z|.

propriedades2
Propriedades

Prova: (⇒) Considere-se um rectângulo R, isto é, R= A  B, para A ⊆ X e B ⊆ Y.

Pretende-se mostrar que se (x1,y1)e (x2,y2)pertencem a R então (x1,y2)

também pertence a R. Se (x1,y1)Є R, então x1  A e y1  B. Do mesmo modo,

se (x2,y2) R, então x2 A e y2 B. Portanto, os pares (x1,y2)e (x2,y1).

pertencem a A  B = R.

(⇐) Considerem-se os seguintes conjuntos:

A = { x: existe y tal que (x,y)  R} e B = { y: existe x tal que (x,y)  R}.

Por definição de A e B é, evidente, que R ⊆ A  B, pois se (x,y)  R, então x  A

e y  B e, portanto (x,y)  A  B.

Para se mostrar que A  B ⊆ R, considere-se

(x,y) A  B. Como x A, então existe y' B tal que (x,y')  R. Analogamente,

como y B, então existe x' A tal que (x',y)  R. Logo (x,y')  R e (x',y) R.

Assim, por hipótese resulta que (x,y)  R. Portanto A  B ⊆ R.

conjuntos enganadores3
Conjuntos Enganadores

Prova:

Qualquer rectângulo R que contenha dois pontos distintos (x1,y1) e (x2,y2),

ambos pertencentes a S, também contém os pontos (x1,y2) e (x2,y1). No entanto,

S é um conjunto enganador, logo o valor de f em (x1,y1) e (x2,y2) é z e, pelo

menos, um dos pontos (x1,y2) ou (x2,y1) tem valor por f diferente de z. Logo R não

é monocromático. Assim, nenhum rectângulo monocromático contém mais do

que um elemento de S. Logo, são necessários, pelo menos, t rectângulos para

fazer uma partição de S. Logo vem que D(f) ≥ ⌈log t⌉.

caracter stica2
Característica

Prova: Seja P um protocolo para a função f e seja L o conjunto de folhas para as

quais f(x,y)=1. Define-se uma matriz Ml para cada uma das folhas, de tal

maneira que Ml(x,y)=1 se (x,y) Rl e Ml(x,y)=0 se (x,y)  Rl, onde os rectângulos

Rl correspondem aos pares (x,y) que ``terminam'' na folha l. A matriz da função

é a soma de todas as matrizes definidas para cada uma das folhas l L, isto é,

Mf = ∑ Ml. Usando as propriedades da característica de uma matriz, vem que

car(Mf) ≤ ∑ car(Ml). Como car(Ml) = 1 vem que car(Mf) ≤ |L|. Qualquer protocolo

P tem de ter, pelo menos, car(Mf) folhas, logo D(f) ≥ ⌈log(car(Mf))⌉.