第六章 微分方程及其应用

1. 第六章 微分方程及其应用 6.1常微分方程的基本概念与分离变量法 6.2一阶线性微分方程 6.3二阶常系数线性微分方程 6.4常微分在经济中应用

2. 6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法 6.1.1 微分方程的基本概念 1. 微分方程 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。 注：在微分方程中，如果未知函数是一元函数，则方程称为常 微分方程，简称微分方程。 2. 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶.

3. 一般地，n 阶微分方程的一般形式为： 3. 微分方程的解、通解 （1）若某函数代入微分方程后，能使该方程两端恒等，则这个函 数为该微分方程的解。 如 y = x2 + 2是方程（1）的解, 显然 y = x2 + C也是方程（1）的解. （2）如果微分方程的解中所含独立常数的个数等于微分方程的阶 数，这样的解称为微分方程的通解. 如 y = x2 + C是方程（1）的通解. 4．微分方程的初始条件和特解 （1）确定通解中任意常数值的附加条件叫做初始条件；

4. 一般地 一阶微分方程的初始条件为： 二阶微分方程的初始条件为： （2）由初始条件确定了通解中任意常数后所得到的解，称为微 分方程的特解。 如 y = x2 + 2是方程（1）的特解.

5. 中含有一个任意常数C，而所给方程又是一阶微分方程，中含有一个任意常数C，而所给方程又是一阶微分方程， 是所给方程的通解. 中含有两个任意常数，而所给方程又是二阶的，

6. 6.1.2 分离变量法 1．定义 形如 的方程称为可分离变量的方程. 特点 -- 等式右端可以分解成两个函数之积，其中一个只是x 的函数，另一个只是y的函数 2．解法 设

7. 当g(y)≠0时，两端积分得通解 注 (1)当g(y)=0时，设其根为y =α，则y =α也是原方程的解； 解 分离变量，得 ydy = -xdx ,

8. 说明：在解微分方程时，如果得到一个含对数的等式，为了说明：在解微分方程时，如果得到一个含对数的等式，为了 利用对数的性质将结果进一步化简，可将任意常数写成klnC的形 式，k的值可根据实际情况来确定，如例2中取k=1/2.

9. 例5 设降落伞从跳伞台下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞 离开塔顶(t = 0)时的速度为零。求降落伞下落速度与时间的函 数关系. 解 设 降落伞下落速度为v(t)时伞所受空气阻力为-k （负号表示阻力与运动方向相反（k为常数） 伞在下降过程中还受重力P = mg作用， 由牛顿第二定律得 于是所给问题归结为求解初值问题

11. 由此可见，随着t的增大，速度趋于常数mg/k，但不会超过由此可见，随着t的增大，速度趋于常数mg/k，但不会超过 mg/k，这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀 速运动.

12. 6.2 一阶线性微分方程 6.2.1 一阶线性微分方程 1．定义： 形如 的方程，称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q(x)是已知的连 续函数, Q(x)称为自由项． 　特点： 方程中的未知函数y及导数 都是一次的． 2．分类 　若 Q(x)= 0, 即 称为一阶线性齐次微分方程． 若Q(x)≠0, 则方程(1)称为一阶线性非齐次微分方程．

13. 3．一阶线性齐次方程的解法 类型： 可分离变量的微分方程． 其中 C 为任意常数. 4．一阶线性非齐次方程的解法 用常数变易法．

14. 在方程（1）所对应的齐次方程的通解的基础上进行变易,在方程（1）所对应的齐次方程的通解的基础上进行变易, 假设方程（1）有如下形式的解： 其中 C（x）为待定函数．

15. 于是方程(1)的通解为： （4）式称为一阶线性非齐次方程（1）的通解公式． 　　上述求解方法称为常数变易法． 用常数变易法求一阶线性非齐次方程的通解的一般步骤为： (1)先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解； (2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解将所求 出的齐次方程的通解中的任意常数C改为待定函数C(x)即可； (3)将所设解带入非齐次线性方程，解出C(x)，并写出非齐次线性 方程的通解．

16. ① ①式对应的齐次方程为 ② 将方程②分离变量得 两边积分得 即 所以齐次方程②的通解为： ③ 将上述通解中的任意常数C换成待定函数C(x)，将其待入方程①得

17. 将C(x)代入式③ 得原方程的通解：

18. 例3　在串联电路中，设有电阻R，电感L和交流电动势E = E0sinωt， 在时刻t = 0时接通电路，求电流i与时间t的关系（E0,ω为常 数）． 解　设任一时刻t的电流为i． 我们知道，电流在电阻R上产生一个电压降uR = Ri， 在电感L上产生的电压降是 由回路电压定律知道，闭合电路中电动势等于电压降之和，即 ①

19. 式①为一阶非齐次线性方程的标准形式，其中 利用一阶非齐次线性方程之求解公式得通解：

20. 6.2.2 可降阶的高阶微分方程 特点：方程y(n) = f(x)的右端仅含有自变量． 解法：将两端分别积分一次，得到一个n-1阶微分方程;再积分 一次，得到n-2阶微分方程，连续积分n次，便可得到该 方程的通解． 解 将所给方程连续积分三次，得

21. 特点：方程右端不含未知函数y 解法：令y’ = t，则y″= t’，于是原方程可化为以 t 为未知函 数的一阶微分方程　t’= f(x ,t)．

22. 解 令y’= t，则y″= t’， 代入原方程得 分离变量得 两边积分得 即 再积分得

23. 例6 如图，位于坐标原点的我舰向位于x轴上A(1,0)点处的敌舰发 射制导鱼雷，鱼雷始终对准敌舰．设敌舰以常速v0沿平行于 y 轴的直线行驶，又设鱼雷的速率为2v0，求鱼雷的航行曲线方程． 　解 设鱼雷的航行曲线方程为 y = y(x)， 在时刻，鱼雷的坐标为P(x,y)，敌舰 的坐标为Q(1, v0t)． 因为鱼雷始终对准敌舰，所以

24. 从上面两式消去v0t得： 两边关于x求导得: 即 这是不显含y的可降阶微分方程,根据题意，初始条件为 令y’= p，方程可化为 分离变量可解得 即

25. 所以 而 所以 积分得 以 y(0)= 0代入，得 所以鱼雷的航行曲线方程为： 特点： 方程右端不含变量x

26. 从而将原方程化为一阶微分方程： 代入原方程得 当y≠0，P≠0时，分离变量得： 两端积分得： 当P ＝ 0时，则y = C（C为任意常数），

27. 　显然，它已含在解 所以原方程的通解为：

28. 6.3 二阶常系数线性微分方程 　定义 形如 的方程，称为二阶常系数线性微分方程．其中p,q为常数. 注 ① 当f(x)≠0时，方程(1)称为二阶常系数非齐次线性微分方程； 　　② 当f(x)=0时，即 方程(2)称为二阶常系数齐次线性微分方程． 6.3.1 二阶常系数线性微分方程解的性质 1．齐次线性方程解的结构 定义：设y1 = y1(x)与y2 = y2(x)是定义在区间(a,b)内的函数，如果 存在两个不全为零的常数 k1, k2，使得对于 (a,b) 内的任一x恒有

29. k1 y1 + k2 y2 = 0成立，则称y1与y2在 (a,b)内线性相关， 否则称为线性无关． 由定义知： y1与y2线性相关的充分必要条件是 不恒为常数，则y1与y2线性无关． 定理1 （齐次线性方程解的叠加原理）

30. 若y1与y2是齐次线性方程(2)的两个解，则y = C1 y1+C2 y2也是 (2)的解，且当与线性无关时，y = C1 y1+C2 y2就是式(2)的通解． 证 将y = C1 y1+ C2 y2 直接代入方程(2)的左端，得 所以 y = C1 y1+C2 y2是方程(2)的解, 又 y1 与 y2线性无关，C1和C2是两个独立的任意常数, 即 y = C1 y1+C2 y2中所含独立的任意常数的个数与方程(2)的阶数 相同 , 所以 它又是方程(2)的通解. 2．非齐次线性方程解的结构 　　 定理2 （非齐次线性方程解的结构）

31. 若yp为非齐次线性方程(1)的某个特解，yc为方程(1)所对应若yp为非齐次线性方程(1)的某个特解，yc为方程(1)所对应 的齐次线性方程(2)的通解，则 y = yp+ yc为非齐次线性方程 (1) 之通解． 证　 将y = yp+ yc代入方程(1)的左端有 所以 yp+ yc 确为方程(1)的解． 又 yc 中含有两个独立的任意常数， 所以 y = yp+ yc 中也含有两独立的任意常数， 故 y = yp+ yc 为方程(1)的通解．

32. 定理3 若y1为方程 y2为方程 则 y = y1 + y2 为方程 的解. 证： 将y = y1 + y2代入方程 (3)左端得 6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法 其中 p, q 为常数.

33. 令方程(2)的解为 （r为待定常数） 代入方程(2)得 (4) 由此可见，只要r满足方程(4)，函数 就是方程(2)的解． 定义 称方程(4)为微分方程(2)的特征方程，方程(4)的两个根 r1 , r2 称为特征根． 由于特征方程(4)的两个根 只能有三种 不同情形，相应地，齐次方程(2)的通解也有三种不同的形式． ①当Δ= p2 - 4q > 0时，特征方程(4)有两个不相等的实根r1≠ r2 ．

34. 由上面的讨论知道 是方程(1)的两个解． 又y1与y2线性无关，因此方程(2)的通解为: ② 当Δ= p2 - 4q = 0时，特征方程(4)有两个相等实根 r = r1 = r2 ． 我们只能得到方程(1)的一个解 对y2求导得 代入方程(2)，得

35. 又 r是特征方程的二重根， 因为u(x)不是常数，不妨取u(x)= x， 这样得到方程（2）的 另一个解 从而方程（2）的通解为 ③ 如果Δ= p2 - 4q < 0，即特征方程(4)有一对共轭复根

36. 为了求出方程(2)的两个实数形式的解，利用欧拉公式为了求出方程(2)的两个实数形式的解，利用欧拉公式 将y1与y2分别改写为 由定理1知， 仍是方程(2)的解，这时 不是常数，

37. 即 综上，求二阶常系数齐次线性微分方程通解的步骤如下： 第一步 写出方程的特征方程 第二步 求出特征方程的两个根r1及r2 ; 第三步 根据特征根的不同情况，写出微分方程的通解． 具体如下：

38. 通解形式 特征方程的根 解 特征方程为 特征根

39. 因此，方程的通解为 解 特征方程为 特征根 因此，方程的通解为 解 特征方程为 特征根为 于是方程的通解为

40. 解 特征方程为 特征根 因此方程的通解为 故所求特解为 三、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法

41. 其中p,q为常数，f(x)≠0 它对应的齐次方程为： 其中λ为常数，Pm(x)为x的m次多项式，即 设想方程(5)有形如 其中Q(x)是一 个待定多项式．

42. 代入方程(5)，整理后得到： (6) ① 当λ2+pλ+q ≠0时，设 (7) 其中b0,b1,…,bm为m+1个待定系数 将式(7)代入式(6)，比较等式两边同次幂的系数，得到以 b0,b1,…,bm为未知数的m+1个线性方程的联立方程组，从而求出 b0,b1,…,bm，即确定Q(x)，于是可得方程(5)的一个特解为 ② 当λ2+pλ+q=0且2λ+ p ≠0 时，(即λ为特征方程的单根)

43. 那么式(6)成为 由此可见，Q’与Pm(x)同次幂，故应设 其中Q m(x)为m次待定多项式． 将Q m(x)代入式(6) 确定Q m(x)的m+1个系数，从而得到方程 (5)的一个特解： ③ 当 λ2+pλ+q = 0 且2λ+ p =0 时，(即为特征方程的重根) 那么式(6)成为 故应设

44. 将它代入式(6)， 确定Q m(x)的系数 所以方程(5)的一个特解为 综上所述，我们有如下结论： 二阶常系数非齐次线性微分方程 (5) 具有形如 的特解，其中Q m(x)为m 次多项式，k的确定如下：

45. 根据欧拉公式及前面分析的结果可以推出下面的结论（讨论过程根据欧拉公式及前面分析的结果可以推出下面的结论（讨论过程 从略）： 其中 Q m(x)与R m(x) 均为m次多项式(m = max{l，n})，其系数 待定，而

46. 　解 原方程对应的齐次方程的特征方程为 其特征根为 代入原方程得 即 比较系数得：

47. 所以 解 对应的特征方程为 特征根 所以，齐次方程的通解为 λ=3 恰是二重特征根

48. 代入原方程后化简得： 于是 所以，原方程的通解为 解 对应的特征方程为 特征根 对应的齐次方程的通解为 λ=2 是特征单根，

49. 代入原方程得： 整理得： 比较两端得 于是

50. 故所给方程的通解为 　解 特征方程为 特征根为 代入原方程得 比较等式两端得： 于是