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  1. Matemática I Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D.

  2. Conteúdo da Seção • Polinômios • Monômios • Fatoração • Operações com Polinômios • Módulo • Equações e Raízes • 1º e 2º grau, Irracionais e Modulares • Sistemas de Equações Lineares • Inequações e Inequações Modulares

  3. Definições Termo Algébrico é o produto de um número (chamado coeficiente) por potências racionais de variáveis.

  4. Definições Monômio é um termo algébrico em que o coeficiente é real e os expoentes são naturais. O grau de um monômio é a soma dos expoentes de suas variáveis.

  5. Definições Polinômio é uma soma de monômios. O grau de um polinômio é o mais alto grau dentre os seus monômios. Se um polinômio possui apenas uma variável x, ele é, em geral, representado por P(x). Se um polinômio possui duas variáveis x e y, ele é, em geral, representado por P(x,y).

  6. Definições O valor numérico de um polinômio é o número obtido quando atribuímos valores às variáveis.

  7. Fatoração Fatorar um polinômio significa transformá-lo num produto de polinômios de graus menores que o do original.

  8. Adição e Subtração de Polinômios As operações de adição e subtração são efetuadas entre os termos semelhantes, somando-se ou subtraindo-se as constantes destes termos.

  9. Multiplicação de Polinômios Na operação de multiplicação, usamos a propriedade distributiva e depois agrupamos os termos semelhantes.

  10. Divisão de Polinômios Somente se efetua a divisão entre dois polinômios quando o grau do dividendo for maior ou igual ao grau do divisor. Exemplo: Dividir

  11. Divisão entre Polinômios

  12. Divisão entre Polinômios Então, a seguinte igualdade pode ser escrita:

  13. Divisão entre Polinômios Já que:

  14. Divisão entre Polinômios Exercício Dividir

  15. Identidades e Equações Uma identidade é uma igualdade que se verifica para quaisquer valores atribuídos às variáveis. Uma equação é uma igualdade que se verifica para alguns valores atribuídos às variáveis.

  16. Raiz de uma Equação Um número é a raiz de uma equação, se torna a igualdade verdadeira. Exemplo:

  17. Grau de uma Equação O grau de uma equação é dado pelo termo de maior grau da mesma.

  18. Princípios Gerais para Resolução de Equações Numa equação, podemos transpor um termo (isto é, mudá-lo de lado da equação), desde que o multipliquemos por -1. Uma equação não se altera quando multiplicamos ambos os membros (todos os termos da equação de ambos os lados) por uma constante diferente de zero.

  19. Equação do Primeiro Grau Toda equação que pode ser escrita na forma , em que a, b R, a¹0 e xé uma variável, é denominada uma equação do primeiro grau. O valor é chamado de raiz da equação do primeiro grau.

  20. Equação do Primeiro GrauExercícios Ache as raízes das seguintes equações: 1) 2) 3)

  21. Equação do Primeiro GrauSoluções

  22. Equações do Primeiro GrauSoluções

  23. Equações do Primeiro GrauSoluções

  24. Equação do Segundo Grau Fórmula de Bháskara Toda equação que pode ser escrita na forma onde a, b e c . Suas raízes x1e x2 são dadas pelas expressões:

  25. Equação do Segundo Grau O número de raízes para cada equação do segundo grau varia de acordo com delta (D):

  26. Equação do Segundo Grau Exercícios Encontre as raízes das equações abaixo: a) b) c) d)

  27. Equação do Segundo Grau Soluções Encontre as raízes das equações abaixo: a) b) c) d)

  28. Equação do Segundo Grau Fatoração Seja a equação onde a, b e c, com a¹ 0. A fatoração dessa equação é dada por: onde x1 e x2são as raízes da equação.

  29. Equação do Segundo Grau Fatoração - Exercício • Fatore a equação: • As raízes dessa equação são x1 = 3 e x2 = –2, assim a forma fatorada é:

  30. Sistema de Duas Equações Lineares • Um sistema de equações é um conjunto de equações relacionadas em que o conjunto solução deve satisfazer a todas as equações isoladamente. • Existem dois métodos básicos para se resolver um sistema de equações: • Substituição • Eliminação

  31. Sistema de Duas Equações LinearesMétodo de Substituição Este método consiste em obter o valor de uma variável em uma das equações e substituir este valor na outra.

  32. Sistema de Duas Equações LinearesMétodo de Eliminação Este método consiste em planejar a eliminação de uma variável por meio da soma de duas ou mais equações.

  33. Equações Irracionais Uma equação é dita irracional quando a incógnita aparece embaixo de uma raiz. Para se resolver esse tipo de equação, devemos elevar ambos os termos a uma potência conveniente. Sempre que elevamos uma equação a um expoente devemos verificar os resultados, porque raízes estranhas ao resultado original podem aparecer.

  34. Equações IrracionaisExemplo Resolva a equação Solução:

  35. Inequações • Uma inequação é uma desigualdade que se verifica para alguns valores atribuídos às variáveis. • Intuitivamente uma inequação é uma equação em que o sinal de igualdade é substituído por um dos seguintes operadores matemáticos: > - Maior que < - Menor que ≥ - Maior ou igual que ≤ - Menor ou igual que

  36. Inequação do Primeiro Grau Toda inequação que pode ser escrita numa das seguintes formas em que a, b, a¹0 e xé uma variável, é denominada uma inequação do primeiro grau.

  37. Princípios Gerais para Resolução de Inequações • Passando elemento de um lado para o outro... • O termo que troca de lado muda de sinal. • O sentido da desigualdade é mantido. • Multiplicando por um número positivo ambos os lados... • O sentido da desigualdade é mantido. • Multiplicando por um número negativo ambos os lados... • O sentido da desigualdade é invertido. • Invertendo... • Se os dois lados da desigualdade são positivos, inverter os dois lados também inverte o sentido da desigualdade.

  38. Inequação do Primeiro GrauExercícios Ache as raízes das seguintes equações: 1) 2) 3)

  39. Inequação do Primeiro GrauSoluções

  40. Inequações do Primeiro GrauSoluções

  41. Inequações do Primeiro GrauSoluções

  42. O Valor Absoluto ou módulo de um número real, denotado por é definido por . é sempre nulo ou positivo, isto é, não negativo. NúmerosValor Absoluto ou Módulo

  43. Números Módulo Teoremas

  44. NúmerosMódulo Teoremas

  45. NúmerosMódulo Teoremas

  46. NúmerosMódulo Teoremas

  47. Equações Modulares Resolva Solução

  48. Inequações Modulares Resolva Pelo Teorema

  49. LCL Freios Automotivos Ltda. A LCL Freios Automotivos Ltda., importante fornecedora de freios automotivos nacionais, tem, como matéria-prima de um de seu produtos, pequenos discos de aço. O departamento de produção informou ao departamento de compras que o diâmetro dos discos necessários à produção é de 30mm, com uma variação de 5mm para cima ou para baixo desse valor. Descreva a desigualdade modular que expressa o pedido feito pelo departamento de produção.

  50. LCL Freios Automotivos Ltda. Solução Uma variação de 5mm é aceitável em torno do valor correto de 30mm. Logo o módulo da diferença entre o diâmetro (d) do disco recebido e o desejado (30mm) deve ser no máximo 5mm.