第四章二叉树

第四章二叉树

主要内容 • 4.1 二叉树的概念 • 4.2 二叉树的主要性质 • 4.3 二叉树的抽象数据类型 • 4.4 周游二叉树 • 4.5 二叉树的实现 • 4.6 二叉搜索树 • 4.7 堆与优先队列 • 4.8 Huffman编码树

4.1 二叉树的概念 • 4.1.1 二叉树的定义及相关概念 • 4.1.2 满二叉树完全二叉树扩充二叉树

二叉树的定义 • 二叉树由结点的有限集合构成: • 或者为空集 • 或者由一个根结点及两棵不相交的分别称作这个根的左子树和右子树的二叉树(它们也是结点的集合)组成 • 这是个递归的定义。二叉树可以是空集合，因此根可以有空的左子树或右子树，或者左右子树皆为空

二叉树的五种基本形态 (a)空 (b)独根 (c)空右 (d)空左 (e)左右都不空

满二叉树 • 如果一棵二叉树的任何结点，或者是树叶，或者恰有两棵非空子树，则此二叉树称作满二叉树

完全二叉树 • 若一颗二叉树 • 最多只有最下面的两层结点度数可以小于2 • 最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则称此二叉树为完全二叉树 • 在许多算法和算法分析中都明显地或隐含地用到完全二叉树的概念

完全二叉树

扩充二叉树 • 当二叉树里出现空的子树时，就增加新的、特殊的结点——空树叶 • 对于原来二叉树里度数为1的分支结点，在它下面增加一个空树叶 • 对于原来二叉树的树叶，在它下面增加两个空树叶 • 扩充的二叉树是满二叉树，新增加的空树叶(外部结点)的个数等于原来二叉树的结点个数加1

扩充二叉树

扩充二叉树 • 外部路径长度E从扩充的二叉树的根到每个外部结点的路径长度之和 • 内部路径长度I扩充的二叉树里从根到每个内部结点的路径长度之和 • E和I两个量之间的关系为 E=I+2n

4.2 二叉树的主要性质 1.满二叉树定理：非空满二叉树树叶数等于其分支结点数加1。证明：设二叉树结点数为n，叶结点数为m，分支结点数为b。有n（总结点数= m（叶)+b（分支） (公式4.1) ∵ 每个分支，恰有两个子结点（满），故有2*b条边；一颗二叉树，除根结点外，每个结点都恰有一条边联接父结点，故共有n-1条边。即n - 1 = 2b (公式4.2) ∴由(公式4.1)，(公式4.2)得 n-1=m+b-1 = 2b，得出 m(叶) = b（分支）+ 1

4.2 二叉树的性质 2.满二叉树定理推论：一个非空二叉树的空子树(指针) 数目等于其结点数加1。证明：设二叉树T，将其所有空子树换为树叶，记新的扩充满二叉树为T’。所有原来T的结点现在是T’的分支结点。根据满二叉树定理，新添加的树叶数目等于T结点个数加1。而每个新添加的树叶对应T的一个空子树。因此T中空子树数目等于T中结点数加1。

4.2 二叉树的性质 3.任何一颗二叉树，度为0的结点比度为2的结点多一个证明：设有n个结点的二叉树的度为0、1、2的结点数分别为=n0，n1，n2，则 n = n0 + n1 + n2 (公式4.3) 设边数为e。因为除根以外，每个结点都有一条边进入，故 n = e + 1。由于这些边是有度为1和2的的结点射出的，因此e = n1+ 2·n2，于是 n = e + 1= n1 + 2·n2 + 1 （公式4.4）因此由公式（1）（2）得 n0 + n1 + n2 = n1 + 2·n2 + 1 即 n0 = n2 + 1

4.2 二叉树的性质 • 二叉树的高度定义为二叉树中层数最大的叶结点的层数加1 • 二叉树的深度定义为二叉树中层数最大的叶结点的层数

4.2 二叉树的性质 • 4. 二叉树的第i层（根为第0层，i≥1）最多有2i个结点 • 5. 高度为k(深度为k-1。只有一个根结点的二叉树的高度为1，深度为0)的二叉树至多有2k-1个结点 • 6. 有n个结点（n>0）的完全二叉树的高度为log2 (n+1) (深度为log2 (n+1) - 1)

4.3 二叉树的抽象数据类型 • 定义了二叉树的逻辑结构之后，我们需要考虑在二叉树逻辑结构之上的各种可能运算，这些运算应该适合二叉树的各种应用： • 二叉树的某些运算是针对整棵树的 • 初始化二叉树 • 合并两棵二叉树 • 二叉树的大部分运算都是围绕结点进行的 • 访问某个结点的左子结点、右子结点、父结点 • 访问结点存储的数据。

4.3 二叉树的抽象数据类型 • 二叉树结点抽象数据类型BinaryTreeNode是带有参数 T 的模板，T是存储在结点中的数据类型 • 每个元素结点都有leftchild()和rightchild()左右子结点结构 • 另外每个结点还包含一个数据域value()。 • 为了强调抽象数据类型与存储无关，我们并没有具体规定该抽象数据类型的存储方式

4.3 二叉树的抽象数据类型 template <class T> class BinaryTreeNode { //申明二叉树为结点类的友元类，便于访问私有 //数据成员 friend class BinaryTree; private: //二叉树结点数据域 T element; // 实现时，可以补充private的左子结点 //右子结点定义

4.3 二叉树的抽象数据类型 public: BinaryTreeNode(); //缺省构造函数 BinaryTreeNode(const T& ele);//拷贝构造函数 //给定了结点值和左右子树的构造函数 BinaryTreeNode(const T& ele, BinaryTreeNode<T>* l, BinaryTreeNode<T>* r); T value() const;//返回当前结点的数据 //返回当前结点指向左子树 BinaryTreeNode<T>* leftchild() const; //返回当前结点指向右子树 BinaryTreeNode<T>* rightchild() const;

4.3 二叉树的抽象数据类型 //设置当前结点的左子树 void setLeftchild(BinaryTreeNode<T>*) ; //设置当前结点的右子树 void setRightchild(BinaryTreeNode<T>*) ; //设置当前结点的数据域 void setValue(const T& val); //判定当前结点是否为叶结点,若是返回true bool isLeaf() const; //重载赋值操作符 BinaryTreeNode<T>& operator= (const BinaryTreeNode<T>& Node); };

4.3 二叉树的抽象数据类型 • 二叉树的抽象数据类型的C++定义BinaryTree，没有具体规定该抽象数据类型的存储方式 template <class T> class BinaryTree { private: //二叉树根结点指针 BinaryTreeNode<T>* root; //从二叉树的root结点开始 //查找current结点的父结点 BinaryTreeNode<T>* GetParent(BinaryTreeNode<T>* root, BinaryTreeNode<T>* current);

4.3 二叉树的抽象数据类型 public: BinaryTree(root=NULL); //构造函数 ~BinaryTree() {DeleteBinaryTree(root);};//析构函数 bool isEmpty() const; //判定二叉树是否为空树 //返回二叉树根结点 BinaryTreeNode<T>* Root(){return root;}; //返回current结点的父结点 BinaryTreeNode<T>* Parent(BinaryTreeNode<T>* current); //返回current结点的左兄弟 BinaryTreeNode<T>* LeftSibling( BinaryTreeNode<T>* current);

4.3 二叉树的抽象数据类型 //返回current结点的右兄弟 BinaryTreeNode<T>* RightSibling( BinaryTreeNode<T>* current); // 以elem作为根结点，leftTree作为树的左子树, //rightTree作为树的右子树，构造一棵新的二叉树 void CreateTree(const T& elem, BinaryTree<T>& leftTree, BinaryTree<T>& rightTree); //前序周游二叉树或其子树 void PreOrder(BinaryTreeNode<T>* root)； //中序周游二叉树或其子树 void InOrder(BinaryTreeNode<T>* root)；

4.3 二叉树的抽象数据类型 //后序周游二叉树或其子树 void PostOrder(BinaryTreeNode<T>* root)； //按层次周游二叉树或其子树 void LevelOrder(BinaryTreeNode<T>* root)； //删除二叉树或其子树 void DeleteBinaryTree(BinaryTreeNode<T>* root); };

4.4 周游二叉树 • 周游系统地访问数据结构中的结点。每个结点都正好被访问到一次。 • 周游一棵二叉树的过程实际上就是把二叉树的结点放入一个线性序列的过程，或者说把二叉树进行线性化

4.4 周游二叉树 • 二叉树周游 • 4.4.1 深度优先周游二叉树 • 4.4.2 非递归深度优先周游二叉树 • 4.4.3 广度优先周游二叉树

深度优先周游二叉树 我们变换一下根结点的周游顺序，可以得到以下三种方案： ① 前序周游(tLR次序)：访问根结点；前序周游左子树；前序周游右子树。 ② 中序周游(LtR次序)：中序周游左子树；访问根结点；中序周游右子树。 ③ 后序周游(LRt次序)：后序周游左子树；后序周游右子树；访问根结点。

深度优先周游二叉树 • 深度周游如下二叉树

深度优先周游二叉树 • 深度周游二叉树结果 • ① 前序周游：ABDCEGFHI • ② 中序周游：DBAEGCHFI • ③ 后序周游：DBGEHIFCA

深度优先周游二叉树（递归实现） template<class T> void BinaryTree<T>::DepthOrder (BinaryTreeNode<T>* root) ｛ if(root!=NULL){ Visit(root); //前序 DepthOrder(root->leftchild()); //访问左子树 Visit(root); //中序 DepthOrder(root->rightchild());//访问右子树 Visit(root); //后序 } ｝

非递归深度优先周游二叉树 • 栈是实现递归的最常用的结构 • 深度优先二叉树周游是递归定义的 • 利用一个栈来记下尚待周游的结点或子树，以备以后访问。

非递归前序周游二叉树 • 思想： • 遇到一个结点，就访问该结点，并把此结点推入栈中，然后下降去周游它的左子树； • 周游完它的左子树后，从栈顶托出这个结点，并按照它的右链接指示的地址再去周游该结点的右子树结构。 template<class T> void BinaryTree<T>::PreOrderWithoutRecusion (BinaryTreeNode<T>* root) //非递归前序遍历二叉树或其子树

非递归前序周游二叉树 { using std::stack; //使用STL中的stack stack<BinaryTreeNode<T>* > aStack; BinaryTreeNode<T>* pointer=root; while(!aStack.empty()||pointer){ if(pointer){ //访问当前结点 Visit(pointer->value()); //当前结点地址入栈 aStack.push(pointer);

非递归前序周游二叉树 //当前链接结构指向左孩子 pointer=pointer->leftchild(); } else {//左子树访问完毕，转向访问右子树 pointer=aStack.top(); aStack.pop(); //栈顶元素退栈 //当前链接结构指向右孩子 pointer=pointer->rightchild(); } } //end while }

非递归中序周游二叉树 • 思想： • 遇到一个结点，就把它推入栈中，并去周游它的左子树 • 周游完左子树后，从栈顶托出这个结点并访问之，然后按照它的右链接指示的地址再去周游该结点的右子树。 • template<class T> void BinaryTree<T>::InOrderWithoutRecusion(BinaryTreeNode<T>* root) //非递归中序遍历二叉树或其子树

非递归中序周游二叉树 { using std::stack; //使用STL中的stack stack<BinaryTreeNode<T>* > aStack; BinaryTreeNode<T>* pointer=root; while(!aStack.empty()||pointer) { if(pointer){ //当前结点地址入栈 aStack.push(pointer); //当前链接结构指向左孩子 pointer=pointer->leftchild();

非递归中序周游二叉树 }//end if else {//左子树访问完毕，转向访问右子树 pointer=aStack.top(); Visit(pointer->value());//访问当前结点 //当前链接结构指向右孩子 pointer=pointer->rightchild(); aStack.pop(); //栈顶元素退栈 }//end else } //end while }

非递归后序周游二叉树 • 思想: • 遇到一个结点，把它推入栈中，周游它的左子树 • 周游结束后，还不能马上访问处于栈顶的该结点，而是要再按照它的右链接结构指示的地址去周游该结点的右子树 • 周游遍右子树后才能从栈顶托出该结点并访问之

非递归后序周游二叉树 • 解决方案： • 需要给栈中的每个元素加上一个特征位，以便当从栈顶托出一个结点时区别是从栈顶元素左边回来的(则要继续周游右子树)，还是从右边回来的(该结点的左、右子树均已周游) • 特征为Left表示已进入该结点的左子树，将从左边回来；特征为Right表示已进入该结点的右子树，将从右边回来

非递归后序周游二叉树 • 栈中的元素类型定义StackElement enum Tags{Left,Right}; //特征标识定义 template <class T> class StackElement //栈元素的定义 { public: //指向二叉树结点的链接 BinaryTreeNode<T>* pointer; //特征标识申明 Tags tag; };

非递归后序周游二叉树 template<class T> void BinaryTree<T>::PostOrderWithoutRecusion (BinaryTreeNode<T>* root) //非递归后序遍历二叉树或其子树 { using std::stack;//使用STL栈部分 StackElement<T> element; stack<StackElement<T > > aStack;//栈申明 BinaryTreeNode<T>* pointer; if(root==NULL) return;//空树即返回

非递归后序周游二叉树 //else pointer=root; while(true){//进入左子树 while(pointer!=NULL){ element.pointer=pointer; element.tag=Left; aStack.push(element); //沿左子树方向向下周游 pointer=pointer->leftchild(); } //托出栈顶元素 element=aStack.top();

非递归后序周游二叉树 aStack.pop(); pointer=element.pointer; //从右子树回来 while(element.tag==Right){ Visit(pointer->value());//访问当前结点 if(aStack.empty()) return; //else{ element=aStack.top();

非递归后序周游二叉树 aStack.pop();//弹栈 pointer=element.pointer; // }//end else }//end while //从左子树回来 element.tag=Right; aStack.push(element); //转向访问右子树 pointer=pointer->rightchild(); }//end while }

问题讨论 • 前序周游算法是否还可以简洁一些？ • 前序、中序、后序框架的算法通用性？ • 例如后序框架是否支持前序、中序访问？若支持，怎么改动？ • 非递归周游的意义？ • 栈中存放了什么？

思考题 • 习题4.8: 给定结点类型为BinaryTreeNode的三个指针p、q、rt，假设rt↑为根结点，求距离结点p↑和结点q↑最近的这两个结点的共同祖先结点。 • 上机题4.2：表达式二叉树。把计算机内部的一棵表达式二叉树，输出为相应的中缀表达式（可以带括号，但不允许冗余括号）

广度优先周游二叉树 • 从二叉树的第一层（根结点）开始，自上至下逐层遍历；在同一层中，按照从左到右的顺序对结点逐一访问。 • 例如：ABCDEFGHI

广度优先周游二叉树 template<class T> Void BinaryTree<T>::LevelOrder (BinaryTreeNode<T>* root) { using std::queue; //使用STL的队列 queue<BinaryTreeNode<T>*> aQueue; BinaryTreeNode<T>* pointer=root; if(pointer) aQueue.push(pointer); while(!aQueue.empty())

广度优先周游二叉树 { //取队列首结点 pointer=aQueue.front(); Visit(pointer->value());//访问当前结点 aQueue.pop(); //左子树进队列 if(pointer->leftchild()) aQueue.push(pointer->leftchild()); //右子树进队列 if(pointer->rightchild()) aQueue.push(pointer->rightchild()); }//end while }

第四章 二叉树