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高 等 数 学 课程编号： 3000011002

高 等 数 学 课程编号： 3000011002. 8.1.1 　多元函数的概念. 8.1.2 　多元函数的极限. 8.1.3 　多元函数的连续性. 8.1 多元函数的极限与连续. 学习要求：. 理解多元函数的概念及二元函数的几何意义 知道二元函数的极限、连续性等概念 会求二元函数的极限. 二元函数的概念. 二元函数的极限与连续. 学习 重点 ：. 8.1.1 多元函数的概念. 1. 二元函数的定义. 引言：微积分是研究“变量问题”的数学工具，实际 问题中常常碰到多变量的函数问题，如.

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高 等 数 学 课程编号： 3000011002

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Presentation Transcript

  1. 高 等 数 学 课程编号： 3000011002

  2. 8.1.1　多元函数的概念 8.1.2　多元函数的极限 8.1.3　多元函数的连续性 8.1 多元函数的极限与连续

  3. 学习要求： • 理解多元函数的概念及二元函数的几何意义 • 知道二元函数的极限、连续性等概念 • 会求二元函数的极限

  4. 二元函数的概念 二元函数的极限与连续 学习重点：

  5. 8.1.1 多元函数的概念 1.二元函数的定义 引言：微积分是研究“变量问题”的数学工具，实际 问题中常常碰到多变量的函数问题，如 （1）圆柱体体积：V= R2H ; （2）欧姆定律描述电路中的电压V与线路的电阻R及 电流I的关系： V= IR （3）一定质量的理想气体，其体积与压力均与气体 所受的温度有关，其关系式为：pV=RT。

  6. 定义域—D；值域—{z|z = f (x,y), (x,y)D} 自变量—x,y；因变量—z。 类似地可定义三元及三元以上函数．

  7. 2.二元函数的定义域 二元函数的定义域是由一条或几条平面曲线(包括直线) 所围成的xoy平面上的有限部分或无限部分， 也可能是整个xoy坐标面，称它们为区域， 围成区域的曲线（直线）称为该区域的边界. （包括边界在内的区域称为闭区域； 不包括边界在内的区域称为开区域）.

  8. . ( ) 回忆一维空间中点的邻域概念 利用 “点” 将邻域概念推广到平面

  9. 开圆盘 y . x O

  10. 例1 求 的定义域． 解 所求定义域为

  11. D: 全平面。 D: x2+y2<1. D: y-x>0, x>0, x2+y2<1.

  12. 3.二元函数 的图形

  13. ——通常是一张曲面（函数曲面）.

  14. 8.1.2 多元函数的极限 记作 也可记作

  15. 说明：

  16. 无穷小量的性质 例 解 由于 (有界量) (无穷小量) 又

  17. 等价无穷小替代 例 似曾相识 解

  18. 此题另一解法 利用重要极限

  19. 设函数 例 证明: 当P(x, y) 沿直线 y = kx的方向 无限接近点(0,0)时, 其值随k的不同而变化. 所以,极限不存在．

  20. 该例还说明一个问题 虽然沿无穷多个方向 对此你有什么想法 ?

  21. “无穷多个方向”不等于“任意方向”. 可利用方向性来判别 多元函数的极限不存在.

  22. 的方式和方向无关, 由于极限存在应与 练习 解 而上述结果与 k 值有关, 故原极限不存在.

  23. 确定二重极限不存在的方法：

  24. 8.1.3 多元函数的连续性 二元函数连续的几何特征—— 图形不断裂。

  25. 例 讨论 f ( x, y)在(0,0)处的连续性. 解 所以 f ( x, y)在(0,0)处连续.

  26. 例 解 由分母不能为零, 故所给函数在圆周 上没有定义 圆周上各点都是该函数的间断点. 注意 二元函数的间断点可能是若干孤立的点，也可能连成一条连续曲线

  27. 小 结： 1.多元函数的定义 2.多元函数极限的概念 （注意趋近方式的任意性） 3.多元函数连续的概念

  28. 作 业： P195 习题8.1 3 (3)、(4) ; 5

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