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  1. 大 綱 大 綱 圖片 表格 2-1 三角函數 2-2 純量與向量 2-3 向量的表示法 2-4 向量的加法 2-5 向量的減法 2-6 向量的分解 2-7 向量的相乘

  2. 習題解答 大 綱 圖片 表格 圖2-1 圖2-2 圖2-3 圖2-4 圖2-5 圖2-6 圖2-7 圖2-8 圖2-9 圖2-10 圖2-11 圖2-12 圖2-13 圖2-14 圖2-15 圖2-16 圖2-17 圖2-18 圖2-19 圖2-20 圖2-21 圖2-22 圖2-23 圖2-24 圖2-25 圖2-26 圖2-27 圖2-28

  3. 圖 片 大 綱 圖片 表格 表2-1

  4. 2-1 三角函數 • (一)有向角 (1)自正x軸以反時針方向測量半徑與正x軸的夾角時,其角度為正;反之,以順時針方向所測得的角度為負,例如30°與-330°表示同一角度。 (2)平面角有二種不同的單位,即度或弧度(亦稱弳),轉一圈相當於360°或2π弧度,因此 180°=π 30°=π/6=0.52弧度

  5. (3) 弧度=或  θ= (2-1)

  6. (二)三角函數的定義 (1)在圖2-2中,當A點在第一象限時,就直角三角形OAB而言,其三個銳角三角函數的定義如下: 正弦函數:sinθ= ( ) (2-2) 餘弦函數:cosθ= ( ) (2-3) 正切函數:tanθ= ( ) (2-4)

  7. (2)θ可推廣至任意其它角度,在圖2-2中,如果設半徑r等於1,則半徑 在y軸上的投影(或分量)就是正弦函數值,而在x軸上的投影就是餘弦函數值

  8. (3)表2-1是一些較常用角度之正弦和餘弦函數值。

  9. 例題一 如圖2-3所示,直角三角形ABC的斜邊 為5公尺,θ為37º,求(a) 的長度為何?(b) 的長度為何?

  10. 解:(a) 由(2-2)式可得 sinθ= 對邊=斜邊×sinθ (1) 故  =5 × sin37 º = 3公尺 (b)由(2-3)式可得 cosθ= 鄰邊=斜邊×cosθ (2) 故   =5 × cos37 º =4公尺

  11. (三)反三角函數 在圖2-4之直角三角形ABC中,如果已知其邊長,要計算銳角的角度,可以利用反三角函數,例如: sinβ=  故  β=sin-1( ) cosβ=  故  β=cos-1( ) tanβ=  故  β=tan-1( )

  12. 上面這些反函數符號sin-1、cos-1、tan-1,亦可用arc sin、arc cos、arc tan來表示,反三角函數的答案,很容易由計算機求得。

  13. 例題二 如圖2-4之直角三角形中,已知兩股長 =5公尺 , =12公尺,求角度θ為何? 解:由於 tanθ= ,故 θ= tan-1( )=22.6°

  14. (四)三角函數的一些公式 以下介紹本書中將使用的一些關於三角函數的公式: (1)sin(90˚-θ)=cosθ (2-5) 例如:sin30˚=sin(90˚-60˚)=cos60˚=0.5 (2)sin(180˚-θ)=sinθ (2-6) 例如:sin150˚=sin(180˚-30 ˚)=sin30˚=0.5 (3)sin2θ=2sinθcosθ (2-7) 例如:sin120˚=sin(2×60˚)=2sin60˚ cos60˚= /2

  15. (4)正弦定律:在圖2-5之△ABC 中,三邊長與三內角之關係式為 (2-8)

  16. (5)餘弦定律:在圖2-5之△ABC 中,邊長與內角之關係式為 c2=a2+b2-2abcosγ b2=c2+a2-2cacosβ a2=b2+c2-2bccosα (2-9)

  17. (6)當角θ很小,且以弧度為單位時,sinθ、tanθ及θ三者的數值非常接近,即(6)當角θ很小,且以弧度為單位時,sinθ、tanθ及θ三者的數值非常接近,即 sinθ≈ tanθ≈θ(2-10) 例如:當θ=5º=0.0872弧度時, sin0.0872=0.0871,tan0.0872=0.0874, 這些誤差很小,故sinθ≈θ,tanθ≈θ。

  18. 2-2 純量與向量 • (一)有些物理量僅須描述其大小就能明確表示其特性稱為純量,如時間、質量、路徑、面積、速率、能量、功、電荷等皆為純量。 • (二)有些物理量必須同時描述其大小和方向才能完整表現其特性的物理量稱為向量。例如位移、速度、加速度、力、力矩、動量等皆為向量。

  19. 2-3 向量的表示法 在一維之直線上運動的質點,只有兩個運動方向,其中一個方向若定義為正,另一個方向則為負,因此,可用正、負號來表示其方向性。 但對於一個在二維平面或三維空間運動的質點,常用箭號表示,以下介紹向量的表示法:

  20. (一)符號表示法 (1)向量通常有兩種表示方法,一種是在代表物理量的符號上方加一橫向箭頭,比如 表示速度向量, 表示力向量。 (2)另一種方法是用粗體字母來表示,如 v、F。手寫時,以前者表示較方便。 (3)如果只論及向量的大小,一般直接以物理量的符號來表示,如 v、F,或是對該向量加上絕對值符號, 如| |、 | | 或 |v|、|F|。

  21. (二)圖示法 (1)以箭號來表示向量,其箭頭的指向表示向量的方向,其長度代表向量的大小。 (2)如圖2-6所示,以線段1公分代表10公里,則3公分表示30公里,方向朝東。

  22. (三)單位向量 (1)單位向量是指大小等於1,並指向某一特定方向的向量,例如向量 可寫為 =A (2-11) 上式中 表示平行於 的單位向量,其大小| |=1。 (2)習慣上,在字母上方加帽號 ^ 表示單位向量, 加箭號 則表示一般向量。

  23. (3)在三維的坐標系中,分別以 、 、 來表示朝向x、y、z軸之正方向的單位向量,如圖2-8所示。

  24. 2-4 向量的加法 二個向量 與 相加,其向量和可寫為 + = (2-12) • (一)三角形法 (1)在圖2-9(a)中,有兩力同時作用於一物體O,向量平移時不能改變其大小和方向。如圖2-10,先畫出向量 ,再畫向量,使 的箭尾接於的箭頭,然後由 的箭尾畫一直線至 的箭頭,所形成的向量即為向量和。

  25. (2)一般而言兩向量之和的大小不等於兩向量大小之 和(何種情況除外?),其關係式為 | |+| | ≧ | + | (2-13) (3)將向量平移,使兩向量箭尾相接,其間較小的夾角,即稱為兩向量的夾角,如圖2-9中之θ,而非指α。

  26. (4)以下我們討論 與 在特殊夾角時, 其向量和的特性: (a)若 與同方向時:即夾角為0°時,由圖2-11可知,其向量和的大小直接等於兩向量大小之和,即R=A+B,而向量和的方向與其分量同方向。

  27. (b)若 與反方向時:即夾角為180º時,由圖2-12可知,其向量和的大小等於兩向量大小之差, 即R=|A-B|,而向量和的方向與其分量長度較大者同方向。 (c)若 與互相垂直:即夾角為90˚時,由圖2-13及畢氏定理可知,其向量和的大小為R= ,向量和 與的夾角為 tan-1(B/A)。

  28. (二)平行四邊形法 (1)在圖2-14(a)中,使兩向量的箭尾相接,再以此兩向量為鄰邊作出平行四邊形,然後自兩向量箭尾相接處畫至另一對角所得的對角線向量,即為兩向量之和。 (2)向量的加法遵守交換律,即 + = + (2-14)

  29. (三)多邊形法 (1)如圖2-15(a)所示,求三個或更多向量之合向量時,可將各向量平移,使其箭頭箭尾連續相接,然後自第一個向量的箭尾畫至最後一個向量的箭頭,所形成的新向量即為各向量的合向量,如圖2-15(b)所示。 (2)向量的加法遵守結合律,即 (+ )+ = +(+ ) (2-15)

  30. 2-5 向量的減法 • (一)兩向量 與 相減可寫為 • = - = +(- ) (2-16) • (二)求 - 之差的簡便方法,為將兩者之箭尾相接後,自 之箭頭畫一向量至之箭頭,所形成的新向量即代表兩向量之差。

  31. (三)兩向量相加或相減時,若用平行四邊形法來圖解,則其中一對角線代表兩者之和+ ,如圖2-17之實線向量所示;另一對角線代表兩者 • 之差- ,如圖2-17之虛線向量所示。

  32. 例題三 在圖2-17中,若 與 兩向量的大小分別為10與6,兩向量之夾角為60°,試求(a)+ 的大小為何? (b)- 的大小為何? 解: (a)在△OMQ中,利用餘弦定律可得 | + |= = =14 (b)在△OPM 中,利用餘弦定律可得 | + |= = =8.7

  33. 2-6 向量的分解 • (一)二維平面之向量的分解 (1)平行四邊形法 (a)一般最常用的是將一向量分解為互相垂直的兩分量,如圖2-18(b)所示,將向量的箭尾置於直角坐標系的原點O上,再自的箭頭分別作x軸與y軸的垂直線,所得之Ax與Ay即分別為向量在x軸與y軸上之分量的大小。若θ為向量與正x軸的夾角,則 Ax=A cosθ (2-18) Ay=A sinθ (2-19)

  34. (b)用分量來表示原來的向量時, 可寫為 (2-20) 例如圖2-18(b)中之 箭頭處的坐標若為(3,4),則 = (c)反過來,利用分量可求得原始向量 的大小及方向,在圖2-18(b)中,由畢氏定理可得 (2-21) tanθ=或θ=tan-1 (2-22)

  35. (2)三角形法 以原始向量為斜邊,畫出一個直角三角形,則所得之兩股即為其兩個互相垂直的分量,如圖2-19所示,得 =

  36. (二)三維空間之向量的分解 (1)在三維空間中,以原始向量為體對角線,x軸、y軸和z軸為邊,畫出一個長方體,所得之長(Ax)、寬(Ay)和高(Az)分別為原始向量平行於三個坐標軸的三個分量。

  37. (2)原始向量可表示為 = (2-25) 例如,在圖2-20(a)中之箭頭處的坐標 若為(3, 4, 5),則

  38. (3)在圖2-20 (a)中,由畢氏定理可得 的大小為 A2=A12+A22 (2-26) 由圖(b)可得 A12=Ax2+Ay2 , A22=Az2(2-27) 因此,在三維空間中 的大小與其分量的關係式為 A= (2-28)

  39. (三)用分量法求向量的和與差 若有與兩向量,分別以單位向量表示如下: = = 則此兩向量的和與差可分別寫為

  40. 例題四 • 已知二向量, , ,求(a) • + =? (b)| + |=? (c)A+B=? (d) - =? 解

  41. 例題五 在圖2-21(a)中,有四個力作用在同一物體上,其力圖如圖(b)所示,單位為牛頓,試求其合力的 (a)大小為何? (b)方向為何?

  42. (a)先將每個力分解 故合力為 由畢氏定理得合力的大小為 R= =28.2牛頓

  43. (b)合力與正x軸的夾角θ為 tanθ= =0.19 故θ=tan-1 0.19=10.8º 合力的向量如圖2-21(c)所示。

  44. 2-7 向量的相乘 • (一)純量與向量相乘 (1)純量m與一向量 相乘,即m,其乘積仍然為一向量,此新向量的大小為原向量大小的|m|倍。若m為正,則新向量與原向量的方向相同;若m為負,則新向量與原向量的方向相反。 (2)圖解法不難證明下列二式成立 m+n=(m+n) (2-33) m(+ )=m+m (2-34)