1 / 65

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές. Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή. Ιστορικά . 1736 Euler, γέφυρες Koenigsburg 1847 Kirchoff , δένδρα, ηλεκτρικά δίκτυα 1847 Cayley, δένδρα, ισομερή υδρογονανθράκων C n H 2n+2 1850 Cayley - De Morgan - Moebius,

kathie
Download Presentation

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Θεωρία ΓραφημάτωνΘεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο1: Εισαγωγή

  2. Ιστορικά • 1736 Euler, γέφυρες Koenigsburg • 1847 Kirchoff, δένδρα, ηλεκτρικά δίκτυα • 1847 Cayley, δένδρα, ισομερή υδρογονανθράκων CnH2n+2 • 1850 Cayley - De Morgan - Moebius, χρωματισμός με 4 χρώματα • 1859 Hamilton, δωδεκάεδρο • 1936 Koenig, το πρώτο βιβλίο

  3. Ιστορικά – Γέφυρες Konigsberg Μπορούμε να ξεκινήσουμε από ένα σημείο Α και να επιστρέψουμε στο Α, έχοντας περάσει από κάθε γέφυρα μία και μόνο-μία φορά?

  4. Ιστορικά – Γέφυρες Konigsberg 7 Γέφυρες →

  5. Ιστορικά – Γέφυρες Konigsberg 6Γέφυρες http://mathforum.org/isaac/problems/bridges1.html

  6. Μοντελοποίηση Προβλήματος → → http://en.wikipedia.org/wiki/Seven_Bridges_of_K%C3%B6nigsberg

  7. Μοντελοποίηση Προβλήματος → → Παρατήρηση !!! Το γράφημα έχει τρεις (3) κόμβους περιττού βαθμού !!!

  8. Γραφήματα Euler

  9. Γραφήματα Euler

  10. Γραφήματα Euler Χωρίς να το υπολογίσεις, βρες αν το παρακάτω γράφημα έχει διαδρομή Euler

  11. Γραφήματα Euler Γράφημα έχει μόνο δύο (2) κόμβους περιττού βαθμού, επομένως… ΝΑΙ έχει διαδρομή Euler

  12. Εφαρμογές Θεωρίας Γραφημάτων Έστω ότι έχουμε C1, C2, …, Cnφάρμακα, και έστω [ti, ti’] είναι η θερμοκρασία συντήρησης του φαρμάκου Ci, 1 ≤ i ≤ n; Θέλουμε η θερμοκρασία Τ του ψυγείου για την συντήρηση max πλήθος φαρμάκων Έστω ότι στο πλανήτη Γη έχουν εμφανιστεί έως σήμερα Π1, Π2, …, Πnπολιτισμοί, και έστω [xi, xi’] είναι η χρονική περίοδος εμφάνισης του πολιτισμού Πi, 1 ≤ i ≤ n; Θέλουμε το έτος Χ στο οποίο εμφανίστηκε max πλήθος πολιτισμών πάνω στη Γη

  13. Αλγόριθμοι Θεωρίας Γραφημάτων Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι… (Γραμμικοί) Προβλήματα: NP-Πλήρη Επιλογές Προσέγγιση Λύσης Περιορισμοί Ιδιοτήτων

  14. Βασικές Έννοιες (1) • Ορισμός: σύνολο κόμβων (κορυφών) και ακμών • Συμβολισμός: G(V,E), G=(V,E), (V(G) ,E(G)), (n,m), (p,q) • |V| = n : τάξη-order • |E| = m : μέγεθος-size • Πεπερασμένο γράφημα: n,m πεπερασμένα • Άπειρο γράφημα • Ειδικές περιπτώσεις:n = 0 : κενό-empty n = 1 : τετριμμένο-trivial m =0: μηδενικό-null (Nn)

  15. Βασικές Έννοιες (2) • Τερματικοί κόμβοι και προσπίπτουσα ακμή • Γειτονικοί κόμβοι – ανεξάρτητοι κόμβοι • Ανοικτό σύνολο γειτνίασης κόμβου: Ν(v) • Κλειστό σύνολο γειτνίασης κόμβου: Ν[v] • Βαθμός κόμβου v – degree d(v) • Ισχύει d(v)=|N(v)| • Ελάχιστος και μέγιστος βαθμός γραφήματος: d(G), D(G)

  16. Βασικές Έννοιες (3) • Τακτικά γραφήματα (regular): • Κυκλικό γράφημα (Cn): όλοι οι κόμβοι d(v)=2 (κυβικός k = 3) • Πλατωνικά γραφήματα (τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο, εικοσάεδρο)

  17. Βασικές Έννοιες (4) • Απομονωμένος κόμβος – isolatedd(v)=0 • Εκκρεμής κόμβος – pendantd(v)=1 • Συνδεδεμένες συνιστώσες (k) • Συνδεδεμένο γράφημα • Συνδεδεμένος γράφημα κατά ελάχιστο τρόπο • Σειρά – rank (r = n - k) • Μηδενικότητα – nullity (μ = m – n - k) • Βρόχος και Παράλληλες ακμές • Απλό γράφημα, Ψευδο-γράφημα, Πολύ-γράφημα, Επαγόμενο, Κατευθυνόμενο και Τόξα

  18. Βασικές Έννοιες (5) a b • d(e) = 0 (απομονωμένος) • d(f) = 1 (εκκρεμής) • CC(G) = 2 (μη-συννεκτικό) e c d f • Συνεκτικές Συνιστώσες k = 2 • Σειρά r = 6-2(r = n-k) • Μηδενικότητα μ = 5-4 (μ = m-n-k)

  19. Βασικές Έννοιες (6) G1G2 G3G4 • Βρόχος • Παράλληλες Ακμές • Απλό Γράφημα : G3 • Πολύγράφημα : G1 (όχι G2) • Ψευδογράφημα : G2 (έχει βρόχους) • Κατευθυνόμενο : G4

  20. Βασικές Έννοιες (7) • Λήμμα: (των χειραψιών) Το άθροισμα των βαθμών όλων των κόμβων ενός γραφήματος G = (V, E) είναι διπλάσιο του πλήθους των ακμών του, δηλ. Σd(u)=2 |E| (1) Κάθε ακμή συνεισφέρει στο άθροισμα κατά 1 για κάθε ένα κόμβο στον οποίο προσπίπτει. • Πόρισμα: Για τακτικά γραφήματα G = (V, E) βαθμού k ισχύειη σχέση: k |V|=2 |E| (2) G τακτικός βαθμού k Σd(u)=k |V|. Από (1)  (2).

  21. Βασικές Έννοιες (8) • Θεώρημα: Το πλήθος των κόμβων περιττού βαθμού ενός γραφήματος G = (V, E) είναι άρτιος αριθμός. Από (1) (δηλ. Σd(u)=2 |E|)  Σd(u)= άρτιος αριθμός. Ισχύει: Σd(u)= άρτιος αριθμός, και Σd(u) = # κόμβων αρτίου βαθμού + # κόμβων περιττού βαθμού Επειδή το # κόμβων αρτίου βαθμού είναι άρτιο  το# κόμβων περιττού βαθμού είναι άρτιο.

  22. Βασικές Έννοιες (9) • Πλήρης γράφημα Κn • Κλίκα γραφήματος G – αριθμός κλίκας ω(G)  Max κλίκα του G ω(G) = 4 G Κ6

  23. Βασικές Έννοιες (10) • Θεώρημα: Ένα πλήρες γράφημα έχει n(n-1)/2 ακμές. • Το πλήθος των ακμών που προσπίπτουν σε ένα κόμβο ενός πλήρους γραφήματος G βαθμού n, είναι n-1. • Εάν αφαιρέσουμε ένα κόμβο από ένα πλήρες γράφημα G βαθμού n, το προκύπτων γράφημα G’ είναι πλήρες βαθμού n-1. • Επομένως, το πλήθος των ακμών του G είναι: (n-1) + (n-2) + … + 1 = n(n-1) / 2 Κ6

  24. Βασικές Έννοιες (11) • Θεώρημα: Έστω G απλό γράφημα n κόμβων και m ακμών, και έστω k  1 το πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών του G. Ισχύει: n-k≤ m≤(n-k)(n-k+1)/2 k = 1 (G συνεκτικό): n≤ m≤n(n-1)/2 ≤ m≤ • Πόρισμα: Κάθε απλό γράφημα G με n κόμβους και τουλάχιστο (n-1)(n-2)/2 ακμές είναι συνεκτικό.

  25. Βασικές Έννοιες (12) • Ισομορφικά γραφήματα, ίσα γραφήματα – επιγραφή/ετικέτα • Θεώρημα: Το πλήθος των διαφορετικών γραφημάτων με n κόμβους και m ακμές είναι: n(n-1)/2 m • Πόρισμα: Το πλήθος των διαφορετικών γραφημάτων με n κόμβους είναι 2^[n(n-1)/2] ( )

  26. Βασικές Έννοιες (13) • Έμβαρο γράφημα - βάρος ακμής • Υπογράφημα, υπεργράφημα, ζευγνύων υπογράφημα, επαγόμενο υπογράφημα 8 4 6  -2 9 2 4 3 8

  27. Βασικές Έννοιες (14) Επαγόμενα Γραφήματα 1 1 1 2 3 2 3 2 3 3 4 5 4 4 5 6 4 5 6 6 6 G = (V, E) V’= {1, 3, 4, 6} ? ? G [V’]

  28. Βασικές Έννοιες (15) Ισομορφικά Γραφήματα G1, G2 ισομορφικα εάν υπάρχει f 1-1 και επί (αμφιμονοσήματη αντιστοιχία μεταξύ των συνόλων V(G1) και V(G2)) : (x, y) ϵ E(G1)  (f(x), f(y)) ϵ E(G2) • ‘Ισa γραφήματα • V(G1) = V(G2) • E(G1) = E(G2) 2 1 3 2 1 3 5 6 4 5 6 4

  29. Πράξεις: Διαγραφή Κόμβου/Ακμής 1 • Διαγραφή κόμβου/ακμής – deletion • Συμβολισμός: G-{u}, G-{e} • … όμως, V’ = V-{u}, E’’ = E-{e} 6 2 3 4 5 G • Διαγραφή κόμβου u = 2 Διαγραφή ακμής e = {3,6} 1 1 6 6 2 G’G’’ 3 4 5 3 4 5

  30. Πράξεις:,, και • Ένωση – union (G1 G2) G = (V, E) = G1  G2V = V1 V2 E = E1 E2 • Τομή – intersection (G1G2) G = (V, E) = G1 G2V = V1V2 E = E1E2 • Άθροισμα δακτυλίου – ring sum(G1G2) G = (V, E) = G1 G2 V = V1 V2 E = {Ακμές που ανήκουν ΜΟΝΟ στο ένα γράφημα αλλά ΌΧΙ και στα ΔΥΟ}

  31. Πράξεις:,, και • Παράδειγμα: 2 2 6 3 1 1 3 G1 G2 5 4 4 2 6 2 6 2 1 3 1 3 1 3 4 5 4 5 4    G1 G1 G1 G2 G2 G2

  32. Πράξη:+ • Σύνδεσηή άθροισμα – joinor sum(G1+ G2) G = (V, E) = G1+ G2 V = V1 V2 E = Ε1 Ε2Ε3 όπου, Ε3= {όλες οι ακμές με ένα άκρο στο V1 και το άλλο στο V2}

  33. Πράξη:+ • Παράδειγμα:  + Κ2 Κ3Κ5 (complete graph)  + Κ1 (N1) Cn-1Wn (wheel graph)

  34. Πράξεις (1) • Καρτεσιανό Γινόμενο G1 G2 • Λεξικογραφικό Γινόμενο G1[G2] ? G2  G1  G2 G1 G2 G1 ? G2 G1 G1[G2] G2[G1]

  35. Καρτεσιανό Γινόμενο G1 G2 • Καρτεσιανό Γινόμενο G = (V, E) = G1 G2 • Σύνολο Κόμβων: V(G1 G2) = V(G1)(G2) • Σύνολο Ακμών: (x, y) Ε(G1G2), όπου x = (x1, x2) • y = (y1, y2) • εάν x1 = y1και (x2, y2)  E(G2), ή • εάν x2 = y2και (x1, y1)  E(G1) (x1, y1) (x1, y3) (x1, y2) x1 y2 y1 y3  G1G2 G2G1? x2 (x2, y1) (x2, y3) (x2, y2) G2 G1

  36. Λεξικογραφικό Γινόμενο G1 [G2] • Λεξικογραφικό Γινόμενο G = (V, E) = G1[G2] • Σύνολο Κόμβων: V(G1[G2]) = V(G1)(G2) • Σύνολο Ακμών: (x, y) Ε(G1[G2]), όπου x = (x1, x2) • y = (y1, y2) • εάν (x1, y1)  E(G1), ή • εάν x1 = y1και (x2, y2)  E(G2) (x1, y1) (x1, y3) (x1, y2) x1 y2 y1 y3  G1[G2]G2[G1]? x2 (x2, y1) (x2, y3) (x2, y2) G2 G1

  37. Πράξεις (2) … • Συμπλήρωμα – complement • Διμερές, πλήρες διμερές (αστεροειδές γράφημα Κ1,n) • Διαγραφή κόμβου/ακμής – deletion(G-{e}, G-{v}) • Κόμβος τομής ή σημείο άρθρωσης (articulation point) • Αποκόπτουσα ακμή ή γέφυρα (bridge) • Διασυνδεδεμένο (biconnected) • …

  38. Αποθήκευση Γραφημάτων (1) • Στατικές αναπαραστάσεις • Πίνακας γειτνίασης – adjacency matrix • Πίνακας προσπτώσεων – incidence matrix • Δυναμικές αναπαραστάσεις • Λίστες γειτνίασης – adjacency lists • Λίστες ακμών – edge lists (για αραιούς γράφους)

  39. Αποθήκευση Γραφημάτων (2) • Στατικές αναπαραστάσεις • Πίνακας γειτνίασης – adjacency matrix 1 2 3 4 5 6 1 0 1 0 00 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 00 1 0 1 1 1111 0 1 2 3 4 5 6 6 2 3 4 5

  40. Αποθήκευση Γραφημάτων (3) • Δυναμικές αναπαραστάσεις • Λίστες γειτνίασης – adjacency lists 1 6 1 2 3 4 5 6 2 3 6 1 6 2 4 6 2 5 6 3 6 2 3 4 5 4 2 3 5 1

  41. Αλγόριθμοι και Γραφήματα Αλγοριθμική θεωρία γραφημάτων Πολυπλοκότητα χώρου και χρόνου Συμβολισμός Ο Ανάλυση μέσης και χειρότερης περίπτωσης

  42. Ακολουθία Βαθμών (1) • Γραφική Ακολουθία Βαθμών • Μη αύξουσα ακολουθία ακεραίων S • Γραφική ακολουθίαεάν S  G • Eαν S  G, τότε G ονομάζεται πραγματοποίηση(realization) της ακολουθία S S = (2, 2,2,2,2, 2) • Συνθήκες: • Μη αρνητικές τιμές • Πλήθος περιττών βαθμών άρτιο • Τιμές μικρότερες από n

  43. Ακολουθία Βαθμών (2) • Ερώτηση: είναι οι συνθήκες αυτές ικανές για να αντιστοιχίζεται μια ακολουθία βαθμών S σε μοναδικό γράφημα G? • Παράδειγμα: 2,2,2,2,2,2 • Απλή (simple) Γραφική Ακολουθία εάν είναι γραφική και υπάρχει μοναδική πραγματοποίησήτης

  44. Ακολουθία Βαθμών (3) • Θεώρημα (Havel, 1955 and Hakimi, 1962): Μια ακολουθία βαθμών S = d1,d2,…,dn είναι γραφική, εάν-νη ακολουθίαβαθμών S1 = d2-1,d3-1,…,dd+1-1,dd+2, …,dn είναι γραφική. 1 1

  45. Ακολουθία Βαθμών (4) • Απόδειξη: () Έστω ότι η S1 = d2-1,d3-1,…,dd+1-1,dd+2, …,dn είναι γραφική, και έστω G1η πραγματοποίησή της. Θεωρούμε επιγραφές των n-1κόμβων τουγραφήματος G1 : x2,x3,…,xn έτσι ώστε: d(xi) = { 1 1 di-1 2 ≤i≤ d1+1 did1+2 ≤i≤ n

  46. Ακολουθία Βαθμών (4) • Απόδειξη… συνέχεια (1): Από G1 μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα νέο γράφημα G ως εξής: (i) εισάγουμε ένα νέο κόμβο x1, και (ii) ακμές (x1, xi)για2 ≤i ≤ di+1 Το γράφημα Gέχει ακολουθία βαθμών την S. Άρα, η ακολουθία S είναι γραφική.

  47. Ακολουθία Βαθμών (4) • Απόδειξη… συνέχεια (2): () Υποθέτουμε τώρα ότι η ακολουθία S είναι γραφική. Θα δείξουμε ότι η S1 είναι γραφική. ΕπειδήS γραφική  υπάρχουν μία ή περισσότερες πραγματοποιήσεις της S, δηλαδή, υπάρχουν γραφήματα G1,G2,…,Gk (k1) με n κόμβους και με ακολουθία βαθμών την S.

  48. Ακολουθία Βαθμών (4) • Απόδειξη… συνέχεια (3): Από τα γραφήματα αυτά, έστω G το γράφημα με την εξής ιδιότητα: (i) V(G) = {x1,x2,…,xn}, όπου d(xi)=di, 1≤i≤ n (ii) το άθροισμα των βαθμών των γειτονικών κόμβων του x1 είναι μέγιστο (maximum). Ισχυρισμός Α: ο κόμβος x1 στο γράφημα G είναι γειτονικός σε d1 κόμβους με βαθμούς d2, d3, …, dd+1 1

  49. Ακολουθία Βαθμών (4) • Απόδειξη… συνέχεια (4): Υποθέτουμε ότι ισχύει το αντίθετο, δηλ., ο κόμβος x1 στο γράφημα G, δενείναι γειτονικός σε όλους τους d1 κόμβους με βαθμούς d2, d3, …, dd+1. 1 Τότε υπάρχουν δύο κόμβοι xj και xiστο G: d(xj)> d(xi) και (x1, xj)  Ε(G) (x1, xi) Ε(G) x2 x3 xi . . . xj x1 . . . xd+1 1 G

  50. Ακολουθία Βαθμών (4) • Απόδειξη… συνέχεια (5): Υποθέτουμε ότι ισχύει το αντίθετο, δηλ., ο κόμβος x1 στο γράφημα G, δενείναι γειτονικός σε όλους τους d1 κόμβους με βαθμούς d2, d3, …, dd+1. 1 Επειδή d(xj)> d(xi), υπάρχει κόμβοςxkστο G: (xk, xj)  Ε(G) (x1, xi) Ε(G) x2 x3 xi . . . xj x1 xk . . . xd+1 1

More Related