计算机图形学曲线曲面

计算机图形学曲线曲面

曲线曲面概述 参数曲线基础曲线构造方法三次参数曲线目录

曲线曲面概述 • 图形学中一个很复杂的又非常重要的研究领域。 • 曲线曲面才是造型的真正统治者，它占据了我们生活和幻想中的造型的绝大部分。 • 但曲线曲面又是如此地难以理解，让人们在一段很长很长的时间内无法征服它。 • 自由曲线和曲面 • 规则的曲线和曲面，比如：圆和球，可以用固定的函数表达式来构造，但是他的造型能力有限，我们这儿不讨论。 • 自由曲线和曲面是指那些形状比较复杂、不能用初等解析函数直接表示出来的曲线和曲面。 • 它的应用极为广泛，在动画领域上举足轻重，在造型工业设计上更是独占鳌头。汽车车身、飞机机翼和轮船船体等的曲线和曲面均属于这一类。

曲线曲面概述 • 自由曲线和曲面发展过程 • 自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的形状，则沿样条绘制曲线。 • 1963年，美国波音，Ferguson提出使用参数三次方程来构造曲面 • 1964~1967年，美国MIT，Coons用封闭曲线的四条边界来定义曲面 • 1971年，法国雷诺汽车，Bezier提出用控制多边形来定义曲线和曲面 • 1974年，美国通用汽车，Cordon和Riesenfeld, Forrest, B样条曲线曲面 • 1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条 • 80年代，Piegl和Tiller, 非均匀有理B样条，NURBS方法

曲线曲面概述 • 对于曲线曲面设计方法的要求： • 几何意义直观，设计不必考虑其数学表达 • 形状易于预控制和修改，修改其中一点，不影响全局，只有在很小范围内的形状受到影响 • 几何不变性，对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。 • 易于定界，寻找边界 • 易于实现光滑连接 • 统一的数学表示，便于建立统一的数据库

曲线曲面概述 参数曲线基础曲线构造方法三次参数曲线 Beizer曲线 B样条曲线目录

参数曲线基础 • 显式、隐式和参数表示 • 曲线和曲面都有参数表示和非参数表示之分 • 在非参数中又分为显式和隐式表示 • 显式表示：每个x值对应一个y值 • 比如：一条直线y=ax+b，一条平面曲线y=f（x）。可以想象，显式表示不便于表示圆（1个x有2个y），更不便于表示封闭的曲线和曲面 • 隐式表示：区别于显式，一般形式为f（x，y）=0 • 比如：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0；这是一个圆锥曲线，可以调整a,b,c,d,e,f来得到不同的圆锥曲线 • 显式和隐式的局限性： • 值变化都与坐标轴有关，不便于计算和编程，不便于表示3维甚至更高维空间，会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)等等。

参数曲线基础 若t的区间：[a,b]，如果把它转换为[0,1] ，规格化如何做？t’=(t-a)/(b-a) , 则 t’  [0,1] • 显式、隐式和参数表示 • 以曲线上每一点坐标都表示为一个参数形式如果用u表示参数，二维空间自由曲线的参数方程可以记为：x﹦x(u),y﹦y(u) u[0,1] 二维空间曲线上一点的参数表示为：P(u)﹦[x(u),y(u)] 三维空间自由曲线的参数方程表示为： x﹦x(u),y﹦y(u),z﹦z(u)；u[0,1] 曲线上一点的参数表示为：P(u)﹦[x(u),y(u),z(u)] 同样，如果用u,w表示参数，二维空间自由曲面的参数方程表示为： x﹦x(u,w),y﹦y(u,w) u,w[0,1] 曲面上一点的参数表示为：P(u,w)﹦[x(u,w),y(u,w)] 三维空间自由曲面的参数方程表示为： x﹦x(u,w),y﹦y(u,w),z﹦z(u,w)；u,w[0,1] 曲面上一点的参数表示为：P(u,w)﹦[x(u,w),y(u,w),z(u,w)]。由于我们没有必要去研究u从负无穷到正无穷的整个参数空间，所以我们常常把参数规格化，即参数区间通常为[0,1]

圆的参数方程 参数曲线基础 • 显式、隐式和参数表示 • 我们来看看最简单的过2点的直线参数方程表示，如下 • 把p1[1，2]，p2[4，3]带入方程得p(t)=[1,2]+[3,1]t,t [0,1] • 用参数表示的x，y分量为：x(t)=x1+(x2-x1)t=1+3t, y(t)=y1+(y2-y1)t=2+t • P’(t)表示切向量=[x’[t] y’[t]]=[3,1]，实际上代表该直线段的斜率为：dy/dx = y’[t]/x’[t] = 1/3

参数曲线基础 • 参数表示的优点 • 1）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 • 比如：y=ax2+bx+c有3个系数a，b，c。但是相应的参数表示，X=at2+bt+c，y=dt2+et+f，有6个系数可以控制曲线 • 2）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。 • 对于非参数方程，变换时需要对每个坐标联动变化，但是参数方程可以在平移、比例等变换中直接操作某一个坐标或者某几个坐标，节省工作量。 • 3）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 • 4）便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。 • 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是分离的，变量个数不限制，这种变量分离的特性可以让我们用数据公式去处理几何分量，比如后面学到的调和函数。 • 5）规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。 • 6）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。 • 后面我们都用参数表示来讨论曲线和曲面问题。

参数曲线基础 • 参数曲线相关术语 • 一条参数表示的3维曲线是一个有界的点集，可以写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数，形式为： • x=x(t)，y=y(t)，z=z(t) t [0,1] 下面我们要来学习一系列的相关术语：位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率等等

参数曲线基础 • 参数曲线相关术语 • 位置矢量：曲线上任意一点的位置矢量（即坐标），可以用矢量p(t)表示，p(t)=[x(t),y(t),z(t)] 为什么选参数t呢,物理上可以把3维空间的曲线理解为一个动点的轨迹,表示位置矢量p随时间变化

参数曲线基础 • 参数曲线相关术语 • 切矢量 • 坐标变量关于参数的变化率 • 物理上代表曲线在某点的运动方向曲线上R,Q两点参数分别是t和t+△t. 当Q趋向R,也就是△ t→0 导数的方向P’(t)就代表了R点的切线方向导数的大小就可以近似表示△P的长度也可以近似表示这一段弧长△ S

参数曲线基础 • 参数曲线相关术语 • 弧长 • 当n →∞，可以把弧长表示为无数段p0p1,p1p2….的长度组成 • 而当p0与p1的△ t→0时，p0p1可以近似的表示为 • 于是从0到t的弧长可以表示为：

参数曲线基础 • 参数曲线相关术语 • 弧长参数表示法与单位切矢量弧长与参数t无关，与坐标系也无关，以弧长为参数表示曲线易于讨论曲线本身固有的性质。 P=P(s)

参数曲线基础 • 参数曲线相关术语 • 主法矢、副法矢 • 主法矢是和切矢量垂直的一个矢量,如何推导出来它等于什么呢？ • 假设T(s)是曲线在某段的单位切矢量，所以T2(s)=1 • 对上式两边求导得到，说明T(s)与T’(s)垂直 • 由于T’(s)可能不是单位矢量，所以设 • 其中k(s)是一个标量，等于T’(s)的大小，N(s)是单位矢量 • 单位矢量N(s)定义为曲线的主法线单位矢量，简称为主法矢；主法矢N(s)总是指向曲线弯曲的方向，其实他是T(s)求导后得到的矢量的方向 • 其中标量k(s)就是曲率的倒数，大小为单位切矢量导数的模。

参数曲线基础 • 参数曲线相关术语 • 主法矢、副法矢 • 主法矢是和切矢量垂直的一个矢量 • 假设，T是单位切矢量，那么单位主法矢N的方向等于对切矢量求导 • 矢量积是第三个单位矢量，它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢 T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架 N、B构成的平面称为法平面，N、T构成的平面称为密切平面，B、T构成的平面称为副法平面。

参数曲线基础 • 参数曲线相关术语 • 曲率和曲率半径：其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率，也就是P(s)到P(s+ds)这段弧的弯曲程度。

参数曲线基础  • 参数曲线相关术语 • 绕率：等于副法线方向(或密切平面)对于弧长的转动率,反应了曲线的扭绕特性。 • 平面曲线中密切平面是曲线所在平面，所以副法矢固定不变，所以绕率总是=0，非平面曲线副法矢变化了，会对曲线产生扭动的效果。 T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)

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曲线构造方法 • 插值法 • 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。

曲线构造方法 • 插值法 • 线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用线形函数：y=ax+b，近似代替，称为的线性插值函数。 • 抛物线插值:已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造函数￠(x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相等。

曲线构造方法 • 逼近法 • 构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点(但未必通过这些点) 。常见有：最小二乘法、回归分析 • 在前面的插值法中，如果给定的点（叫做型值点）太多，很难构造插值函数，因此可以适当的放弃一些型值点。 • 型值点：是用于确定曲线和曲面的位置与形状，且相应曲线或曲面一定经过的点。 • 控制点：是用于确定曲线和曲面的位置与形状，但相应曲线或曲面不一定经过。 • 插值点：是在型值点或控制点值之间插入的一系列点。 • 在计算数学中，拟合通常指用一些性质较好的函数近似表示一些性质不好的函数。在计算机图形学中，拟合继承了这方面的含义，因此插值和逼近都可以视为拟合。

曲线构造方法 • 判断哪些是插值、哪些是逼近

曲线构造方法 • 连续性条件 • 在拟合过程中，不同控制点和型值点控制的曲线段不一样，我们可能用多组曲线段去组合一条最终的拟合曲线，多条曲线首尾相连形成一条曲线，为了让连接处具有合乎要求的连续性，因此需要定义连续性条件 • Examples: • These two curves do not fit together at all. • These two curves fit together, but not smoothly. • These two curves fit together smoothly.

曲线构造方法 • 连续性条件 • 参数连续性 • 用 C 阶数表示 • C0连续（0阶参数连续） ——前一段曲线的终点t=1与后一段曲线的起点t=0相同。 • C1连续（一阶参数连续） ——连接点处一阶导数相同，切矢相同 • C2连续（二阶参数连续） ——连接点处一阶导数和二阶导数相同，切矢、法矢相同

曲线构造方法 我们已经看到，连续保证连续，连续能保证连续，但反过来不行。也就是说连续的条件比连续的条件要苛刻。 • 连续性条件 • 几何连续性 • 用 G 阶数表示 • G0连续（0阶几何连续） ——与C0连续相同。 • G1连续（一阶几何连续） ——一阶导数在连接点成比例，2个切矢量方向相同，大小不同。 • G2连续（二阶几何连续） ——两相邻曲线段的连接点处一阶导数和二阶导数均成比例，所以2个主、副法矢方向相同，2个切矢量方向相同。大小成比例。

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三次参数曲线 • 三次参数曲线的代数和几何形式 • 代数形式 • 我们以最常见的三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式。 • 下面为一般的三次参数曲线的代数形式： • 从a3x到a0x有12个系数为代数系数，它们确定了这条参数曲线的形状和位置。系数不同则曲线不同。 • 把它改写为矢量表达：

三次参数曲线 • 三次参数曲线的代数和几何形式 • 代数形式 • 把前面的代数方程改写为矢量形式 • P(t)表示曲线上任一点的位置矢量；系数a0表示(a0x,a0y,a0z) • 我们尝试用已知条件来求解这些系数。可供选择的已知条件有：端点坐标、端点坐标的切矢量、法矢量、曲率、绕率等等。对于上面的三次参数曲线，我们使用4个已知条件即可：P(0),P(1), P’(0),P’(1)

三次参数曲线 • 三次参数曲线的代数和几何形式 • 几何形式 • 对三次参数曲线，若用其端点位矢P(0)、P(1)和切矢P¢(0)、P¢(1)描述。 • 将P(0)、P(1)、P¢(0)和P¢(1)简记为P0、P1、P¢0和P¢1，代入

三次参数曲线 • 三次参数曲线的代数和几何形式 • 几何形式 • 把a0，a1，a2，a3代入原式，整理后可得

三次参数曲线 • 三次参数曲线的代数和几何形式 • 几何形式 • 上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式，几何系数是P0、P1、P¢0和P¢1。 • 称为调和函数（或混合函数）

三次参数曲线

三次参数曲线 例：给定9个型值点，其中起始点和终止点是同一个点，从而其特征多边形是一个首尾相接的封闭多边形，具体坐标位置如下：（100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）,（420,200）,（420,300）,（220,280）,（100,300）假定各点处的一阶导数数值如下：（70,-70）, （70,-70）, （70,-70）,（70,-70）, （70,70）, （70,70）, （-70,70）,（-70,70）, （70,-70）用Hermite插值方法绘制曲线。解：p0=(100,300) p1=(120,200) p0’=(70,-70) p1’=(70,-70) For(t=0;t<=1;t=t+0.1)或 For(t=0;t<=1;t=t+0.01)或

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