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中考第一轮复习: 三角形相似

中考第一轮复习: 三角形相似. 若 a 、 b 、 c 、 d 为四条线段 ,如果 (或 a : b = c : d ) ,那么这四条线段 a 、 b 、 c 、 d 叫做 成比例的 线段 ,简称 比例线段. a. c. =. =. a. :. b. c. :. d. ,. a. b. c. 若. 或. 那么. ,. ,. ,. d. 叫做四个数 成比例。. a c b d. b. d. =. 一 . 比例线段. 知识要点 1. 1. 成比例的数(线段):. a. c. =. Û.

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Presentation Transcript


  1. 中考第一轮复习: 三角形相似

  2. 若 a、b、c、d为四条线段 ,如果 (或a:b=c:d),那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做成比例的线段,简称比例线段. a c = = a : b c : d , a b c 若 或 那么 , , , d 叫做四个数成比例。 ac bd b d = 一.比例线段 知识要点1 1. 成比例的数(线段):

  3. a c = Û = ad bc ; b d a∶b=c∶d 其中 :a、b、c、d叫做组成比例的项, a、d叫做比例外项, b、c叫做比例内项, 比例的性质:

  4. 问题一: 1. 2.已知1, 2, 3三个数,请你再添上一个数,写出一个比例式。

  5. 4.画一个△DEF与△ABC相似,相似比为2:1。

  6. 问题二: 1.如图,P为线段AB 上一点,AD与BC交于E,∠CPD=∠A=∠B, BC交PD于F,AD交PC于G,则图中相似三 角形有( ) (A)1对 (B)2对 (C)3对 (D)4对 【解析】选C.∵∠CPD=∠A=∠B,∴△PCF∽△BCP、△APG∽△BFP、△APD∽△GPD,故选C.

  7. 2.如图所示,一般 书本的纸张是原纸张多次对开得到的, 矩形ABCD沿EF对开后,再把矩形EFCD沿 MN对开,依次类推,若各种开本的矩形 都相似,那么 等于( ) (A)0.618 (B) (C) (D)2 【解析】选B.∵矩形ABCD∽矩形AEFB,

  8. 3.如图(1),将一个正六边形各边延长,构成一个正六角星形AFBDCE,它的面积为1,取△ABC和△DEF各边中点,连结成正六角星形A1F1B1D1C1E1,如图(2)3.如图(1),将一个正六边形各边延长,构成一个正六角星形AFBDCE,它的面积为1,取△ABC和△DEF各边中点,连结成正六角星形A1F1B1D1C1E1,如图(2) 中阴影部分;取△A1B1C1和△D1E1F1 各边中点,连结成正六角星形 A2F2B2D2C2E2,如图(3)中阴影部分; 如此下去…,则正六角星形AnFnBnDnCnEn 的面积为_______.

  9. 【解析】由题意,知正六角星形AFBDCE∽正六角星形【解析】由题意,知正六角星形AFBDCE∽正六角星形 A1F1B1D1C1E1∽正六角星形A2F2B2D2C2E2∽…∽正六角星 形AnFnBnDnCnEn,根据相似多边形的面积比等于相似比 的平方,可得正六角星形A1F1B1D1C1E1面积为 正六角 星形A2F2B2D2C2E2面积为 正六角星形A3F3B3D3C3E3 面积为 依此类推,正六角星形AnFnBnDnCnEn 的面积为 答案:

  10. 相似三角形的判定: (1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)相交; (2)两角对应相等; (3)两边对应成比例且夹角相等; (4)三边对应成比例;

  11. 相似三角形基本图形的回顾: E D A A D E C B B C △ADE绕点A A E D D 旋转 E A B C B C 点E移到与C点 重合 A A D ∠ACB=Rt∠ D CD⊥AB B B C C

  12. 问题三 1.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连结DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B. (1)求证:△ADF∽△DEC; (2)若AB=4, AE=3,求AF的长.

  13. 2.如图,四边形ABCD 的对角线AC、BD相交于O,且将这个四边形 分成①、②、③、④四个三角形.若OA∶OC =OB∶OD,则下列结论中一定正确的是( ) (A)①与②相似 (B)①与③相似 (C)①与④相似 (D)②与④相似 【解析】选B.根据两边对应成比例且夹角相等得①与③相似.

  14. 3.如图,△ABC是一张锐角三角形 的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40 cm,AD=30 cm,从这张 硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边 EF在BC上,顶点G、H分别在AC、AB上, AD与HG的交点为M. (1)求证: (2)求这个矩形EFGH的周长.

  15. 【自主解答】(1)∵四边形EFGH为矩形,∴HG∥EF,【自主解答】(1)∵四边形EFGH为矩形,∴HG∥EF, ∴∠AHG=∠B,∠AGH=∠C,∴△AHG ∽△ABC, 又∵AD是边BC上的高,∴AD⊥BC,AM⊥HG, (2)设HE=x cm,则MD=x cm,HG=2x cm, 由(1)知 因为BC=40 cm,AD=30 cm, 所以 解得x=12. 则HG=2x=24 cm,所以矩形EFGH的周长为2(HE+HG)= 2×(12+24)=72 cm.

  16. 问题四 1.如图,在梯形ABCD中, AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,AD=2, BC=BD=3,AC=4. (1)求证:AC⊥BD; (2)求△AOB的面积. 【解析】(1)过点D作DE∥AC,与BC的延长线交于点E,可得平行四边形ACED,∵AD=2,BC=BD=3,AC=4.∴BE=5,DE=AC=4,∴BD2+DE2=BE2,即△BDE是直角三角形,

  17. 2.如图,工地上竖着两根电线杆AB、CD,它们相距15 m,分别自两杆上高出地面4 m、6 m的A、C处,向两侧地面上的E、D、B、F处拉紧,以固定电线杆,那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________.

  18. 【解析】过P作PH⊥BD交BD于点H,设PH=x,则△PHD∽△ABD,△BHP∽△BDC,【解析】过P作PH⊥BD交BD于点H,设PH=x,则△PHD∽△ABD,△BHP∽△BDC, ∴ 解得x=2.4. 答案:2.4 m

  19. 问题五 如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=m(m>4),点P是AB边上的任意一点(不与A、B重合),连结PD,过点P作PQ⊥PD,交直线BC于点Q. (1)当m=10时,是否存在点P使得点Q与点C重合?若存在,求出此时AP的长;若不存在,说明理由; (2)连结AC,若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示); (3)若△PQD为等腰三角形,求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数解析式,并写出m的取值范围.

  20. 【解析】(1)假设当m=10时,存在点P使得点Q与点C重合【解析】(1)假设当m=10时,存在点P使得点Q与点C重合 (如下图),∵PQ⊥PD,∴∠DPC=90°,∴∠APD+∠BPC=90°, 又∠ADP+∠APD=90°,∴∠BPC=∠ADP, 又∠B=∠A=90°,∴△PBC∽△DAP,∴ ∴ ∴AP=2或8, ∴存在点P使得点Q与点C重合, 此时AP的长是2或8.

  21. (2)如右图,∵PQ∥AC, ∴∠BPQ=∠BAC, ∵∠BPQ=∠ADP,∴∠BAC=∠ADP, 又∠B=∠DAP=90°,∴△ABC∽△DAP,∴ 即 ∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠BAC,∵∠B=∠B, ∴△PBQ∽△ABC, 即

  22. (3)由已知PQ⊥PD,所以只有当DP=PQ时,△PQD为等腰三角形(如图),(3)由已知PQ⊥PD,所以只有当DP=PQ时,△PQD为等腰三角形(如图), ∴∠BPQ=∠ADP,又∠B=∠A=90°,∴△PBQ≌△DAP, ∴PB=DA=4,AP=BQ=m-4, ∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数解析 式为:S四边形PQCD=S矩形ABCD-S△DAP-S△QBP=

  23. D D b A A a 700 700 700 700 500 500 300 300 B B C C F F E E b a 问题六:画一画: 如图,在△ABC和△DEF中, ∠A=∠D=700, ∠B=500, ∠E=300,画直线a,把△ABC分成两个三角形,画直线b ,把△DEF分成两个三角形,使△ABC分成的两个三角形和△DEF分成的两个三角形分别相似.(要求标注数据) 300 300 200 200

  24. B 4cm/秒 16 Q P 8 2cm/秒 C A 问题七: 1. 在∆ABC中,AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动,点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似?

  25. 2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8, 点D在边AB上运动,DE平分∠CDB交边 BC于点E,EM⊥BD垂足为M,EN⊥CD,垂足为N. (1)当AD=CD时,求证:DE∥AC; (2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?

  26. 【正确解答】(1)解法同上(1) (2)(Ⅰ)当△BME∽△CNE时,得∠MBE=∠NCE; ∴BD=DC ∵DE平分∠BDC,∴DE⊥BC,BE=EC 又∠ACB=90°,∴DE∥AC. ∴AD=5.

  27. (Ⅱ)当△BME∽△ENC时,得∠EBM=∠CEN ∴EN∥BD 又∵EN⊥CD,∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高. 由三角形面积公式得AB·CD=AC·BC, 综上,当AD=5或 时,△BME与△CNE相似.

  28. 3.(2009·济南中考)如图,在梯形 ABCD中,AD∥BC,AD=3,DC=5, ∠B=45°.动点M从B点出发沿线段BC以每 秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿 线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时 间为t秒. (1)求BC的长; (2)当MN∥AB时,求t的值; (3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.

  29. 【自主解答】(1)如图1,过A、D分别作AK⊥BC于K,DH⊥BC于H,则四边形ADHK是矩形,【自主解答】(1)如图1,过A、D分别作AK⊥BC于K,DH⊥BC于H,则四边形ADHK是矩形, ∴KH=AD=3, 在Rt△ABK中, AK=AB·sin45°= BK=AB·cos45°

  30. 在Rt△CDH中, 由勾股定理得 ∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10. (2)如图2,过D作DG∥AB交BC于点G, 则四边形ADGB是平行四边形, ∵MN∥AB,∴MN∥DG, ∴BG=AD=3,∴GC=10-3=7,

  31. 由题意知,当M、N运动t秒时,CN=t,CM=10-2t, ∵DG∥MN,∴∠NMC=∠DGC,又∠C=∠C, ∴△MNC∽△GDC,∴ 即 (3)分三种情况讨论: ①当NC=MC时,如图3, 此时t=10-2t,∴

  32. ②当MN=NC时,如图4,过N作NE⊥MC于E,过D作DH⊥BC于H②当MN=NC时,如图4,过N作NE⊥MC于E,过D作DH⊥BC于H 方法一:由等腰三角形三线合一性质得 在Rt△CEN中, 又在Rt△DHC中,

  33. 方法二:∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°, ∴△NEC∽△DHC,∴ 即 ③当MN=MC时,如图5,过M作MF⊥CN于F点,过D作DH⊥BC于H点 方法一:(方法同②中方法一)

  34. 方法二:∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°, ∴△MFC∽△DHC,∴ 即 综上所述,当 时,△MNC为等腰三角形.

  35. (2010·昆明中考)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB= 90°,E是AD的中点,点P是BC边上的动点(不与点B重合),EP与BD相交于点O. (1)当P点在BC边上运动时,求证:△BOP∽△DOE;

  36. (2)设(1)中的相似比为k,若AD︰BC = 2︰3,请探究:当k为下列三种情况时,四边形ABPE是什么四边形?①当k=1时,是_________;②当k=2时,是_________;③当k=3时,是_________.并证明k=2时的结论.

  37. 【解析】(1)∵AD∥BC, ∴∠OBP=∠ODE. 在△BOP和△DOE中, ∠OBP=∠ODE, ∠BOP=∠DOE, ∴△BOP∽△DOE(有两个角对应相等的两个三角形相似).

  38. (2)①平行四边形 ②直角梯形 ③等腰梯形 证明:∵k=2时, , ∴BP=2DE=AD, 又∵AD∶BC=2∶3,即 ED∥PC,∴四边形PCDE是平行四边形.

  39. ∵∠DCB=90°, ∴四边形PCDE是矩形, ∴∠EPB=90°, 又∵在直角梯形ABCD中, AD∥BC,AB与DC不平行, ∴AE∥BP,AB与EP不平行, ∴四边形ABPE是直角梯形.

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