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一、對數表與內插法

一、對數表與內插法. 1. 查表求對數值：. 常用對數表的最左邊第一行真數 x 下方的數 10, 11, 12, 13, 14,……. 表示 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4,…… ； x 的小數第二位擺在最上列。. 例： log 1.53 的值為圖中兩線相交的位置 0.1847. （為了節省篇幅，所以「 0. 」被省略了）。. 常 用 對 數 表 y = log 10 x. 表 尾 差.

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一、對數表與內插法

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  1. 一、對數表與內插法 1. 查表求對數值： 常用對數表的最左邊第一行真數 x下方的數 10, 11, 12, 13, 14,…… 表示1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4,…… ； x 的小數第二位擺在最上列。 例：log1.53 的值為圖中兩線相交的位置 0.1847 （為了節省篇幅，所以「0.」被省略了）。 常 用 對 數 表 y = log10 x 表 尾 差 • 10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 4 8 12 17 21 25 29 33 37 • 11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 4 8 11 15 19 23 26 30 34 • 12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 3 7 10 14 17 21 24 28 31 • 13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 3 6 10 13 16 19 23 26 29 • 14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732 3 6 9 12 15 18 21 24 27 • 15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014 3 6 8 11 14 17 20 22 25 • 16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279 3 5 8 11 13 16 18 21 24 • 17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529 2 5 7 10 12 15 17 20 22 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

  2. 常 用 對 數 表 y = log10 x 表 尾 差 • 10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 4 8 12 17 21 25 29 33 37 • 11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 4 8 11 15 19 23 26 30 34 • 12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 3 7 10 14 17 21 24 28 31 • 13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 3 6 10 13 16 19 23 26 29 • 14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732 3 6 9 12 15 18 21 24 27 • 15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014 3 6 8 11 14 17 20 22 25 • 16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279 3 5 8 11 13 16 18 21 24 • 17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529 2 5 7 10 12 15 17 20 22 • 18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765 2 5 7 9 12 14 16 19 21 • 19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989 2 4 7 9 11 13 16 18 20 • 20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201 2 4 6 8 11 13 15 17 19 • 21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404 2 4 6 8 10 12 14 16 18 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 可以利用表尾差， 如果想多求一位，如 log1.534， 發現 15所在的列與表尾差 4所在的行相交的交點為 11， 本段結束 於是 log1.5340.1847 + 0.0011 =0.1858 。 11其實是0.0011，

  3. 2. 範例：利用對數表求出下列各式的值，或真數 x的值： (1) log1.38 (2) log1.388 (3) log x = 0.3010 (4) log x = 0.2725 0.1399 解：(1) log1.38 0.1399 + 0.0026(表尾差) (2) log1.388 = 0.1425。 x  2。 (3) log2  0.3010 x 1.873。 (4) 0.2725 = 0.2718 + 0.0007(表尾差) log1.873 Let’s do an exercise ! 馬上練習：利用對數表求出下列各式的值，或真數 x 的值： (1) log2.12 (2) log1.234 (3) log x = 0.2601 (4) log x = 0.2467  0.3263。 解：(1) log2.12 0.0899 + 0.0014(表尾差) (2) log1.234 = 0.0913。 (3) log1.82  0.2601 x  1.82。 (4) 0.2467 = 0.2455 + 0.0012(表尾差) x  1.765。  log1.765 ＃

  4. 3. 科學記號： 對於任意一個正實數 a，都可以將其表示成 a= b10n的樣子， 其中 b滿足 1 b< 10，而 n是一個整數， 我們稱 b10n為 a的科學記號。 例如：1530 = 1.53103； 0.00153 = 1.53103。 常用對數表中真數 x的範圍為1x <10， 那麼如果真數不在這個範圍內，透過科學記號的幫忙， 我們依然可以求出其對數值 log x。 例如：log1530 = log(1.53103) = log1.53 + log103 = 0.1847 + 3 = 3.1847； log0.00153 = log(1.53103) = log1.53 + log103 = 0.1847 + (3)。 在上面的例子中我們僅須查表求出 log1.53 = 0.1847 即可。 To be continued  範 例

  5. 範例：利用對數表求出下列各式的值，或真數 x 的值： (1) log1230 (1) log0.00123 (3) log x = 2.1553 (4) log x = 1.8996 解：(1) log1230 = log(1.23103) = log1.23 + log103 0.0899 + 3 = 3.0899。 (2) log0.00123 = log(1.23103) = log1.23 + log103 0.0899 + (3) = 2.9101。  log102+ log1.43 = log(1.43102) (3) 2.1553 = 2 + 0.1553 x 143。 (4) 1.8996 = 2 + 0.1004  log 102 + log1.26 = log(1.26102) x 0.0126。 Let’s do an exercise !

  6. 馬上練習：利用對數表求出下列各式的值，或真數 x 的值： (1) log16500 (1) log0.00135 (3) log x = 3.2833 (4) log x = 2.983 解：(1) log16500 = log(1.65104) = log1.65 + log104 0.2175 + 4 = 4.2175。 (2) log0.00135 = log(1.35103) = log1.35 + log103  0.1303 + (3) = 2.8697。  log103 + log1.92 (3) 3. 2833 = 3 + 0.2833 = log( 1.92103) x  1920。  log103 + log1.04 (4) 2.983 = 3 + 0.0170 x  0.00104。 = log( 1.04103) ＃

  7. 4. 範例：利用查表， (1) 1.02 (2) 1.04 (3) 1.06 (4) 1.08 解： 故選 (1)。 Let’s do an exercise !

  8. 馬上練習：利用查表， (1) 161 (2) 162 (3) 163 (4) 164 解： 故選 (3)。 ＃

  9. 5. 內插法： 已知 log1.54 = 0.1875，log1.55 = 0.1903， y=logx B(1.55, 0.1903) P(1.5436 , y) C(1.5436 , k) A(1.54, 0.1875) To be continued  注 意

  10. L 注意：(1) 設 A(x1 , y1)、B(x2 , y2) B(x2, y2) y2y1 為非鉛直線 L 上相異兩點， A(x1, y1) (x2, y1) x2x1 例：過 (1, 2)與 (3, 5)兩點的直線 L 的斜率為 (2) 內插法所求的結果與表尾差是不同的。 To be continued  範 例 6.

  11. 6. 範例：已知 log1.00 = 0，log1.01  0.0043， 以內插法求 log1.0087 的近似值。 解：設 log1.0087 = y，且 log1.00 = 0，log1.01  0.0043， y=logx B(1.01, 0.0043) P(1.0087 , y) C(1.0087, k) A(1.00, 0) Let’s do an exercise !

  12. 馬上練習：已知 log5.47  0.7380，log5.48  0.7388， 以內插法求 log5.4745 的近似值。 解：設 log5.4745 = y，且 log5.47  0.7380，log5.48  0.7388， y=logx B(5.48, 0.7388) P(1.0087 , y) C(5.4745, k) A(5.47, 0.7380) ＃

  13. 二、首數與尾數 1. 首數與尾數：任何一個正數 a，將其寫成科學記號 a = b10n， 我們稱 n為loga的首數，logb為對數 loga的尾數。 因為 1 b  10，所以尾數 log b滿足 0 log b < 1， 且首數 n是一個整數。 例：(1) log1530 = log(1.53103) = 0.1847+3 = 3.1847。 = log1.53 + log103 即 log1530 = 3.1847= 3+ 0.1847 3 是首數，0.1847 是尾數。 (2) log0.00153 = log(1.53103) = log1.53 + log103 = 0.1847 + (3) 即 log0.00153 = 2.8153=3+ 0.1847 = 2.8153。 3 是首數，0.1847 是尾數。 To be continued  注 意

  14. 注意：(1) 真數 a大於 1，且整數部分的位數是 n時， 對數 loga的首數是 n1。 例如：log20000 = log(2104) = log2 + log104 0.3010 + 4 5 位數 首數是 4。 (2) 真數 a小於1，其小數部分在小數點後第 n位以前均為 0 (但第 n位不為 0 )，則對數 loga的首數為 n。 例如：log0.00003 = log( 3105) = log3 + log105 首數是5。 0.4771 + (5) 第 5 位不為零 log3  0.4771， (3) 常用對數：log2  0.3010， log5 = 1 log2 0.6990， log4 = 2log2  0.6020， log6 = log2 + log3  0.7781， log7  0.8451， log8 = 3log2  0.9030 ， log9 = 2log3  0.9542 。 本段結束

  15. 2. 範例： 從小數點後第幾位開始出現不為 0 的數字 ? 且此數字為何? 解： 所以小數點後第 18位數開始不為 0 且此數字為 2。 Let’s do an exercise !

  16. 馬上練習：將 740乘開後是幾位數? 且第一位數字與最後一位數字各為何? 解： 740乘開後是 34 幾位數， 最後一位數字為 1。 且第一位數字為 6， 74 = 2401，75 = 16807 (∵ 71 = 7，72 = 49，73 = 343， 4 個一循環 ) ＃

  17. 3. 範例：若 A、B 均為三位數的自然數，且 B > 900， 已知 logB 的尾數為 logA 尾數的 2 倍，求 A 與 B。 解：100  三位數< 1000 首數為 2。 B為完全平方數，且 B > 900。 所以B = 312 = 961， A = 3110 = 310。 Let’s do an exercise !

  18. 馬上練習：設 loga的首數與尾數恰好是二次方程式 3x2  5x + k = 0的兩根，求實數 k的值。 解： ＃

  19. 4. 範例：設 n為自然數，求滿足 10n1> 9n的最小 n值。 解： 10n1> 9n　10n> 109n 兩邊取對數， n (1 2log3) > 1 n (1 0.9542) > 1 ( ∵ log 30.4771) ∴ 所求 n的最小值 22。 ＃

  20. 5. 範例：試求 2106 + 366為幾位正整數。 解： 故所求為33位數。 ＃

  21. 三、等比數列與等比級數 1. 等比數列： 一個數列〈an〉，如果每一項與前一項的比值都是定值 r( r  0 )， 則稱此數列〈an〉為等比數列， 其相同比值 r稱為公比。 To be continued  範 例

  22. 範例： (1) 首項與公比 (2) 第 8 項的值 (3) 729 是第幾項。 解： 故 729為第 11 項。 Let’s do an exercise !

  23. 馬上練習： 解： ＃

  24. 2. 範例：設三數成等比，其和為 28，且三數平方和為 336，求此三數。 解：設此三數為 a，ar，ar2，  商式  1 + 1 1 被除式 1 + 1+ 1 1 + 0 + 1 + 0 + 1 1 + 1 + 1  1 + 0 + 0  1  1  1 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1  餘式 0 得此三數為 4，8，16。 得此三數為 16，8，4。 To be continued  注 意

  25. 注意：(1) 若 a、b、c成等比， 稱 b為a、c的等比中項。 (2) 若三數成等比， 此三數可設為 ＃

  26. 3. 等比級數： (1) 若〈an〉為一數列， (2) 若〈an〉為等比數列， 證明：設首項 a，公比 r， 例：等比級數 1 + 3 + 32 + 33 + … + 37 本段結束

  27. 4. 範例：求下列等比級數的和： 解： = 728 。 Let’s do an exercise !

  28. 馬上練習：求下列等比級數的和： 解： ＃

  29. 5. 範例：一隻螞蟻在坐標平面上由原點出發，如右圖所示。 y 牠第一次向右移動 1 單位，到達點 P1(1,0)， P4 第二次向上 P2 P3 而後依照先向右再向上的方式移動， x 而且每次移動的距離是前一次的一半， O P1 此依序移動到點 P3，P4，…，求點 P4、點 P10 及 P2n 的坐標。 解： ＃

  30. 6. 範例： 則 S 為幾位數? 最高位數字為何? 解： 4 個一循環 ) (∵ 21 = 2，22 = 4，23 = 8，24 = 16，25 = 32 2100是 31位數。 S = 2100  1也是 31幾位數， 且第一位數字為 1，最後一位數字為 5。 ＃

  31. 7. 範例：(1) 求 7 + 77 + 777 +…… + (第 n 項) 之和。 解： To be continued  (2)

  32. 解： ＃

  33. 四、指數與對數的應用 1. 單利與複利： (1) 單利 n期後的本利和 = 本金 + 本金期利率期數 = 本金( 1 + 期利率期數 )。 例如：30000元，年利率 8%，半年計息一次，單利計算， 二年後本利和 = 30000 + 300004%4 = 30000( 1 + 4%4) = 34800。 (2) 複利 n 期後的本利和 = 本金  ( 1 + 期利率 )期數。 例如：30000元，年利率 8%，半年計息一次，複利計算， 半年後本利和 = 30000( 1 + 4% ) 一年後本利和 = 30000( 1 + 4% ) + 30000( 1 + 4% )4% = 30000( 1 + 4% )( 1 + 4% ) = 30000( 1 + 4% )2 To be continued  二年複利

  34. (2) 複利 n 期後的本利和 = 本金  ( 1 + 期利率 )期數。 例如：30000元，年利率 8%，半年計息一次，複利計算， 半年後本利和 = 30000( 1 + 4% ) 一年後本利和 = 30000( 1 + 4% ) + 30000( 1 + 4% )4% = 30000( 1 + 4% )2 一年半後本利和 = 30000( 1 + 4% )2 + 30000( 1 + 4% )24% = 30000( 1 + 4% )3 二年後本利和 = 30000( 1 + 4% )4 35096 元。 本段結束

  35. 2. 範例：某君於九十年初，在甲、乙、丙三家銀行各存入十萬元， 各存滿一年後，分別取出。已知該年各銀行之月利率如下表， 且全年十二個月皆依機動 利率按月以複利計息。 假設存滿一年， 某君在甲、乙、丙三家銀行存款的本利和分別為 a、b、c 元， 試比較 a、b、c 的大小。 解： 故 a > bc。 ＃

  36. 3. 範例：(1) 小癸每年底都存入 297931 元，若年利率為 8%，則存入 第十次的當天戶頭裡共有多少元？ (2) 小新年初向中信銀行借 200 萬元。若年利率為 8%， 每年依複利計息一次，則10年後共欠銀行多少元？ (3) 承(2)，若計劃分10年平均攤還，則每年應還多少元? 解： (2) 銀行 10 年後所得本利和 = 2000000( 1 + 8% )10 = 4320000元。 To be continued  (3)

  37. (3) 設每次還 x元， 還 1 次後尚欠銀行 20000001.08  x 元， 還 2 次後尚欠銀行 (20000001.08  x)1.08  x = 20000001.082 x1.08  x(元) 還 3 次後尚欠銀行 (20000001.082 x1.08  x)1.08  x … = 20000001.083  x1.082 x1.08  x(元) 還 10 次後尚欠銀行 20000001.0810 x1.089… x1.08  x= 0(元) To be continued  注 意

  38. 還 3 次後尚欠銀行 (20000001.082 x1.08  x)1.08  x … = 20000001.083  x1.082 x1.08  x(元) 還 10 次後尚欠銀行 20000001.0810 x1.089… x1.08  x= 0(元) 注意： 所代表的意義是：若中信銀行以年利率為 8%，每年初 將 297931元存入另一家銀行，複利計息，由(1)知，中信銀行 10 年後本利和為 4320000 元，故小新分期應還 x = 297931元。 ＃

  39. 4. 範例：已知碳 14 元素每經過 5730 年(半衰期)，會有一半衰變成 氮元素，現有一古生物標本，測得碳 14 之含量 為生前的 43%，求該生物生存於多少年前? 解：設 1 年後碳 14 之含量衰變成原本的 a倍 設此生物生存於 x年前 故此生物生存於 6977 年前。 Let’s do an exercise !

  40. 馬上練習：在養分充足的情況下，細菌的數量會以指數函數的方式馬上練習：在養分充足的情況下，細菌的數量會以指數函數的方式 成長，假設細菌 A的數量每兩個小時可以成長為兩倍，細菌 B的 數量每三個小時可以成長為三倍，若養分充足且一開始兩種細菌的 數量相等，則大約幾小時後細菌 B的數量除以細菌A的數量最接近 10 ? (1) 24小時 (2) 48小時 (3) 69小時 (4) 96小時 (5) 117小時。 解：設6x小時後， 故需19.5  6 = 117 (小時)， 所以選 (5) 。 ＃

  41. 5. 範例：設水溶液中氫離子的濃度為 [H+] (莫耳/升)， 則該水溶液的 pH 值定為 pH =  log [H+] 。 今有洗面乳 A 標示其 pH = 5.5，洗面乳 B 標示其 pH = 5.8， 求 A 的氫離子濃度為 B 的幾倍? 解： 故所求大約 2倍。 Let’s do an exercise !

  42. 馬上練習：地震規模的大小通常用芮氏等級來表示，馬上練習：地震規模的大小通常用芮氏等級來表示， 已知芮氏等級每增加 1 級，地震震幅強度約增加為原來的 10 倍， 能量釋放強度則約增加為原來的 32 倍。現假設有兩次地震， 所釋放的能量約相差 100,000倍， 依上述性質則地震震幅強度約相差幾倍? 請選出最接近的答案。 (1) 10倍　(2) 100倍　(3) 1000倍　(4) 10000倍。 解：增加 1級，震幅強度增加 10 倍，能量強度增加 32倍。 增加 2級，震幅強度增加 102倍，能量強度增加322倍。 增加 k 級，震幅強度增加10k倍，能量強度增加 32k 倍。  能量強度增加：32k= 100000 所求 = 103.3， 故選(3)。 ＃

  43. 6. 範例：聲音的強度可用單位面積上的功率 I ( watt / m2 )量度， 但實用上以分貝 dB 表示， 又聲音的強度會與聲源距離之平方成反比。 今有一擴音器在距離 1 公尺處測得聲音為 90 分貝， 則距離 10 公尺時，聲音為多少分貝? 解：∵聲音強度與聲源距離之平方成反比 Let’s do an exercise !

  44. 馬上練習：根據統計資料，在 A 小鎮當某件訊息發布後， t 小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的 100(12kt)%， 其中 k 是某個大於 0 的常數。今有某訊息，假設在發布後 3小時之內已經有 70% 的人口聽到該訊息。又設最快要 T小時後， 有 99% 的人口已聽到該訊息，則 T最接近下列哪一個選項﹖ (5) 13小時 (3) 9小時 (1) 5小時 解：依題意 100(123k)% = 70% 又 100(1－2kT)% = 99% 兩邊取 log 故選(4)。 ＃

  45. 7. 範例：有兩變數 x，y，各取對數，得兩個新的變數 X logx，Y  logy。如果 X，Y 的關係如圖之直線所示， 則：(1) 求該直線的方程式。 (2) 求 X 與 Y 的關係式。 Y 解：(1) 設該直線方程式為 Y = aX + b， 點 (1, 1)，(3, 2)代入 Y = aX + b， 3 2 1 X O 2 3 1 Let’s do an exercise !

  46. 馬上練習：有兩變數 T，S，各取對數後得兩個新的變數 x logT， y  logS。如果 x，y 的關係如圖之直線所示， 則：(1) 求該直線的方程式。 (2) 求 T 與 S 的關係式。 解：(1) 設該直線方程式為 y = ax + b， y 點 (0, 0)，(3, 2)代入y = ax + b， (3, 2) x O 大 家 辛 苦 了 ! 第 一 冊 結 束 !

  47. ＃ 總複習 第九章 結束 Let’s do an exercise ! 本段結束 To be continued  範 例 To be continued  注 意

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