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Ⅵ. 도형의 기초

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Ⅵ. 도형의 기초 - PowerPoint PPT Presentation


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Ⅵ. 도형의 기초. 1. 기 본 도 형. 2. 작도와 합동. 점, 선, 면. 선분 : 두 점을 곧게 이은 선 2. 직선 : 선분을 양쪽으로 끝없이 늘인 곧은 선 3. 예각 : 0 도 보다 크고 90 도 보다 작은 각 4. 직각 : 90 도인 각 5. 둔각 : 90 도 보다 크고 180 도 보다 작은 각 6. 수직 : 서로 만나는 두 직선이 90 도를 이룰 때 7. 평행 : 한 평면에서 두 직선이 만나지 않을 때. 점, 선, 면 , 각.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Ⅵ. 도형의 기초

1. 기 본 도 형

2. 작도와 합동

slide2

점, 선, 면

  • 선분: 두 점을 곧게 이은 선

2. 직선: 선분을 양쪽으로 끝없이 늘인 곧은 선

3. 예각 : 0도 보다 크고 90도 보다 작은 각

4. 직각 : 90도인 각

5. 둔각 : 90도 보다 크고 180도 보다 작은 각

6. 수직 : 서로 만나는 두 직선이 90도를 이룰 때

7. 평행 : 한 평면에서 두 직선이 만나지 않을 때

slide3

점, 선, 면, 각

1. 점이 움직인 자리는 선이 된다.

2. 선이 움직인 자리는 면이 된다.

3. 평면도형은 선으로, 입체도형은 면으로 둘러싸여 있다.

- 교선 : 두 면이 만나서 생긴 선

- 교점 : 두 선 또는 선과 면이 만나서 생긴 점

교선

교점

slide4

주사위에서 다음 물음에 답하여라.

교점의 개수는?

2. 교선의 개수는?

slide5

서로 다른 두점을 지나는 직선은 몇 개인가?

오직 하나 뿐이다.

2. 직선, 반직선, 선분

A

B

B

A

B

A

직선AB

반직선AB

선분AB

3.두 점 A, B 사이의 거리:

의 길이

slide6

A

M

B

선분 AB의 중점

선분 AB 위의 한가운데 점을 선분 AB의 중점이라 함.

slide7

< 기 호 >

∠AOB, ∠BOA, ∠O, ∠a

각 이란?

 한 점 O에서 그은 두반직선 OA와 OB로이루어지는 도형

B

a

O

A

  • 점 O를 각의 꼭지점
  • 반직선 OA, OB를 각의 변이라 한다.
slide8

각의 분류

  • 예각 : 0도 보다 크고, 90도 보다 작은 각
  • 직각: 90도인 각 (∠R)
  • 둔각 : 90도 보다 크고 180도 보다 작은 각
  • 평각 : 180도인 각
slide9

수직

m

l

 교각 : 두 직선이 만나서 생기는 각

  • 직교 : 교각이 직각일 때, 기호 : l⊥m
  • 수직 : 두 직선l 과 m이 직교할 때, l , m은 서로
  • 수직 이라 하며 직선l을 직선 m의 수선이라
  • 한다.
slide10

∠a = ∠c

∠b = ∠d

맞꼭지각

  • 두 직선이 만나서 생기는 네 각 중에서
  • 서로마주 보는 각

맞꼭지각의 크기는 서로 같다

d

c

a

b

slide11

m

l

l,m

l

m

< 평면에서 두 직선의 위치 관계 >

한 점에서 만난다

만나지 않는다

일치한다

slide12

l

m

m

l

m

l

l=m

공간에서 두 직선의 위치 관계

1) 만난다.

2) 평행하다.

4) 꼬인 위치

3) 일치한다.

slide13

다음 각기둥에서 모서리 AB와

1)꼬인 위치에 있는 모서리의 개수는?

2) 선분BD와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수는?

A

A

D

B

B

C

C

D

E

H

F

E

G

F

slide14

l

l

l

P

P

P

l∥ P

<공간에서 한 직선과 한 평면과의 위치관계>

1)한 점에서 만난다.

2)평행하다.

3)포함된다.

slide15

평면의 결정 조건

1) 한 직선 위에 있지 않은 세 점

2) 한 직선과 그 직선 밖에 있는 한 점

3) 만나는 두 직선

4) 평행한 두 직선

slide16

공간에서 두 평면의 위치관계

1) 일치한다.

2) 만난다.

3) 평행하다.

slide17

평행

l

m

  • 한 평면 위에서 두 직선l, m 이 만나지 않을 때,
  • 두 직선 l, m은 평행 (기 호 : l∥m)

 평행선 : 평행한 두 직선

slide18

동위각 : 같은 위치에 있는 두 각

a

d

c

b

h

e

g

f

∠a 와 ∠e

∠b 와 ∠f

∠c 와 ∠g

∠d 와 ∠h

n

l

m

slide19

b

c

h

e

  • 엇각 : 서로 엇갈린 위치에 있는 두 각

∠b 와 ∠h

∠c 와 ∠e

n

l

m

slide20

평행선의 성질

서로 다른 두 직선이 평행하고, 다른 한 직선과 만날 때

  • 1. 동위각의 크기는 서로 같다.
  • 2. 엇각의 크기는 서로 같다.

l∥ m 이면 ∠a = ∠b

l∥m이면 ∠b = ∠c

a

a

l

c

c

b

b

b

m

slide21

평행선의 성질

서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때 1. 두 직선이 평행하면 동위각의 크기는 서로 같다.

2. 한 쌍의 동위각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다.

서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때

1.두 직선이 평행하면 엇각의 크기는 서로 같다.

2.한 쌍의 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다.

slide22

다음 그림은 직사각형 모양의 종이를 접은 그림이다.

∠x 의 크기를 구하여라.

x

slide23

다음 에서 직선 l과 m이 서로 평행일 때,

1)∠x 의 크기를 구하여라.

2) ∠a+ ∠b+ ∠c+ ∠d 의 값을 구하여라.

l

x

l

a

m

b

c

d

m

slide24

도형의 작도

  • 작도 : 눈금이 없는 자와 컴퍼스 만을 사용하여
  • 도형을그리는 것
    • 자 : 직선을 긋거나 주어진 선분을 연장할때
    • 사용
    • 컴퍼스 : 원을 그리거나 주어진 선분의길이를
    • 옮길 때 사용
slide25

선분의 수직이등분선의 작도

① 두 점 A, B를 중심으로

반지름의길이가 같은 원을

두 점에서 만나도록 그린다.

B

A

② ①의 두 교점을 지나는

직선을 긋는다.

slide26

각의 이등분선의 작도

C

E

D

①O를 중심으로 하는 원을 그려서

반직선OA와 OB가 만나는 점을

각각 C, D라 한다.

A

② C, D를 각각 중심으로

반지름의길이가 같은 원을

그려서 만나는 점을 E라고 한다.

③ 반직선 OE를 긋는다.

O

B

slide27

D

각 의 이 동

B

O

A

C

slide28

점 P를 지나면서

직선l에 수직인 직선의 작도

P

l

slide29

3대 작도 불능 문제

주어진 정육면체의 2배의 부피를 갖는

정육면체의 한 변의 길이를 작도하는 문제

(2) 임의의 각을 삼등분하는문제

(3) 임의의 원과 면적이 같은

정사각형을 작도하는 문제

slide31

 다음 중 작도할 수 없는 각은?

① 10° ② 15° ③ 22.5° ④ 60° ⑤ 135°

slide32

선택학습(심화과정)

  • 정 3, 4, 5 각형은 작도 가능한 정다각형이다. 가장 손쉬운 정다각형 작도방법은 원을 이용하는 것으로 모든 꼭지점이 원 위에 있도록 작도하는 방법이다. 원을 이용하여 정삼각형을 그린 뒤, 원의 중심과 변의 중점을 잇는 직선을 그려 원과 만나는 점을 정삼각형의 꼭지점과 연결하면 정육각형을 작도할 수 있다. 마찬가지로 정육각형의 변의 중점과 원의 중심을 잇는 직선을 그려 원과 만나는 점을 연결하면 정십이각형을 작도할 수 있다. 원을 이용하여 정사각형을 작도한 뒤, 원의 중심과 변의 중점을 잇는 직선을 이용하면 정팔각형을 그릴 수 있고, 한 번 더하면 정십육각형을 작도할 수 있다. 마찬가지의 방법으로 원을 이용하여 그린 정오각형에서 정십각형을 그릴 수 있고, 변의 중점과 원의 중심을 잇는 직선을 그린 뒤, 정이십각형을 작도할 수 있다. 작도에 대해 많은 관심과 연구를 진행했던 고대 그리스의 수학자들은 정 7, 9, 11, 13각형의 작도방법을 알아내기 위해 많은 노력을 기울였지만, 끝내 알아내지 못하였다. 1796년이 되어서야 당시 18세였던 수학자 가우스 의해 정 7, 9, 11, 13각형은 작도 불가능함이 증명되었다. 가우스에 의해 밝혀진 홀수 개의 변을 가진 정다각형에 대한 작도 가능함에 대한 정리는 다음과 같다.
  • 1.  작도가 가능한 정 n각형
  • (1).   의 꼴이면 가능하다.
  • (2). n이 꼴인 서로 다른 두 소수의 곱이면, 작도 가능하다.
  • (3). 정 n각형을 작도할 수 있다면, 정 2n각형은 작도가 가능하다.
  • 2. 의 꼴인 경우
  • (1) k=0 이면, 3=2+1이므로 정3각형은 작도가능하다.
  • (2) k=1 이면, 5=4+1이므로 정5각형은 작도가능하다.
  • (3) k=2 이면, 17=16+1이므로 정17각형은 작도가능하다.
  • (4) k=3 이면, 이므로 정257형은 작도가능하다.
  • 3, 5, 17이 가능하므로 에서 정15각형은 작도가 가능하고,
  • 에서 정51각형은 작도가 가능하다. 에서 정85각형도 작도가 가능하다
slide33

삼각형에 대한 용어

A

c

b

C

B

a

  • 세 선분 AB, BC, CA로 둘러싸인 삼각형 ABC를
  • 기호로 △ABC와 같이 나타낸다.
  •  ∠A, ∠B, ∠C를 △ABC의 내각이라고 한다.
  • ∠A와 마주 보는 변 BC를 ∠A의 대변,
  • ∠A를 변 BC의 대각이라고 한다.
slide34

삼각형의 변의 길이

  • 삼각형의 두 변의 길이의 합은
  • 나머지 다른 한 변의 길이보다 크다.
    • 세 변 중 길이가 최대인 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 크거나 같으면 삼각형이 될 수 없다.
slide35

삼각형의 결정조건

1. 세 변의 길이가 주어질 때

2. 두변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어질 때

3. 한변의 길이와 그 양끝각의 크기가 주어질 때

위의 세 가지 조건 중에 어느 한 가지만 주어지면

삼각형의 모양과 크기가 한 가지로 결정된다.

slide36

다음 조건을 만족하는 △ABC를 그릴 때,

  • 삼각형이 하나로 결정되는 것을 모두 고르면?
slide37

합동의 뜻

A

A ´

B

C

B ´

한 평면도형 P를 그 모양이나크기를 바꾸지 않고 다른평면도형Q와 포갤 수 있을 때,

P와 Q를 서로 합동이라고 한다.

< 기 호 >

△ABC≡△A’B’C’

합동인 두 도형에서 포개어지는 꼭지점, 변, 각은

서로 대응한다고 한다.

slide38

합동인 도형의 성질

  • 합동인 두 도형은
  • 대응하는 변의 길이는 서로 같다.
  • 대응하는 각의크기는 서로 같다.
slide40

삼각형의 합동조건

1. 대응하는 세 변의 길이가 각각

같을 때 (SSS합동)

2. 대응하는 두 변의 길이가 각각

같고,그 끼인각의 크기가 같을 때

(SAS합동)

3. 대응하는 한 변의 길이가 같고,

그 양 끝각의 크기가 같을 때

(ASA합동)

slide41

다음 각 그림에서 합동인 삼각형을 찾아서

기호로 나타내고, 합동조건을 말하여라.

A

D

A

D

(2)

(1)

O

O

B

C

B

C

A

(3)

B

D

D

C

slide42

두 쌍의 변의 길이가 같고 한 쌍의 각의 같의 크기가

같은 두 삼각형은 서로 합동이라고 할 수 있나?

slide43

한 쌍의 변의 길이가 같고 두 쌍의 같의 크기가 같은

두 삼각형은 서로 합동이라고 말 할 수 있나?

slide44

그림에서 △EAB, △DBC는 정삼각형일 때,

∠x의 크기는?

D

E

b

P

a

x

60

C

120

A

B

b

a

slide45

C

E

D

각의 이등분선의 작도는 삼각형의 합동조건 중

어떤 합동조건을 이용한 것인지 말하여라.

A

O

B

slide46

D

크기가 같은 각의 작도는 삼각형의 합동조건 중

어떤 합동조건을 이용한 것인지 말하여라.

B

C

O

A